常数数级数的审敛法.pptx

1正项级数及其审敛法正项级数及其审敛法交错级数交错级数及其审敛法及其审敛法绝对收敛与条件收敛绝对收敛与条件收敛第二节第二节 常数项级数常数项级数的审敛法的审敛法21.定义定义正项级数正项级数2.充要条件充要条件单调增加数列单调增加数列这时这时,部分和数列只可能有两种情形部分和数列只可能有两种情形:一、一、正项级数正项级数及其审敛法及其审敛法正项级数的部分和数列正项级数的部分和数列3定理定理1(1(基本定理基本定理)说明说明一般的一般的级数级数，部分和数列，部分和数列存在极限存在极限，才可，才可以保证级数的收敛性以保证级数的收敛性.对于对于正项级数正项级数，只要部分和数列，只要部分和数列有界有界，就，就可以保证级数收敛可以保证级数收敛正项级数正项级数收敛收敛部分和所成的数列部分和所成的数列有界有界.上述充要条件，仅仅对上述充要条件，仅仅对正项级数正项级数成立！成立！发散的发散的级数级数，部分和数列，部分和数列没有极限没有极限发散的发散的正项级数正项级数，部分和数列一定，部分和数列一定趋于无穷大趋于无穷大4 例例 判定判定 的敛散性的敛散性.解解由定理由定理1 1知知,故级数的部分和故级数的部分和可与另可与另一个一个已知已知敛散性的敛散性的正项正项级数级数比较来确定比较来确定.该正项该正项级数收级数收敛敛.启示启示:判定一个判定一个正项正项级数级数的的敛散性敛散性,由于由于正项级数正项级数收敛收敛部分和所成的数列部分和所成的数列有界有界.53.比较审敛法比较审敛法证证定理定理2 2即部分和数列有界即部分和数列有界.则则收收敛敛收收敛敛发散发散发散发散收收敛敛6不是有界数列不是有界数列发散发散发散发散发散发散证证7比较审敛法的不便比较审敛法的不便:须有参考级数须有参考级数.推论推论(发散发散)收收敛敛收收敛敛(发散发散)均为正项级数，则均为正项级数，则因为级数的每一项乘以非零的数，或者去掉有因为级数的每一项乘以非零的数，或者去掉有限项不会影响到级数的敛散性，则有：限项不会影响到级数的敛散性，则有：8解解(1)(2)调和级数调和级数发散发散用用比较审敛法比较审敛法发散发散.例例 讨论讨论 的收敛性的收敛性.9收敛收敛.常用！常用！10(1)几何级数几何级数使用使用正项正项级数的比较判定法时级数的比较判定法时,常用的比较级数：常用的比较级数：一些级数的敛散性一些级数的敛散性,作为比较的标准作为比较的标准.需要知道需要知道(2)p-级数级数(3)调和级数调和级数发散发散11例例 讨论下列讨论下列正项级数正项级数的敛散性的敛散性.解解(1)而等比级数而等比级数 收敛收敛.原级数收敛原级数收敛.由由比较审敛法比较审敛法,12解解 因为因为是发散的是发散的p-级数级数.原级数原级数发散发散.由由比较审敛法比较审敛法134.4.比较审敛法的极限形式比较审敛法的极限形式定理定理3 314证证由比较审敛法的推论由比较审敛法的推论,得证得证.(2)和和(3)的证明作为课下练习的证明作为课下练习15问题问题如果通项趋于零较慢的级数收敛，则较快的也收敛；如果通项趋于零较慢的级数收敛，则较快的也收敛；如果通项趋于零较快的级数发散，则较慢的也发散；如果通项趋于零较快的级数发散，则较慢的也发散；如果通项趋于零的速度一样，则级数敛散性相同。如果通项趋于零的速度一样，则级数敛散性相同。16解解发散发散例例 判定下列判定下列级数级数的敛散性的敛散性表明两级数表明两级数敛散性相同，敛散性相同，17定理定理6 6 5.