工程图学.pptx
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1、17世纪微积分学产生以后,数学家、物理学家用微积分工具处理力学、物理学中的一些问题,产生了大量的微分方程(Differential Equation)问题。如欧拉(Euler)和拉格朗日(Lagrange)研究流体力学,拉普拉斯(Laplace)研究势函数,傅里叶(Fourier)研究热传导理论时都归结出一些偏微分方程(Partial Differential Equation,PDE)问题。什么是数学物理方程什么是数学物理方程?通常把物理学和其他自然科学、技术科学中遇到通常把物理学和其他自然科学、技术科学中遇到的偏微分方程称为的偏微分方程称为数学物理方程数学物理方程,数简称为数理方程。,数简
2、称为数理方程。含有未知多元函数及其若干阶偏导数的关系式称为含有未知多元函数及其若干阶偏导数的关系式称为偏微分方程偏微分方程,例如,例如:一般的,含有n个自变量 的一个未知函数的偏微分方程可写成如下形式其中 是已知函数,为未知函数,而方程在自变量 的维空间 的某区域 内考虑。偏微分方程的阶,线性、非线性、拟线性、半偏微分方程的阶,线性、非线性、拟线性、半线性与全非线性方程线性与全非线性方程出现在方程中的未知函数的最高阶偏导数阶数称为方程的阶数阶数。如果一个偏微分方程对于未知函数及其所有的偏导数都是线性的,则称为线性方程。否则,称为非线性方程。如果一非线性方程仅对未知函数的所有最高阶偏导数是线性的
3、,并且系数仅依赖于自变量及未知函数的阶数低于最高阶的偏导数,则称为拟线性方程。进而,若最高阶偏导数的系数仅是自变量的函数,则这种拟线性方程称为半线性方程。如果方程对未知函数的最高阶偏导数不是线性的,则称为非线性方程。线性线性PDE非线性非线性PDEPDE拟线性拟线性PDE全非线性全非线性PDE半线性半线性PDE数理方程的内容把实际问题抽象为数学模型,归结为偏微分方程的求解问题;提供方程的解法,使能得出解的表达式或解的计算方法;研究解的性质。第一章第一章 一些典型方程和定解条件的推导一些典型方程和定解条件的推导根据系统边界所处的物理条件和初始状态列根据系统边界所处的物理条件和初始状态列出定解条件
4、;出定解条件;从不同的物理模型出发,建立数学物理中从不同的物理模型出发,建立数学物理中三类典型方程;三类典型方程;提出相应的定解问题提出相应的定解问题1.1 1.1 基本方程的建立基本方程的建立导出数学物理方程的一般方法:导出数学物理方程的一般方法:确定所研究的物理量;建立适当的坐标系;划出研究单元,根据物理定律和实验资料写出 该单元与邻近单元的相互作用,分析这种相互 作用在一个短时间内对所研究物理量的影响,表达为数学式;简化整理,得到方程。例1.弦的微小横振动 设有一条拉紧的弦,长为设有一条拉紧的弦,长为l l,平衡位置与,平衡位置与x x轴的正半轴轴的正半轴重合,且一端与原点重合重合,且一
5、端与原点重合,确定当弦受垂直外力作用后确定当弦受垂直外力作用后的运动状态。的运动状态。假设与结论:假设与结论:(1 1)横振动)横振动 坐标系坐标系oxu,位移位移u(x,t)(2)弦柔软,做微小振动)弦柔软,做微小振动(3)有一个随时间变化的外力)有一个随时间变化的外力 作用在弦上,其作用方向垂直于作用在弦上,其作用方向垂直于 轴,轴,密度密度 建立方程建立方程:取微元 MM,研究在水平方向和铅垂方向 MM 在受外力的情况下的运动情况。牛顿第二定律:牛顿第二定律:牛顿第二定律:牛顿第二定律:F=maF=ma受力分析:受力分析:由牛顿第二定律:由牛顿第二定律:水平方向:水平方向:竖直方向:竖直
