工学线性系统的概轨迹法.pptx
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1、第四章第四章 线性系统的根轨迹法线性系统的根轨迹法 4-1 4-1 根轨迹法的基本概念根轨迹法的基本概念 4-2 4-2 常规根轨迹的绘制法则常规根轨迹的绘制法则 4-3 4-3 广义根轨迹广义根轨迹 4-4 4-4 系系统性能的分析统性能的分析 重点与难点重点与难点l能熟练运用主导极点、偶极子等概念,将系能熟练运用主导极点、偶极子等概念,将系统近似为一、二阶系统,并对系统性能进行定统近似为一、二阶系统,并对系统性能进行定性分析。性分析。l正确理解和熟记根轨迹方程正确理解和熟记根轨迹方程(模方程及相角方模方程及相角方程程)。熟练运用模方程计算根轨迹上任一点的根。熟练运用模方程计算根轨迹上任一点
2、的根轨迹增益和开环增益轨迹增益和开环增益。l熟练运用根轨迹法则按步骤绘制反馈系统开熟练运用根轨迹法则按步骤绘制反馈系统开环增益环增益K K从零变化到正无穷时的闭环根轨迹。从零变化到正无穷时的闭环根轨迹。l了解绘制广义根轨迹的思路、要点和方法。了解绘制广义根轨迹的思路、要点和方法。根轨迹法根轨迹法根据反馈控制系统的开、闭环根据反馈控制系统的开、闭环传递函数之间的关系,直接由传递函数之间的关系,直接由开环开环传递传递函数零、极点求出函数零、极点求出闭环闭环极点(闭环特征极点(闭环特征根)。这给系统的分析与设计带来了极根)。这给系统的分析与设计带来了极大的方便。大的方便。闭环控制系统的稳定性和性能指
3、标主要闭环控制系统的稳定性和性能指标主要由闭环系统极点在复平面的位置决定,由闭环系统极点在复平面的位置决定,因此,分析或设计系统时确定出闭环极因此,分析或设计系统时确定出闭环极点位置是十分有意义的。点位置是十分有意义的。1.定义定义4 41 1 根轨迹法的基本概念根轨迹法的基本概念一一.根轨迹根轨迹当闭环系统为当闭环系统为 正正 反馈时,对应的轨迹为反馈时,对应的轨迹为 0o 根根轨迹,其相角遵循轨迹,其相角遵循0o+2k;而;而负负反馈系统的轨迹反馈系统的轨迹为为 根轨迹,其相角遵循根轨迹,其相角遵循180o+2k 。根轨迹是指系统开环传递函数中某个参根轨迹是指系统开环传递函数中某个参数数(
4、如开环增益如开环增益K)从零变到无穷时,闭环特征根在从零变到无穷时,闭环特征根在s平面上移动的轨迹。平面上移动的轨迹。根轨迹法根轨迹法可以在已知开环零、极点时,迅速求可以在已知开环零、极点时,迅速求出开环增益(或其他参数)从零变到无穷时闭环出开环增益(或其他参数)从零变到无穷时闭环特征方程所有根在复平面上的分布,即特征方程所有根在复平面上的分布,即根轨迹根轨迹。例例:系统的系统的开环开环传递函数为:传递函数为:4 41 1 根轨迹法的基本概念根轨迹法的基本概念一一.根轨迹根轨迹 极点极点 ,零点零点 ,开环增益为,开环增益为 。K 无无闭环传递函数闭环传递函数为:闭环特征方程闭环特征方程为:闭
5、环特征根闭环特征根为:每个特征根都随每个特征根都随K K的变化而变的变化而变化。例如,设化。例如,设K=0K=0.5K=1K=2.5K=+4 41 1 根轨迹法的基本概念根轨迹法的基本概念一一.根轨迹根轨迹 如果把不同如果把不同K K值的闭环特征值的闭环特征根布置在根布置在s s平面上,并连成线则平面上,并连成线则可画出如图所示系统的根轨迹。可画出如图所示系统的根轨迹。1.1.稳定性稳定性4 41 1 根轨迹法的基本概念根轨迹法的基本概念二二.根轨迹与系统性能根轨迹与系统性能 当当K K从从00时时 根轨迹没有越过虚轴进入根轨迹没有越过虚轴进入右半右半s s平面,此系统对所有平面,此系统对所有
