常数项级数的判别法.pptx

上一页上一页下一页下一页返回首页返回首页湘潭大学数学与计算科学学院1一、一、正项级数及其判别法正项级数及其判别法 二、交错级数及其判别法二、交错级数及其判别法三、任意项级数及其敛散性判别法三、任意项级数及其敛散性判别法 四、小结四、小结3.5 常数项级数的判别法常数项级数的判别法上一页上一页下一页下一页返回首页返回首页湘潭大学数学与计算科学学院2引例引例3.5.1 判断调和级数判断调和级数的敛散性的敛散性解解调和级数的部分和为调和级数的部分和为 一、一、正项级数及其判别法正项级数及其判别法上一页上一页下一页下一页返回首页返回首页湘潭大学数学与计算科学学院3阴影部分的总面积为阴影部分的总面积为 阴影部分的第一块矩形面积为阴影部分的第一块矩形面积为 第二块矩形面积为第二块矩形面积为 第第n块矩形面积为块矩形面积为 上一页上一页下一页下一页返回首页返回首页湘潭大学数学与计算科学学院4由此可知，调和级数发散由此可知，调和级数发散上一页上一页下一页下一页返回首页返回首页湘潭大学数学与计算科学学院5若若则称则称为为正项级数正项级数.定理定理 3.5.1 正项级数正项级数收敛收敛部分和序列部分和序列有界有界.若若收敛收敛,则则部分和数列部分和数列有界有界,故故从而从而又已知又已知收敛，故有界收敛，故有界.单调递增单调递增,收敛收敛,也收敛也收敛.证证 “”“”上一页上一页下一页下一页返回首页返回首页湘潭大学数学与计算科学学院6定理定理3.5.2（比较判别法比较判别法）对于正项级数对于正项级数 上一页上一页下一页下一页返回首页返回首页湘潭大学数学与计算科学学院7即部分和数列即部分和数列Sn 有界，有界，由定理由定理3.5.1可知级数可知级数 收敛收敛(2)反证法：反证法：上一页上一页下一页下一页返回首页返回首页湘潭大学数学与计算科学学院8 例例1 讨论讨论 p-级数级数(常数常数 p 0)的敛散性的敛散性.解解 1)若若因为对一切因为对一切而调和级数而调和级数由比较判别法可知由比较判别法可知 p-级数级数发散发散.发散发散,上一页上一页下一页下一页返回首页返回首页湘潭大学数学与计算科学学院9因为当因为当故故考虑级数考虑级数的部分和的部分和故级数收敛故级数收敛,由比较判别法知由比较判别法知 p-级数收敛级数收敛.时时,2)若若上一页上一页下一页下一页返回首页返回首页湘潭大学数学与计算科学学院10证明级数证明级数发散发散.证证 因为因为而级数而级数发散发散,根据比较判别法可知根据比较判别法可知,所给级数发散所给级数发散.例例2 上一页上一页下一页下一页返回首页返回首页湘潭大学数学与计算科学学院11上一页上一页下一页下一页返回首页返回首页湘潭大学数学与计算科学学院12定理定理3.5.3(比较判别法的极限形式比较判别法的极限形式)则有则有两个级数同时收或发散两个级数同时收或发散;(2)当当 l=0(3)当当 l=设两正项级数设两正项级数满足满足(1)当当 0 l 时时,敛时，敛时，也收敛；也收敛；发散时，发散时，发散发散.上一页上一页下一页下一页返回首页返回首页湘潭大学数学与计算科学学院13证证 据极限定义据极限定义,对对由由定理定理 3.5.2 可知可知同时收敛或同时发散同时收敛或同时发散;(1)当当0 l N 时时上一页上一页下一页下一页返回首页返回首页湘潭大学数学与计算科学学院14收敛收敛,3.5.2 知，若知，若(3)当当l=时时,即即由由定理定理3.5.2可知可知,若若发散发散,发散发散.当当 nN 时，时，上一页上一页下一页下一页返回首页返回首页湘潭大学数学与计算科学学院15特别取特别取可得如下结论可得如下结论:对正项级数对正项级数发散发散.收敛收敛.例例3 判别级数判别级数的敛散性的敛散性.解解 根据比较判别法的极限形式知根据比较判别法的极限形式知发散发散.上一页上一页下一页下一页返回首页返回首页湘潭大学数学与计算科学学院16的敛散性的敛散性.例例4 判别级数判别级数解解 根据比较判别法的极限形式知根据比较判别法的极限形式知收敛收敛.注注 调和级数调和级数与与 p 级数级数是两个常用的比较级数是两个常用的比较级数.上一页上一页下一页下一页返回首页返回首页湘潭大学数学与计算科学学院17证证由由 知知因因都收敛都收敛,故正项级数故正项级数收敛收敛,再由比较再由比较判别判别法知法知:正项级数正项级数收敛收敛,而而即即可表为两个收可表为两个收故故收敛收敛.