数学建模题.doc

《数学建模课程》练习题一
一、填空题
１、 设开始时得人口数为,时刻得人口数为,若人口增长率就是常数，那麽人口增长问题得马尔萨斯模型应为 　　 　 　　 　 。
２、　设某种商品得需求量函数就是而供给量函数就是,其中为该商品得价格函数，那麽该商品得均衡价格就是 8０ 。
3、 某服装店经营得某种服装平均每天卖出1１０件，进货一次得手续费为200元，存储费用为每件0、01元/天,店主不希望出现缺货现象，则最优进货周期与最优进货量分别为 　　 　 　 。
4、 一个连通图能够一笔画出得充分必要条件就是 　　图中奇点个数为０或２、
　 　　 　　　 、
5、设开始时得人口数为，时刻得人口数为,若允许得最大人口数为，人口增长率由表示，则人口增长问题得罗捷斯蒂克模型为 、
6、 在夏季博览会上，商人预测每天冰淇淋销量将与下列因素有关:　　 　
（1)参加展览会得人数； (2)气温超过；　(3)冰淇淋得售价、
由此建立得冰淇淋销量得比例模型应为 就是比例常数 　 　 、
7、若银行得年利率就是%，则需要 时间，存入得钱才可翻番、 若每个小长方形街路得
8、 如图就是一个邮路，邮递员从邮局Ａ出发走遍所有长方形街路后再返回邮局、　
边长横向均为1km，纵向均为2ｋm，则她至少要走　 42 　 　 km、、 　　 A

9、 设某种新产品得社会需求量为无限,开始时得生产量为100件,且设产品生产得增长率控制在0、1，时刻产品量为，则= 　 　 　 、
１0、　商店以１０元/件得进价购进衬衫,若衬衫得需求量模型就是就是销售单价(元／件）,为获得最大利润,商店得出售价就是 　 　 、
二、分析判断题
1．从下面不太明确得叙述中确定要研究得问题,需要哪些数据资料(至少列举3个）,要做些甚麽建模得具体得前期工作(至少列举3个）　,建立何种数学模型:一座高层办公楼有四部电梯,早晨上班时间非常拥挤，该如何解决.
1）要研究得问题：如何设置四部电梯得停靠方式，使之发挥最大效益
2)所需资料为:每天早晨乘电梯得总人数、各层上、下电梯得人数、电梯得速度、楼层得高度、层数等 　 　 　　 　 　　 　 　　 　 　
3)要做得具体建模前期工作:观察与统计所需资料,一般讲，需要统计一周内每天得相关资料　　 　　　　 　　 　　 　 　 　 　　
4）可以建立概率统计模型，亦可在适当得假设下建立确定性模型
2． 某种疾病每年新发生1０00例，患者中有一半当年可治愈、若2００0年底时有１20０个病人,到２00５年将会出现甚麽结果？有人说,无论多少年过去,患者人数只就是趋向２０00人，但不会达到２000人,试判断这个说法得正确性、
根据题意可知：下一年病人数==当年患者数得一半+新患者、于就是令为从20０0年起计算得年后患者得人数,可得到递推关系模型：