6、K K值都是稳定的。值都是稳定的。根轨迹与虚轴交点处的根轨迹与虚轴交点处的K K值为临界开环增益值为临界开环增益.2.2.稳态性能稳态性能 由稳态误差要求可求出由稳态误差要求可求出K K的取值范围。的取值范围。3.3.动态性能动态性能 0K0.50K0.5 K0.5时所有闭环极点为复数极点,时所有闭环极点为复数极点,系统为系统为欠阻尼欠阻尼系统。系统。1.系统闭环传递函数为系统闭环传递函数为4 41 1 根轨迹法的基本概念根轨迹法的基本概念三三.闭环零、极点与开环零、极点之间的关系闭环零、极点与开环零、极点之间的关系2.前向通道传递函数前向通道传递函数G(s)表示为)表示为 KG为前向通道增益
7、,为前向通道增益,KG*为前向通道根轨迹增益为前向通道根轨迹增益K(s+1)G(s)=s(0.5s+1)KG与KG*关系?首首1型型尾尾1型型K*(s+1)G(s)=s(s+2)K*G(s)=s(s+20)(s2+4s+20)i=1m(-zi)K=i=1m(-pi)K*KH*为反馈通道为反馈通道的根轨迹增益的根轨迹增益3.反馈通道传递函数反馈通道传递函数H(s)表示为表示为4 41 1 根轨迹法的基本概念根轨迹法的基本概念三三.闭环零、极点与开环零、极点之间的关系闭环零、极点与开环零、极点之间的关系h4.闭环传递函数闭环传递函数分别为闭环零、极点分别为闭环零、极点4 41 1 根轨迹法的基本概
8、念根轨迹法的基本概念三三.闭环零、极点与开环零、极点之间的关系闭环零、极点与开环零、极点之间的关系4 41 1 根轨迹法的基本概念根轨迹法的基本概念三三.闭环零、极点与开环零、极点之间的关系闭环零、极点与开环零、极点之间的关系闭环系统根轨迹增益等于系统前向通道的根轨迹增益;闭环系统根轨迹增益等于系统前向通道的根轨迹增益;闭环系统零点由前向通道的零点和反馈通道的极点组成闭环系统零点由前向通道的零点和反馈通道的极点组成闭环系统的极点与开环系统的极点、零点以及开环根轨闭环系统的极点与开环系统的极点、零点以及开环根轨迹增益迹增益 有关。有关。四.根轨迹方程2.根轨迹方程根轨迹方程 G(s)H(s)=-
9、1 G(s)H(s)是系统是系统开环开环开环开环传递函数,传递函数,G(s)H(s)=-1表表 明了明了开环开环开环开环传递函数与传递函数与闭环闭环极点的关系。极点的关系。1.闭环特征方程闭环特征方程4 41 1 根轨迹法的基本概念根轨迹法的基本概念 D(s)=1+G(s)H(s)=0 闭环极点就是闭环极点就是闭环闭环特征方程的解,也称为特征根。特征方程的解,也称为特征根。设开环传递函数有设开环传递函数有m m个零点,个零点,n n个极点,且个极点,且nmnm,则根轨迹方程则根轨迹方程G(s)H(s)=-1G(s)H(s)=-1可写成如下形式:可写成如下形式:四.根轨迹方程4 41 1 根轨迹
10、法的基本概念根轨迹法的基本概念3.模值方程和相角方程模值方程和相角方程模值模值方程方程相角相角方程方程 在实际应用中,用在实际应用中,用相角方程相角方程相角方程相角方程绘制根轨迹,绘制根轨迹,而而模值方程模值方程模值方程模值方程主要用来确定已知根轨迹上某一点的主要用来确定已知根轨迹上某一点的 值。值。模值方程模值方程模值方程模值方程不但与开环零、极点有关,还与开环根轨迹不但与开环零、极点有关,还与开环根轨迹增益有关;而增益有关;而相角方程相角方程相角方程相角方程只与开环零、极点有关。只与开环零、极点有关。相角方程相角方程相角方程相角方程是决定系统闭环根轨迹的是决定系统闭环根轨迹的充分必要条件充
