重积分的计算及应用.pptx
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1、习题课习题课一、重积分计算的基本方法一、重积分计算的基本方法 二、重积分计算的基本技巧二、重积分计算的基本技巧 三、重积分的应用三、重积分的应用 重积分的 计算 及应用 一、重积分计算的基本方法一、重积分计算的基本方法1.选择合适的坐标系选择合适的坐标系使积分域多为坐标面使积分域多为坐标面(线线)围成围成;被积函数用此坐标表示简洁或变量分离被积函数用此坐标表示简洁或变量分离.2.选择易计算的积分序选择易计算的积分序积分域分块要少积分域分块要少,累次积分易算为妙累次积分易算为妙.图示法图示法列不等式法列不等式法(从内到外从内到外:面、线、点面、线、点)3.掌握确定积分限的方法掌握确定积分限的方法
2、 累次积分法累次积分法例例1.1.计算积分计算积分其中其中D 由由所围成所围成.提示提示:如图所示如图所示连续连续,所以所以例例2.解解 D 是是 X型。型。解解:例例3.在极坐标系中,闭区域在极坐标系中,闭区域 D 可表示为可表示为例例 4.计算计算所围成所围成.其中其中 由由分析:若用分析:若用“先二后一先二后一”,则有则有计算较繁计算较繁!采用采用“三次积分三次积分”较好较好.所围所围,故可故可 思考思考:若被积函数为若被积函数为 f(y)时时,如何计算简便如何计算简便?表为表为 解解:2(3).计算二重积分计算二重积分其中其中D 为圆周为圆周所围成的闭区域所围成的闭区域.提示提示:利用
3、极坐标利用极坐标原式原式P182练习练习P182 2(3);7;8(1),(3)7.把积分把积分化为三次积分化为三次积分,其中其中 由曲面由曲面提示提示:积分域为积分域为原式原式及平面及平面所围成的闭区域所围成的闭区域.P1838(1).计算积分计算积分其中其中 是是两个球两个球(R 0)的公共部分的公共部分.提示提示:由于被积函数缺由于被积函数缺 x,y,原式原式=利用利用“先二后一先二后一”计算方便计算方便.P1838(3).计算三重积分计算三重积分其中其中 是由是由 xoy平面上曲线平面上曲线所围成的闭区域所围成的闭区域.提示提示:利用柱坐标利用柱坐标原式原式绕绕 x 轴旋转而成的曲面与
4、平面轴旋转而成的曲面与平面P183二、重积分计算的基本技巧二、重积分计算的基本技巧分块积分法分块积分法利用对称性利用对称性1.交换积分顺序的方法交换积分顺序的方法2.利用对称性或重心公式简化计算利用对称性或重心公式简化计算3.消去被积函数绝对值符号消去被积函数绝对值符号例例5.5.改变下列二次积分的积分次序:改变下列二次积分的积分次序:解解(1)(1)积分区域为积分区域为将将 D 向向 y 轴投影。轴投影。积分区域为积分区域为将将 D 向向 x 轴投影轴投影,例例6.如图所示如图所示交换下列二次积分的顺序交换下列二次积分的顺序:解解:解解练习练习:解解(1)D 是是 Y型。型。将将 D 向向
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