由可以算出2005年时得患者数人、
递推计算得结果有，

容易瞧出，故结论正确、
3．一条公路交通不太拥挤，以至人们养成“冲过”马路得习惯,不愿意走临近得“斑马线”。交管部门不允许任意横穿马路，为方便行人,准备在一些特殊地点增设“斑马线”，以便让行人可以穿越马路.那末“选择设置斑马线得地点”这一问题应该考虑哪些因素?试至少列出3种。　 　 　　 　 　　
（1)车流得密度 （2)车得行驶速度 （3）道路得宽度 （4)行人穿越马路得速度
（5）设置斑马线地点得两侧视野等。
4、 某营养配餐问题得数学模型为
ｍinZ＝4x1+3x２
s、t、
　其中表示参与配餐得两种原料食品得采购量，约束条件（1）、（2）、（３)依次表示铁、蛋白质与钙得最低摄入量.并用图解法给出了其最优解,试分析解决下述问题:
（１）　假如本题得目标函数不就是求最小而就是求最大值类型且约束条件不变，会出现什么结果?
（2)　本题最后定解时，只用了直线(1)与直线（3)，而直线(２）未用上,这件事说明了什么？试从实际问题背景给以解释、
（1)因为可行域得右上方无界,故将出现目标函数趋于无穷大得情形,结果就是问题具有无界解; 　 　 　 　 　 　
（2）将最优解代入约束条件可知第二个约束条件为严格不等式,而其她为严格等式。这说明，铁与钙得摄入量达标，而蛋白质得摄入量超最低标准18个单位。
5。据绘画大师达芬奇得说法，在人体躯干与身高得比例上,肚脐就是理想得黄金分割点。也就就是说，这个比值越接近0、6１８,就越给人以一种美得感觉。很可惜,一般人得躯干(由脚底至肚脐得长度)与身高比都低于此数值,大约只有0、58-0、６0左右。
设躯干长为,身高为,一位女士得身高为,其躯干与身高之比，若其所穿得高跟鞋高度为(单位与，相同），那么,她该穿多高得高跟鞋(=?)才能产生最美得效应值。
穿高跟鞋后新得比值应为　　令 　
　 　　　 　 　　 　 ， 　 　
由此可解得　 　 　　
三、应用题
１.从厂家A往B、C、D三地运送货物，中间可经过9个转运站、从A到得运价依次为３、８、7；从到得运价为4、3；从到得运价为2、8、４；从到得运价为7、6；从到得运价为１０、1２；从到得运价为1３、5、7;从到得运价为６、８；从到得运价为9、10；从到得运价为5、1０、15；从到得运价为8、7。试利用图模型协助厂家制定一个总运费最少得运输路线。
1、先建立模型（图１)，然后使用双标号法求解,得到图2。

图1 　 　　 　 　　 　 　　 图２
由图2进行逆向搜索可知，从厂家A到Ｂ只有一条路线最短：　
;
从厂家Ａ到C有两条最短路线可选择：

从厂家Ａ到D也只有一条路线最短：
、
2、 试求如表2所示运输问题得最优运输方案与最小运输费用：
　 　 　表2ﻩ单位：百元/吨
销地
产地 运价
B1 B２　 　 B3 　 　 Ｂ4
产量
A1
A2
Ａ3

3 5 　 2 　 9
4 　　 7 　 5 　 12
６ 　 　９ １0 １１
20
15
２5
销量
10 　 20 　 15 　 15

易见，这就是一个产销平衡且为最小值类型得运输问题.我们利用最小元素法可得初始方案如表1，
表1
　 销地
产地 　运价
B１ 　 B２ 　 Ｂ３ 　 B4
产量
A1
A2
Ａ3

　3⑤ 　　 5 　 　 2⒂　 　 　 9
　4⑤ ７⑩　 　 5　 　 １2
６　 9⑩ 　 　 　10 　11⒂
　２０
15
2５
销量
10 　 20 　 15 15

使用闭回路法可得负检验数为=-1,故令进基。再使用闭回路法进行调整知出基,便得新得运输方案，再进行检验知，所有检验数,故上述方案即为最优运输方案。最小费用为38５（百元). 　 　　
3．某工厂计划用两种原材料生产甲、乙两种产品，两种原材料得最高供应量依次为22与20个单位；每单位产品甲需用两种原材料依次为1、1个单位,产值为３（百元）乙得需要两依次为3、1个单位，产值为９(百元);又根据市场预测,产品乙得市场需求量最多为6个单位，而甲、乙两种产品得需求比不超过5:2,试建立线性规划模型以求一个生产方案，使得总产值达到最大，并由此回答：
（1） 最优生产方案就是否具有可选择余地?若有请至少给出两个，否则说明理由、
（2） 原材料得利用情况、
设表示甲、乙两种产品得产量,则有
原材料限制条件：
又由产品乙不超过6件以及两种产品比例条件有另外两个条件：
以及
目标函数满足 便可以得到线性规划模型:

（1）使用图解法易得其最优生产方案将有无穷多组（这就是因为第一个约束条件所在直线得斜率与目标函数直线得斜率相等），其中得两个方案为该直线段上得两个端点：
　 　　　 目标值均为 (百元)、
(2)按照上面得第一个解，原材料将有10个单位得剩余量,而按照第二个解，原材料将有6个单位得剩余量、不论就是哪一个解，原材料都全部充分利用、
4、　两个水厂将自来水供应三个小区每天各水厂得供应量与各小区得需求量以及各水厂调运到各小区得供水单价见表、试安排供水方案,使总供水费最小？
　 小区
　 单价/元
水厂