11、分必要条件充分必要条件充分必要条件。首首1型型例例1:已知系统的开环传递函数已知系统的开环传递函数试证明复平面上点试证明复平面上点是该系统的闭环极点。是该系统的闭环极点。应满足相角方程应满足相角方程 若系统若系统闭环闭环极点为极点为证明:证明:该系统的该系统的开环开环极点极点四.根轨迹方程4 41 1 根轨迹法的基本概念根轨迹法的基本概念3.模值方程和相角方程模值方程和相角方程K*i=1ms-zii=1ns-pi=1i=1m(s-pi)-i=1m(s-pi)=(2k+1)以以 为试验点,可得为试验点,可得 以以 为试验点,可得为试验点,可得图图44(k=0)四.根轨迹方程4 41 1 根轨迹法
12、的基本概念根轨迹法的基本概念3.模值方程和相角方程模值方程和相角方程 都满足相角方程,所以,都满足相角方程,所以,点是闭环极点。点是闭环极点。例例2:2:已知系统开环传递函数已知系统开环传递函数 当当 变化时其根轨迹如图变化时其根轨迹如图4-54-5所示,求所示,求根轨迹上点根轨迹上点 所对应的所对应的K K值。值。图4-5四.根轨迹方程4 41 1 根轨迹法的基本概念根轨迹法的基本概念3.模值方程和相角方程模值方程和相角方程解解 根据模值方程求解根据模值方程求解 值值模值方程模值方程K*i=1ms-zii=1ns-pi=1四.根轨迹方程4 41 1 根轨迹法的基本概念根轨迹法的基本概念3.模
13、值方程和相角方程模值方程和相角方程练习:练习:1.满足根轨迹相角条件的点()满足根轨迹相角条件的点()A.一定在根轨迹上一定在根轨迹上 B.不一定在根轨迹上不一定在根轨迹上C.不一定满足幅值条件不一定满足幅值条件 D.不一定满足闭环特征方式不一定满足闭环特征方式2.控制系统的开环传递函数控制系统的开环传递函数G(S)=K/(s+1)(s+2)(s+4)(1)证明系统的根轨迹通过证明系统的根轨迹通过s1=-1+3 j(2)求有一个闭环极点在求有一个闭环极点在s1=-1+3 j 时的时的K的值。的值。(3)求使闭环系统稳定的开环放大倍数求使闭环系统稳定的开环放大倍数K的取值范围。的取值范围。42
14、常规根轨迹的绘制一一.根轨迹的分支数根轨迹的分支数 分支数开环极点数或零点数中大者分支数开环极点数或零点数中大者 闭环特征方程的阶数闭环特征方程的阶数二二.根轨迹对称于实轴根轨迹对称于实轴 闭环极点为闭环极点为 实数实数在实轴上在实轴上 复数复数共轭共轭对称于实轴对称于实轴起起于开环于开环极点极点,终终于开环于开环零点零点。三三.根轨迹的起点与终点根轨迹的起点与终点由根轨迹方程有:由根轨迹方程有:42 常规根轨迹的绘制 起点起点终点终点三三.根轨迹的起点与终点根轨迹的起点与终点42 常规根轨迹的绘制若开环零点数若开环零点数m 开环极点数开环极点数n 有有()个开环零点在无穷远处个开环零点在无穷
