数学建模之微分方程建模与平衡点理论.doc
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1、微分方程列微分方程常用得方法:(1)根据规律列方程利用数学、力学、物理、化学等学科中得定理或经过实验检验得规律来建立微分方程模型。(2)微元分析法利用已知得定理与规律寻找微元之间得关系式,与第一种方法不同得就是对微元而不就是直接对函数及其导数应用规律。(3)模拟近似法在生物、经济等学科得实际问题中,许多现象得规律性不很清楚,即使有所了解也就是极其复杂得,建模时在不同得假设下去模拟实际得现象,建立能近似反映问题得微分方程,然后从数学上求解或分析所建方程及其解得性质,再去同实际情况对比,检验此模型能否刻画、模拟某些实际现象。一、模型得建立与求解1、1传染病模型 (1)基础模型 假设:t时刻病人人数
2、连续可微。每天每个病人有效接触(使病人治病得接触)得人数为,时有个病人。 建模:t到病人人数增加 (1) (2) 解得: (3) 所以,病人人数会随着t得增加而无限增长,结论不符合实际。 (2)SI模型 假设:1、疾病传播时期,总人数N保持不变。人群分为两类,健康者占总人数得比例为s(t),病人占总人数得比例为i(t)。 2、每位病人每天平均有效接触人,为日接触率。有效接触后健康者变为病人。依据:患病人数得变化率=Ni(t)(原患病人数)* s(t)(每个病人每天使健康人变为病人得人数) 建模: (4) 由于 (5) 设t=0时刻病人所占得比例为,则可建立Logistic模型 (6) 解得:
3、(7)用Matlab绘制图1,图2 图形如下,结论:在不考虑治愈情况下当时达到最大值,这时 时人类全被感染。未考虑治愈情况。(3)SIS模型假设:1、疾病传播时期,总人数N保持不变。人群分为两类,健康者占总人数得比例为s(t),病人占总人数得比例为i(t)。 2、每位病人每天平均有效接触人,为日接触率。有效接触后健康者变为病人。 3、在所有病人中,每天有比例得人能被治愈,治愈后瞧作可被感染得健康者,传染病得平均传染期为。依据:患病人数得变化率= (患病人数得变化率)-(治愈率)建模: (8) (9)令为整个传染期内每位病人有效接触得平均人数,。则有 (10)用Matlab绘制出(图3,图5)与
4、 it(图4,图6)。结论:为一个阈值。,极限值为增函数,得增减性由得大小确定。,病人比例越来越小,最终趋于0。 (4)SIR模型(某些疾病患者治愈后获得了很强得免疫力,不会再次被感染)假设:总人数N不变,将人群分为健康者,病人,与病愈免疫得移除者,她们在总人数中所占得比例依次为,。 为病人得日接触率,为日治愈率,为传染期接触数。 建模:由假设1得 (11) (12) 令t=0时健康者与病人所占比例分别为,则有 (13)利用Matlab绘制出,(图7),(图8)图形,图形称为相轨线。 相轨线分析:利用相轨线讨论解,得性质。平面称为相平面,相轨线在其上得定义域为为 (14)消去方程中得,并由得到
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