都收敛，且都收敛，且例例5 设设 试证试证 收敛收敛.之和之和,敛级数敛级数上一页上一页下一页下一页返回首页返回首页湘潭大学数学与计算科学学院18定理定理3.5.4（比值判别法，（比值判别法，DAlembert判别法）判别法）设设 为正项级数为正项级数,且且则则(1)当当(2)当当时时,级数收敛级数收敛;或或时时,级数发散级数发散.证证 (1)上一页上一页下一页下一页返回首页返回首页湘潭大学数学与计算科学学院19根据极限的定义可知，总存在根据极限的定义可知，总存在N0,使得当使得当 时，有时，有上一页上一页下一页下一页返回首页返回首页湘潭大学数学与计算科学学院20收敛收敛,由比较判别法可知由比较判别法可知收敛收敛.因此因此所以级数发散所以级数发散.时时(2)当当从而从而当当时，时，上一页上一页下一页下一页返回首页返回首页湘潭大学数学与计算科学学院21例如，例如，但是但是级数收敛级数收敛;级数发散级数发散.上一页上一页下一页下一页返回首页返回首页湘潭大学数学与计算科学学院22例例6判定级数判定级数的收敛性的收敛性.解解因为因为根据比值判别法可知所给级数发散。根据比值判别法可知所给级数发散。上一页上一页下一页下一页返回首页返回首页湘潭大学数学与计算科学学院23例例7 判定下列级数的敛散性：判定下列级数的敛散性：解解(1)因为因为根据比值判别法可知所给级数收敛；根据比值判别法可知所给级数收敛；上一页上一页下一页下一页返回首页返回首页湘潭大学数学与计算科学学院24(2)因为因为根据比值判别法可知所给级数发散根据比值判别法可知所给级数发散上一页上一页下一页下一页返回首页返回首页湘潭大学数学与计算科学学院25定理定理3.5.5（根值判别法，柯西（根值判别法，柯西（Cauchy）判别法）判别法）设设 为正项级数为正项级数,且且则则(1)当当(2)当当时时,级数收敛级数收敛;或或时时,级数发散级数发散.定理定理3.5.5的证明与定理的证明与定理3.5.4的类似，这里从略的类似，这里从略上一页上一页下一页下一页返回首页返回首页湘潭大学数学与计算科学学院26解解因为因为根据定理根据定理3.5.5可知级数收敛可知级数收敛上一页上一页下一页下一页返回首页返回首页湘潭大学数学与计算科学学院27例例9 判别级数判别级数的敛散性，其中，的敛散性，其中，x0,a0为常数为常数.解解 记记 则则即即由根值判别法，有由根值判别法，有当当xa时，时，当当0 xa时，时，级数发散；级数发散；级数收敛级数收敛.上一页上一页下一页下一页返回首页返回首页湘潭大学数学与计算科学学院28当当 x=a 时，时，=1,但但故原级数发散故原级数发散.综上所述，当综上所述，当 0 xa 时，原级数收敛时，原级数收敛.当当 x a时，原级数发散时，原级数发散.上一页上一页下一页下一页返回首页返回首页湘潭大学数学与计算科学学院29则各项符号正负相间的级数则各项符号正负相间的级数称为称为交错级数交错级数.设设 定理定理3.5.6（莱布尼兹莱布尼兹(Leibniz)定理定理）二、二、交错级数及其判别法交错级数及其判别法上一页上一页下一页下一页返回首页返回首页湘潭大学数学与计算科学学院30则级数收敛，且其和则级数收敛，且其和 其余项满足其余项满足 或或 根据条件根据条件(1)可知：可知：上一页上一页下一页下一页返回首页返回首页湘潭大学数学与计算科学学院31是单调递增有界数列是单调递增有界数列,故故又又故级数收敛于故级数收敛于S,且且其余项满足其余项满足 上一页上一页下一页下一页返回首页返回首页湘潭大学数学与计算科学学院32例例10 判别级数判别级数的敛散性的敛散性.解：解：这是一个交错级数，这是一个交错级数，又又令令x 2,+)，则则x，故故 f(x)在在2,+)上单调减少上单调减少，即有即有un un+1成立，成立，由莱布尼兹判别法，该级数收敛由莱布尼兹判别法，该级数收敛.上一页上一页下一页下一页返回首页返回首页湘潭大学数学与计算科学学院33解解 该级数是一个交错级数，由于该级数是一个交错级数，由于由莱布尼兹定理可知，该级数收敛由莱布尼兹定理可知，该级数收敛 上一页上一页下一页下一页返回首页返回首页湘潭大学数学与计算科学学院34如果取前如果取前n项的和项的和上一页上一页下一页下一页返回首页返回首页湘潭大学数学与计算科学学院35如果级数如果级数 如果级数如果级数 三、任意项级数及其敛散性判别法三、任意项级数及其敛散性判别法上一页上一页下一页下一页返回首页返回首页湘潭大学数学与计算科学学院36为条件收敛为条件收敛.