15、远处)则有则有()条根条根轨迹趋于无穷远点轨迹趋于无穷远点 四四.实轴上的根轨迹实轴上的根轨迹 实轴上根轨迹区段的右侧,开环零、实轴上根轨迹区段的右侧,开环零、极点数目之和应为奇数。极点数目之和应为奇数。证明:设一系统开环零、极点设一系统开环零、极点分布如图。分布如图。42 常规根轨迹的绘制在实轴上任取一试验点在实轴上任取一试验点 代入相角方程则代入相角方程则所以相角方程成立,即所以相角方程成立,即 是根轨迹上的点。是根轨迹上的点。42 常规根轨迹的绘制四四.实轴上的根轨迹实轴上的根轨迹一般,设试验点右侧有一般,设试验点右侧有L个个开环零点,开环零点,h个开环极点,则个开环极点,则有关系式有关
16、系式证毕证毕如满足相角条件必有如满足相角条件必有所以,所以,L-h必为奇数,当然必为奇数,当然L+h也为奇数。也为奇数。四四.实轴上的根轨迹实轴上的根轨迹42 常规根轨迹的绘制例:解:解:将开环传递函数写成将开环传递函数写成零、极点形式零、极点形式(首(首1型)型)设一单位负反馈系统的开环传递函数为设一单位负反馈系统的开环传递函数为G(s)=K(s+1)/s(0.5s+1),G(s)=K(s+1)/s(0.5s+1),求求 时的闭环根轨迹。时的闭环根轨迹。42 常规根轨迹的绘制2.2.根轨迹对称于实轴根轨迹对称于实轴 4.4.实轴上根轨迹区段的右侧实轴上根轨迹区段的右侧 1.1.根轨迹的分支数
17、根轨迹的分支数 闭环特征方程的阶数闭环特征方程的阶数闭环闭环极点极点为为 实数实数在实轴上在实轴上 复数复数对称于实轴对称于实轴 3.3.根轨迹的起点与终点根轨迹的起点与终点 起起于开环于开环极点极点,终终于开环于开环零点零点开环零、极点数目之和为奇数开环零、极点数目之和为奇数 最后绘制出根轨迹如图最后绘制出根轨迹如图47所示。所示。法则一,有两条根轨迹法则一,有两条根轨迹法则三,两条根轨迹分别起始于开环极点法则三,两条根轨迹分别起始于开环极点0、2,一条终于有限零点,一条终于有限零点1,另一条,另一条趋于无穷远处。趋于无穷远处。法则四,在负实轴上,法则四,在负实轴上,0到到1区间和区间和2到
18、负无穷区间是根轨迹。到负无穷区间是根轨迹。按绘制根规迹法则逐步进行:法则五法则五.根轨迹的渐近线根轨迹的渐近线l渐近线与实轴正方向的夹角为:渐近线与实轴正方向的夹角为:l渐近线与实轴相交点的坐标为:渐近线与实轴相交点的坐标为:42 常规根轨迹的绘制例:已知系统的开环传递函数已知系统的开环传递函数试根据法则五,求出根轨迹的渐近线。试根据法则五,求出根轨迹的渐近线。极点解:零点法则五法则五.根轨迹的渐近线根轨迹的渐近线42 常规根轨迹的绘制 渐近线与实轴正方向的夹角为:渐近线与实轴正方向的夹角为:渐近线与实轴相交点的坐标为:渐近线与实轴相交点的坐标为:按照公式得以下是几种开环传递函数的根轨迹渐近线
19、以下是几种开环传递函数的根轨迹渐近线以下是几种开环传递函数的根轨迹渐近线以下是几种开环传递函数的根轨迹渐近线法则六法则六.根轨迹的起始角和终止角根轨迹的起始角和终止角根轨迹的根轨迹的终止角终止角是指根轨迹在是指根轨迹在终止零点终止零点处的切线与水平正方向的夹角。处的切线与水平正方向的夹角。根轨迹的根轨迹的起始角起始角是指根轨迹在是指根轨迹在起点处的起点处的 切线与水平正方向的夹角切线与水平正方向的夹角。42 常规根轨迹的绘制例例:设系统开环传递函数设系统开环传递函数试绘制系统概略根轨迹。试绘制系统概略根轨迹。1.1.根轨迹分支数根轨迹分支数3.3.根轨迹起点与终点根轨迹起点与终点 5.5.渐近