极限审敛法极限审敛法 证证(1)(1)在上述结论在上述结论(2)(3)中令中令(2)(2)在上述结论在上述结论(1)中令中令极限审敛极限审敛 法实质是以法实质是以p级数为比较级数的比较审级数为比较级数的比较审敛法。在使用比较审敛法时，只要记住比较审敛法敛法。在使用比较审敛法时，只要记住比较审敛法比较的比较的通项趋于零的速度通项趋于零的速度。如果通项趋于零较慢的级数收敛，则较快的也收敛；如果通项趋于零较慢的级数收敛，则较快的也收敛；如果通项趋于零较快的级数发散，则较慢的也发散；如果通项趋于零较快的级数发散，则较慢的也发散；如果通项趋于零的速度一样，则级数敛散性相同。如果通项趋于零的速度一样，则级数敛散性相同。18解解例例 判定敛散性判定敛散性原级数收敛原级数收敛19解解例例 判定敛散性判定敛散性原级数收敛原级数收敛20证证明请参阅教材。明请参阅教材。定理定理4 46.6.比值审敛法比值审敛法(达朗贝尔达朗贝尔 判定法判定法)收敛收敛发散发散方法方法失效失效212.若用比值判别法判定级数发散若用比值判别法判定级数发散注注3.一旦出现一旦出现=1 要用其它方法判定要用其它方法判定.级数的通项级数的通项un不趋于零不趋于零.或或 不存在时不存在时,1.适用于适用于的连乘形式的连乘形式.如如4.比值判别法的优点：不用找参考级数。比值判别法的优点：不用找参考级数。22解解例例 判定下列判定下列级数级数的敛散性的敛散性23比值审敛法失效比值审敛法失效,解解改用比较极限审敛法改用比较极限审敛法两级数有相同的敛散性两级数有相同的敛散性24例例 证明级数证明级数并估计以级数的部分和并估计以级数的部分和sn近似代替和近似代替和s解解以级数的部分和以级数的部分和sn近似代替和近似代替和s是收敛的是收敛的,所产生的误差所产生的误差.所产生的误差为所产生的误差为:2526定理定理5 57.根值审敛法根值审敛法(柯西判别法柯西判别法)收敛收敛发散发散方法方法失效失效27注注 2.时，此判别法失效只能改用其它方法时，此判别法失效只能改用其它方法.级数收敛级数收敛.1.适用于通项以适用于通项以n为指数幂的级数。为指数幂的级数。28判定判定 的敛散性的敛散性.解解根据根据根值审敛法，根值审敛法，级数收敛级数收敛.因为因为例例29正、负项相间的级数称为正、负项相间的级数称为定义定义交错级数交错级数.定理定理6 6(莱布尼茨定理莱布尼茨定理)二、二、交错级数交错级数及其审敛法及其审敛法30证证由条件由条件(1):分析分析31满足收敛的两个条件满足收敛的两个条件,证毕证毕.也是一个交错级数也是一个交错级数.由条件由条件(2):32例例 判别级数判别级数的收敛性的收敛性.解解 此级数为此级数为交错级数，交错级数，而且而且所以原级数所以原级数收敛收敛，且其和且其和若用其前若用其前n项来近似项来近似s，误差为，误差为注意注意和和的不同的不同.33解解原级数原级数收敛收敛.此级数为此级数为例例 判别级数判别级数的收敛性的收敛性.交错级数交错级数.34任意项级数任意项级数定义定义定义定义可正可正,可负可负,可可0.0.绝对收敛绝对收敛.条件收敛条件收敛.三、绝对收敛与条件收敛三、绝对收敛与条件收敛明显，明显，对任意项级数对任意项级数必为正项级数必为正项级数比如比如绝对收敛绝对收敛.条件收敛条件收敛.35证证 绝对收敛绝对收敛与与收敛收敛因为因为级数级数正正定理定理8 8收敛收敛.显然显然,比较审敛法比较审敛法有以下重要关系有以下重要关系36注注1 1证明过程中引进了如下级数证明过程中引进了如下级数由于由于这个级数就是原级数中的全体正项形成的级数，这个级数就是原级数中的全体正项形成的级数，定理的证明过程表明定理的证明过程表明是收敛的是收敛的同样可以引进以下级数同样可以引进以下级数请分析此级数和原级数的关系！