均为绝对收敛均为绝对收敛.例如例如：证证由于由于 上一页上一页下一页下一页返回首页返回首页湘潭大学数学与计算科学学院37由已知条件知级数由已知条件知级数 收敛，由正项级数收敛，由正项级数比较判别法知，级数比较判别法知，级数 收敛，由级数收敛，由级数的性质，可知的性质，可知收敛收敛上一页上一页下一页下一页返回首页返回首页湘潭大学数学与计算科学学院38推论推论3.5.2任意项级数任意项级数 如果如果 则则 上一页上一页下一页下一页返回首页返回首页湘潭大学数学与计算科学学院39推论推论3.5.3任意项级数任意项级数 如果如果 则则 上一页上一页下一页下一页返回首页返回首页湘潭大学数学与计算科学学院40说明说明:当当时，若级数时，若级数收敛，则必为条件收敛收敛，则必为条件收敛.例例12判定下列级数的敛散性：判定下列级数的敛散性：解解 (1)考察正项级数考察正项级数 因为因为上一页上一页下一页下一页返回首页返回首页湘潭大学数学与计算科学学院41而级数而级数 收敛，由比较判别法可知，级数收敛，由比较判别法可知，级数 收敛，所以原级数绝对收敛收敛，所以原级数绝对收敛上一页上一页下一页下一页返回首页返回首页湘潭大学数学与计算科学学院42(2)该级数为交错级数，因为该级数为交错级数，因为由莱布尼兹定理可知，该级数收敛由莱布尼兹定理可知，该级数收敛 但是但是 上一页上一页下一页下一页返回首页返回首页湘潭大学数学与计算科学学院43而级数而级数 发散，由比较判别法可知，级数发散，由比较判别法可知，级数 发散，发散，所以原级数条件收敛所以原级数条件收敛例例13 设正数数列设正数数列 单调减少，级数单调减少，级数发散发散,考察考察的敛散性的敛散性.上一页上一页下一页下一页返回首页返回首页湘潭大学数学与计算科学学院44证证 记记由由 单调减少单调减少,故由单调有界原理知故由单调有界原理知:存在存在,且且若若由由Leibniz判别定理得交错级数判别定理得交错级数收敛收敛,与题设矛盾与题设矛盾由根值判别法法知由根值判别法法知 收敛收敛.上一页上一页下一页下一页返回首页返回首页湘潭大学数学与计算科学学院45例例14 判别判别的敛散性，其中，的敛散性，其中，x1为常数为常数.解解 记记上一页上一页下一页下一页返回首页返回首页湘潭大学数学与计算科学学院46当当|x|1时，时，=|x|1时，时，=1,此时不能判断其敛散性此时不能判断其敛散性.由达朗贝尔判别法：由达朗贝尔判别法：但但|x|1时，时，从而，原级数发散从而，原级数发散.上一页上一页下一页下一页返回首页返回首页湘潭大学数学与计算科学学院47例例15 级数级数是否绝对收敛是否绝对收敛?解：解：由调和级数的发散性可知，由调和级数的发散性可知，故故发散发散.但原级数是一个收敛的交错级数：但原级数是一个收敛的交错级数：故原级数是条件收敛，不是绝对收敛的故原级数是条件收敛，不是绝对收敛的.发散发散.上一页上一页下一页下一页返回首页返回首页湘潭大学数学与计算科学学院481.利用正项级数判别法利用正项级数判别法必要条件必要条件不满足不满足发发 散散满足满足比值判别法比值判别法根值判别法根值判别法收收 敛敛发发 散散不定不定 比较判别法比较判别法用它法判用它法判别别部分和极限部分和极限四、小结四、小结上一页上一页下一页下一页返回首页返回首页湘潭大学数学与计算科学学院492.任意项级数判别法任意项级数判别法为收敛级数为收敛级数Leibniz定理及相关推论定理及相关推论概念概念:设设绝对收敛绝对收敛条件收敛条件收敛收敛，称收敛，称发散，称发散，称上一页上一页下一页下一页返回首页返回首页湘潭大学数学与计算科学学院50作作 业业 上一页上一页下一页下一页返回首页返回首页湘潭大学数学与计算科学学院51思考题思考题设正项级数设正项级数 收敛收敛,能否推得能否推得反之是否成立反之是否成立?收敛收敛?由比较审敛法知由比较审敛法知 收敛收敛.反之不成立反之不成立.例如：例如：收敛收敛,发散发散.由正项级数由正项级数收敛收敛,可以推得可以推得收敛收敛.