20、线夹角渐近线夹角 a和交点和交点 a 2.2.对称于实轴对称于实轴4.4.根轨迹区段根轨迹区段左侧左侧6.6.根轨迹根轨迹 pkpk和和 zkzk n=2,有两条根轨迹,有两条根轨迹 两条根轨迹分别两条根轨迹分别起始起始于开环极点于开环极点(-1-j2),(-1+j2);终止终止于开环零点于开环零点 (-2-j),(-2+j)确定起始角确定起始角,终止角。终止角。解解七.根轨迹的分离点坐标dl定义定义定义定义:几条(两条或两条以上)根轨迹在:几条(两条或两条以上)根轨迹在s平面平面上相遇又分开的点。上相遇又分开的点。l若根轨迹位于若根轨迹位于实轴两相邻实轴两相邻开环开环极点极点之间,则此二之间
21、,则此二极点之间至少存在一个极点之间至少存在一个分离点分离点。l若根轨迹位于若根轨迹位于实轴两相邻实轴两相邻开环开环零点零点之间,则此二之间,则此二极点之间至少存在一个极点之间至少存在一个会合点会合点。42 常规根轨迹的绘制dds(s-pi)j=1n(s-zi)mi=1s=d=0例:已知系统的开环传递函数已知系统的开环传递函数试求闭环系统的根轨迹分离点坐标试求闭环系统的根轨迹分离点坐标d,并概,并概略绘制出根轨迹图。略绘制出根轨迹图。七七.根轨迹的分离点坐标根轨迹的分离点坐标d42 常规根轨迹的绘制常规根轨迹的绘制1.1.根轨迹分支数根轨迹分支数3.3.根轨迹起点与终点根轨迹起点与终点 5.5
22、.渐近线夹角渐近线夹角 a和交点和交点 a2.2.对称于实轴对称于实轴4.4.根轨迹区段根轨迹区段左侧左侧6.6.根轨迹根轨迹 pkpk和和 zkzk解:根据系统开环传递函数求出开环极点按步骤:n=2,m=1,有两条根轨迹两条根轨迹分别起于开环极点,终于开环零点和无穷远零点实轴上根轨迹位于有限零点1和无穷零点之间,因此判断有分离点离开复平面极点的初始角初始角为渐近线(舍去)6、求分离点坐标d此系统根轨迹如图4-15所示图415八.分离角与会合角 分离角分离角是指根轨迹离开分离点处的切是指根轨迹离开分离点处的切线与实轴正方向的夹角。线与实轴正方向的夹角。会合角会合角是指根轨迹进入相邻零点处的是指
23、根轨迹进入相邻零点处的切线与实轴正方向的夹角切线与实轴正方向的夹角42 常规根轨迹的绘制 =(2k+1)l计算公式计算公式42 常规根轨迹的绘制例:已知系统的开环传递函数例:已知系统的开环传递函数 G(s)H(s)=K*(s+2)s(s+1)概略绘制出根轨迹图。概略绘制出根轨迹图。练习:已知系统的开环传递函数练习:已知系统的开环传递函数 G(s)H(s)=K*(s+2)(s+1-j)(s+1+j)概略绘制出根轨迹图。概略绘制出根轨迹图。结论:由两个极点(实数或复数极点)和一个有限零点组结论:由两个极点(实数或复数极点)和一个有限零点组成的开环系统,只要零点没有位于两个实数极点之间,当成的开环系
24、统,只要零点没有位于两个实数极点之间,当K K(00),闭环根轨迹的复数部分是以零点为圆心,以),闭环根轨迹的复数部分是以零点为圆心,以零点到分离点的距离为半径的一个圆或圆的一部分。零点到分离点的距离为半径的一个圆或圆的一部分。1.1.根轨迹分支数根轨迹分支数3.3.根轨迹起点与终点根轨迹起点与终点 5.5.渐近线夹角渐近线夹角 a a和交点和交点 a a7.7.分离点坐标分离点坐标d d 2.2.对称于实轴对称于实轴4.4.根轨迹区段根轨迹区段左侧左侧6.6.根轨迹根轨迹 pkpk和和 zkzk8.8.分离角或会合角分离角或会合角 九九.根轨迹与虚轴的交点根轨迹与虚轴的交点如根轨迹与虚轴相交
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