请分析此级数和原级数的关系！37由于由于原级数中的全体负项的绝对值形成的级数！原级数中的全体负项的绝对值形成的级数！同样由于同样由于是绝对收敛的，且是绝对收敛的，且所以所以也是收敛的正项级数也是收敛的正项级数用绝对收敛级数的全部正项或者全部的负项的相反数形成的新级数一定是收敛的（正项）级数.问题：如果用条件收敛的级数构造如上的级数呢？38问题：如果用条件收敛的级数构造如上的级数呢？条件收敛，即条件收敛，即敛散性如何？敛散性如何？用条件收敛级数的全部正项或者全部的负项的相反数形成的新级数一定是发散的（正项）级数.39注2定理定理8的逆命题不成立的逆命题不成立.一般一般或者说或者说但是，若由比值或者根值审敛法断定但是，若由比值或者根值审敛法断定则可以保证则可以保证40证明：证明：比值或者根值审敛法断定比值或者根值审敛法断定若由比值或者根值审敛法断定若由比值或者根值审敛法断定则则是因为是因为明显，如果明显，如果必有必有所以，必有所以，必有41注3因为因为绝对收敛必收敛绝对收敛必收敛，所以很多任意项级数的收，所以很多任意项级数的收敛性问题，就转化为正项级数的收敛性问题敛性问题，就转化为正项级数的收敛性问题.即：对某一个任意项级数，如果对通项取绝对值即：对某一个任意项级数，如果对通项取绝对值得到的新级数收敛（得到的新级数收敛（正项级数正项级数），则原级数必收），则原级数必收敛，而且是绝对收敛。敛，而且是绝对收敛。42解解故原级数故原级数例例 判别级数判别级数的敛散性的敛散性.任意项级数任意项级数收敛收敛绝对收敛绝对收敛.43解解故故例例 判别级数判别级数的敛散性的敛散性.根据根值审敛法根据根值审敛法所以所以所以原级数发散所以原级数发散44例例解解(1)所以原级数所以原级数收敛收敛.绝对收敛绝对收敛.是是条件收敛条件收敛还是还是绝对收敛绝对收敛.是等比级数是等比级数,判定下列级数的敛散性判定下列级数的敛散性,对收敛级数要指明对收敛级数要指明45解解因为因为又又(2)由正项级数的比值判别法知由正项级数的比值判别法知,从而级数从而级数(2)由于使用的是由于使用的是比值判别法比值判别法而判定的级数而判定的级数(2)因此因此级数级数发散发散,不绝对收敛不绝对收敛.不绝对收敛不绝对收敛,发散发散.级数级数(2)是是断定断定46通常先考查它通常先考查它若使用比值法或若使用比值法或根值法判定级数不绝对收敛根值法判定级数不绝对收敛(这时级数的通项这时级数的通项不趋于零不趋于零),对交错级数对交错级数,如不是绝如不是绝对收敛的对收敛的,再看它是否条件收敛再看它是否条件收敛.便可断言级数发散便可断言级数发散.可用可用莱布尼茨定理莱布尼茨定理.(用正项级数的审敛法用正项级数的审敛法),讨论讨论任意项级数任意项级数的收敛性时的收敛性时,是否绝对收敛是否绝对收敛47例例绝对收敛绝对收敛.C48例例绝对收敛绝对收敛.B49 正项级数正项级数敛散性判定敛散性判定小结1.2.比值、根值法比值、根值法;3.4.充要条件充要条件5.按基本性质按基本性质5.?比较审敛法比较审敛法发散发散;50任意项级数任意项级数敛散法的判定敛散法的判定3.交错级数交错级数(莱布尼茨定理莱布尼茨定理)1.?发散发散2.绝对收敛绝对收敛4.按基本性质按基本性质5.51判断判断正确正确由比较审敛法知由比较审敛法知收敛收敛.错误错误例如例如收敛收敛,发散发散.(1)(2)