6、方向:五大近似五大近似若弦是均匀的,则若弦是均匀的,则 常数,常数,于是上式可以写成于是上式可以写成注注2 2:类似的可导出二维波动方程(例如薄膜振动)类似的可导出二维波动方程(例如薄膜振动)和三维波动方程(例如电磁波和声波的传播)和三维波动方程(例如电磁波和声波的传播),它它们的形式分别为们的形式分别为注注3:3:均匀杆的纵向振动问题。均匀杆的纵向振动问题。均匀杆的纵向振动问题。均匀杆的纵向振动问题。有一均匀杆,只要杆有一均匀杆,只要杆中任一小段有纵向位移或者速度,必定导致邻段的中任一小段有纵向位移或者速度,必定导致邻段的压缩或者拉长,这种伸缩传开去,就有纵波沿着杆压缩或者拉长,这种伸缩传开
7、去,就有纵波沿着杆传播。以传播。以 u(x,t)表示杆上各点的纵向位移,则杆的表示杆上各点的纵向位移,则杆的纵振动方程和弦的横振动方程相同,即纵振动方程和弦的横振动方程相同,即完全不同的完全不同的物理过程物理过程,可以用相同的数学表达式描述可以用相同的数学表达式描述。例2:热传导方程如果空间某物体内各点处的温度不同,则热量就从如果空间某物体内各点处的温度不同,则热量就从温度较高点处到温度较低点处流动,这种现象叫温度较高点处到温度较低点处流动,这种现象叫热热传导。传导。考虑物体考虑物体G 内的热传导问题。函数内的热传导问题。函数u(x,y,z,t)表示物表示物体体G 在位置在位置 (x,y,z)
8、以及时刻以及时刻 t 的温度。通过对仍的温度。通过对仍意一个小的体积元意一个小的体积元V内的热平衡问题的研究,建立内的热平衡问题的研究,建立方程。方程。假设:假设:假定物体内部没有热源,物体的热传导系假定物体内部没有热源,物体的热传导系数为常数,即是各向同性的,物体的密度以及比数为常数,即是各向同性的,物体的密度以及比热是常数。热是常数。热流密度热流密度与温度的梯度成正比,符号相反,即物体在无穷小时间段内,流过一个无穷小面积 的热量为其中为的外法线方向。热场热场傅立叶实验定律傅立叶实验定律从时刻从时刻 到时刻到时刻 经过曲面经过曲面S 流入流入区区域域V 的热量为的热量为高斯公式高斯公式在时间
9、间隔在时间间隔 中物体温度从中物体温度从 变化变化到到 所需要的热量为所需要的热量为比热比热密度密度由于所考察的物体内部没有热源由于所考察的物体内部没有热源,根据能量守根据能量守恒定律可得,恒定律可得,由于时间由于时间 ,和区域和区域 V 都是任意选取的都是任意选取的,并且并且被积函数连续被积函数连续,于是得于是得(非均匀的各向同性体的热传导方程非均匀的各向同性体的热传导方程)对于均匀的各向同性物体,对于均匀的各向同性物体,k为常数,记为常数,记则得齐次热传导方程则得齐次热传导方程:三维热传导方程三维热传导方程若物体内部有热源若物体内部有热源 F(x,y,z,t),则热传导方程为则热传导方程为
10、其中其中在上述热传导方程中在上述热传导方程中,描述空间坐标的独立变量描述空间坐标的独立变量为为 ,所以它们又称为三维热传导方程所以它们又称为三维热传导方程.当考当考察的物体是均匀细杆时察的物体是均匀细杆时,如果它的侧面绝热且在同如果它的侧面绝热且在同一截面上的温度分布相同一截面上的温度分布相同,则可以得到一维热传导则可以得到一维热传导方程方程 类似类似,如果考虑一个薄片的热传导如果考虑一个薄片的热传导,并且薄片的并且薄片的侧面绝热侧面绝热,可以得到二维热传导方程可以得到二维热传导方程当我们考察气体的扩散当我们考察气体的扩散,液体的渗透液体的渗透,半导体半导体材料中的杂质扩散等物理过程时材料中的
11、杂质扩散等物理过程时,若用若用u表示表示所扩散物质的浓度所扩散物质的浓度,则浓度所满足的方程形式则浓度所满足的方程形式和热传导方程完全相同和热传导方程完全相同.所以热传导方程也叫所以热传导方程也叫扩散方程扩散方程.例3 拉普拉斯方程当我们研究物理中的各类现象,如振动、热传导、当我们研究物理中的各类现象,如振动、热传导、扩散等的扩散等的稳定稳定过程时,由于表达该物理过程的物过程时,由于表达该物理过程的物理量理量 不随时间变化而变化,因此不随时间变化而变化,因此 .如果我们考虑的是一个稳定的热场,则可以得到如果我们考虑的是一个稳定的热场,则可以得到不随时间变化而变化的温度不随时间变化而变化的温度
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