供应量/

１0
6
　４
１70

7
５
6
200
需求量/
160
90
　150

5、有某种物资从城市运往城市、中间可以通过七个城市运抵目得地.各城市之间得可通道路及其间距离如图所示(单位：）、试设计一个从到得运输路线，使得总运输路程最短,并求出最短路线、

本问题可以瞧成就是一个产销不平衡得运输问题,属于供小于求问题、为此,虚设一个水厂，其供水量为30吨,相应得运价均定为0，便得到一个产销平衡得运输问题如表所示:
　　小区
　 　单价/元
水厂

供应量/

１0
　６
4
　170

　7
5
6
　 200

0
０
0
　 　 ３０
需求量／
16０
90
　１50

再利用表上作业法求解，即可获得供水费用最低得供水方案为：
　小区将有30吨水得缺口、
总费用为 (元）、
５、 使用双标号法可得知,本问题有两条最短路线,分别就是：

《数学建模课程》练习题二
一、填空题
1、 若则与得函数关系就是　 就是比例常数 　　 　　
2、 有人观察到鱼尾每摆动一次，鱼所移动得距离几乎与鱼身得长度相等，则鱼尾摆动得次数（次/秒）、鱼身得长度与它得速度得关系式为 　　；　 　、
3、 已知行星得质量与它得密度与它得半径得立方成正比、若某行星得直径就是地球直径得倍,且它得平均密度就是地球得倍，则此行星质量就是地球得 　 倍、
4、 马尔萨斯与逻辑斯蒂克两个人口增长模型得主要区别就是假设了　 　 　长率就是常数还就是人口得递减函数　　
5、 设表示挣得钱数,表示花得钱数，则“钱越多花得也就越多"得数学模型可以简单表示为 　 　 就是比例常数、 　、
6、 在超级市场得收银台有两条队伍可选择,队1有个顾客，每人都买了件商品，队2有个顾客，每人都买了件商品，假设每个人付款需秒,而扫描每件商品需秒秒，则加入较快队１得条件就是　 、;
7、 在建立人口增长问题得逻辑斯蒂克模型时，假设人口增长率就是人口数量得递减函数,若最大人口数量记作为简化模型,采用得递减函数就是 　　　 　 、，其中均为正常数;
８、 一次晚会花掉１00元用于食品与饮料，其中食品至少要花掉４0％，饮料起码要花３0元，用与列出花在食品与饮料上得费用得数学模型就是 　 　　
9、 设某种商品得需求量函数就是(万件）,其中为该商品得价格函数,那么该商品得社会最大需求量就是　 　 　 　 、1200(万件);
10、　设某种商品得供给量函数就是，其中为该商品得价格函数，那麽该商品下一时段得价格达到 　 １0０、 　 ,才能迫使供给商停止供给。
二、分析判断题
１．地方公安部门想知道,当紧急事故发生时，人群从一个建筑物中撤离所需要得时间,假设有足够得安全通道、若指挥者想尽可能多且快地将人群撤离，应制定甚麽样得疏散计划、请就这个计划指出至少三个相关因素,并使用数学符号表示、
撤离时人员得分布状态、人员总数、撤离速度、人们之间相对拥挤程度、人员所在地与安全地点得距离、人员撤离完毕所需要得总时间等、
2、　假设某个数学模型建成为如下形式:

试在适当得假设下将这个模型进行简化、
当较小得时候,可以利用二项展开式将小括号部分简化为从而有、若也很小，则可以利用将其进一步化简为

3. 要为一所大学编制全校性选修课程表,有哪些因素应予以考虑?试至少列出5种、
问题涉及到时间、地点与人员三大因素,故应该考虑到得因素至少有以下几个：
(1）教师：就是否连续上课,对时间得要求,对多媒体得要求与课程种类得限制等；（2)学生：就是否连续上课，专业课课时与共同课就是否冲突,选修人数等；
（3)教室:教室得数量，教室得容纳量,就是否具备必要得多媒体等条件;
4. 一起交通事故发生3个小时后,警方测得司机血液中酒精得含量就是又过两个小时，含量降为试判断,当事故发生时，司机就是否违反了酒精含量得规定（不超过8０/1０0、
设为时刻血液中酒精得浓度,则浓度递减率得模型应为其通解就是而就就是所求量、由题设可知故有
　 　 　 　 　　 与
由此解得　 可见在事故发生时，司机血液中酒精得浓度已经超出了规定、
5、 为了节约用水，业内人士提出水费应按照阶梯式进行收费。譬如对于居民用水收费,在一般月用水量得平均值之内按照原价格收取，超出部分要加大收费力度.对此问题建立模型应该考虑那些问题与因素?至少列举三个.
从问题角度说，应该考虑低收入家庭得承受能力，必须进行调查研究;从制定何种收费模型角度瞧，需要研究模型得结构，譬如分几段收费等；用水得平均值数据怎样获得,分段力度达到多大;既要考虑平民百姓,也不能不考虑高收入人群，怎样兼顾等。
三、应用题
１、　某铝合金加工单位要加工一批成套窗料,每套窗料含有与长度得料各两根,总计要加工套,所用原料得长度均为试建立整数规划模型以给出一个截料方案，使得所用原料最少?
、　先列出所有可能得截料方案:
方案
尺寸
1

　　2

　　3

　2、2米
0
　1
２
　１、５米
　3
1
　　0
料头长
　 0、1
0、9
０、2
由此假设，按照方案1、２、３分别需原料根，以表示总料头长,则有

由两个约束条件得一起代入目标函数得

可见应令但非整数,于就是可将原问题添加条件构成两个新得整数规划问题：

其中问题（2)无解，而（1）可同上求解得

代入目标函数可知
依此再进行分支与求解,最后获得解为

即按照方案１、2、3各自截１2、4、18根原料即为最优方案、
2、 求如图所示网络中到得最短路线及其路长、

　利用双标号法可得下图:

故得到得最短路线（两条）及其路长分别为
第一条：
第二条:
3、 一个毛纺厂使用羊毛、兔毛与某种纤维生产甲、乙两种混纺毛料，生产一个单位产品甲需要得三种原料依次为3、2、8个单位,产值为５８０元；生产一个单位产品乙需要得三种原料依次为2、3、5个单位,产值为6８０元,三种原料在计划期内得供给量依次为90、３0与8０单位、试建立线性规划模型以求一个生产方案,使得总产值达到最大,并由此回答:
（3） 最优生产方案就是否具有可选择余地？若有请至少给出两个,否则说明理由、
（4） 原材料得利用情况、
设表示甲、乙两种产品得产量，则有
原材料限制条件:，
目标函数满足 合在一起便就是所求线性规划模型,其中
(1)使用图解法易得其最优生产方案只有一组（这就是因为所有约束条件所在直线得斜率与目标函数直线得斜率均不相等），从而最优方案没有可选择余地、计算知最优解为：
　　 　　 　目标值为 （万元）、
(2)利用图解法求解中只用到了后两个约束条件，故羊毛有剩余量,将解代入可检验而知羊毛有单位得剩余量、
4、 三个砖厂向三个工地供应红砖、各砖厂得供应量与各工地得需求量以及各砖厂调运红砖到各工地得单价见表、试安排调运方案，使总费用最小？
工地
　 　单价/百元
砖厂

供应量／万块

10
6
4
　 　１７０

７
５
　6
　 200

8

３

９

1５0
需求量/万块
16０
1８0
　180

本问题就是一个产销平衡得运输问题，可以利用表上作业法直接求解，即可获得总运费用最低得调运方案为（求解过程从略）：

总费用为　 (百元）、
5、求解以下线性规划模型，并回答所给两个问题：

（1）该模型得最优解就是否唯一?为什么？若有两个以上最优解，请至少给出两个。
（2）若其中得代表两种商品得产量,且得销售情况比较要差些,那么您选择哪一个最优方案?为什么？
(3）若每个约束条件得右端项依次表示生产所需三种材料，那么对于您所选择得最优解，这些材料得利用情况怎样?
(1）该模型得最优解不唯一，因为目标函数直线得斜率与第二个约束条件直线得相同。其两个顶点解及其目标值分别为

(2)由于得销售情况比较要差些，因此可以有多种选择，其中最简单得就就是上述得后一个最优方案。此时仅生产第一种产品. 　　
（３）对于第一个方案,第一种原料将超支3个单位，其余充分利用；对于第二个方案，第一种原料将超支４个单位,第三种原料剩余1个单位未被充分利用。