大学数学-中美大学生数学竞赛试题的推广论文汇总(79篇).pdf
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1、收稿日期:2006-04-03作者简介:宇永仁(1947-),男,辽宁沈阳人,沈阳师范大学副教授第 25卷第 1期2007 年 1 月沈阳师范大学学报(自然科学版)Journal of Shenyang Normal University(Natural Science)Vol.25,No.1Jan.2007文章编号:1673-5862(2007)01-0127-02从一道数学竞赛题的解法看正确思维的重要性宇永仁1,陈文英2(1.沈阳师范大学 数学与系统科学学院,辽宁 沈阳110034;2.沈阳师范大学 计算中心,辽宁 沈阳110034)摘要:通过一道全国高中数学联赛题的几种不同解法,结合对偶
2、思想、换元思想,说明在解决问题时正确思维的重要性也体现了解题过程中的技巧与方法关键词:正确思维;对偶思想;换元思想中图分类号:O 122.2文献标识码:A解一道具有一定难度的数学题,刚开始也许会感到束手无策,但是,如果认真分析题中给出的条件,寻绎条件与结论之间的内在联系,进行从已知到未知的沟通,就会找到解决问题的思路这里思维的正确与否是解题的关键下面通过一道全国高中数学联赛题谈正确思维的重要性题目:已知 a,b 为正实数,且1a+1b=1 试证:对 n N 有(a+b)n-an-bn22n-2n+1分析:本题是在题设情况下,证明一个不等式成立而不等式左端含 a,b,n,右端只与 n 有关显然,
3、想办法化去 a,b 是证明此题的基本思路而 a,b R+且1a+1b=1 是证明问题唯一可依据的条件因此设法由1a+1b=1 挖掘出其它隐含条件,以确定具体证明方法,由于考虑问题方向不同,下面给出几种不同证法证明:首先由1a+1b=1可推出 3个结论:a+b=ab;ab 4;(a-1)(b-1)=1方法一:左端=(a+b)n-an-bn=(ab)n-an-bn=(an-1)(bn-1)-1=(a-1)(an-1+an-2+a+1)(b-1)(bn-1+bn-2+b+1)-1=(an-1+an-2+a+1)(bn-1+bn-2+b+1)-1(两组 n 个正实数之和的积,要使 a,b 化去,自然想
4、到柯西不等式)abn-1+abn-2+ab+1)2-1(2n-1+2n-2+2+1)2-1=2n-12-12-1=22n-2n+1即(a+b)n-an-bn22n-2n+1成立方法二:左端=(a+b)n-an-bn=C1nan-1b+C2nan-2b2+Cn-1nabn-1设 f=C1nan-1b+C2nan-2b2+Cn-1nabn-1设 f 的对偶式 f(即 f 的反序对偶或自对偶式)f=Cn-1nabn-1+Cn-2na2bn-2+C2nan-2b2+C1nan-1b由 Cmn=Cn-mn,又可确定 f 与 f 之运算,再由均值不等式即可将 a,b 化去f+f=C1n(an-1b+abn
5、-1)+C2n(an-2b2+a2bn-2)+Cn-1n(abn-1+an-1b)2anbn(C1n+C2n+Cn-1n)欢迎加入大学生数学竞赛及考研:122307834 收集整理:我欲封天由 ab 4 及 C0n+C1n+Cnn=2n,又有 f=f易得 f 2n(2n-2)=22n-2n+1,即(a+b)n-an-bn22n-2n+1方法三:由1a+1b=1且 a,b R+,01a 1因此可考虑用换元法去证之设 a=1+t(t 0)由1b=1-1a,可推出 b=1+1t(a+b)n-an-bn=(ab)n-an-bn=(an-1)(bn-1)-1=(a+t)n-11+1tn-1-1=(C1n
6、+C2nt2+Cnntn)C1nt+C2nt2+Cnntn-1(由此形式自然想到应用 Cauchy 不等式使 t 化去)(C1n+C2n+Cnn)2-1=(2n-1)2-1=22 n-2n+1成立通过以上几种证法,说明思维正确是解题关键,在解题过程中灵活应用对偶思想、换元思想、均值不等式、柯西不等式等并结合常用的数学思想和方法,就会使问题迎刃而解参考文献:1金朝枢,苏健一,宇永仁高中数学解题方法与技巧 M沈阳:辽宁人民出版社,1994:129-169 2张桦运用柯西不等式解题的若干技巧 J中学数学,1993(4):22-24 3罗会元配偶、运算、解题中学数学 J1991(7):14-15 4傅
7、世球高中数学解题中隐含条件的挖掘 J数学通报,2005(9):57-59Find out the Importance of Right Thinking fromSolution of a Problem in Mathematics ContestY U Y ong-ren1,CHEN Wen-ying2(1.College of Mathematics and Systems Science,Shenyang Normal University,Shenyang 110034,China;2.Computer Center,Shenyang Normal University,Sheny
8、ang 110034,China)Abstract:From three solutions of a problem in the National Mathematics competation for Senior School Students,andcombine these thoughts with dual and changing,to prove the importance of the right thinking in dealing with problems.It alsoindicates the methods and skills in solving.Ke
9、y words:right thinking;dual thought;ideal of changing128沈阳师范大学学报(自然科学版)第 25卷欢迎加入大学生数学竞赛及考研:122307834 收集整理:我欲封天第 18卷第 3期工科数学Vol.18,.32002年 6月JOURNAL OF M AT HEMATICS FOR TECHNOLOGYJun.2002从一道数学竞赛题谈起赵征权(合肥工业大学 数学系,合肥230009)第四届(1992年)北京市大学生数学竞赛(非数学专业)有这样一道试题:若函数 f(x)对一切 uv 均有f(u)-f(v)u-v=T f(u)+U f(v),
10、(1)其中 T,U 0且 T+U=1,试求 f(x)的表达式.本题有多种解法,现介绍两种不同于 1的解法.解法一 1 若 f(x)k(k为常数),则 f(x)为一次函数,问题已经解决.2 若 f(x)不恒为常数,则至少存在两点 x1与 x2使 f(x1)f(x2),在(1)式中分别令 u=x1,v=x2及 u=x2,v=x1,可得f(x1)-f(x2)x1-x2=T f(x1)+U f(x2),(2)f(x2)-f(x1)x2-x1=T f(x2)+U f(x1).(3)(2)-(3)可得,0=(U-T)f(x2)-f(x1).因为 f(x1)f(x2),所以必有 T=U=12.由此,问题的条
11、件可改为对任意两个不同的点 u,v,均有f(u)-f(v)u-v=12f(u)+f(v).(4)下证 f(x)必为一个二次多项式.为证命题的结论,可取定 v=0,u=x(可变化),并设 f(0)=a,f(0)=b.代入(4)式,可得f(x)-ax=12f(x)+b.上述等式可视为 f(x)的一阶线性微分方程.解该方程,可得 f(x)=a+bx+cx2(c为任意常数),即 f(x)为二次多项式.解法二前半部分与解法一相同,因而只要证明:当 f(x)不恒为常数且对任意两个不同的点 u,v,均有f(u)-f(v)u-v=12f(u)+f(v)时,f(x)必为二次多项式.因而只要证明 f(x)必为一次
12、函数.为此可设 x1,x2,x3为任意三个互不相同的点,分别把 x1,x2;x1,x3;x2,x3代入(4)式,可得f(x1)-f(x2)x1-x2=12f(x1)+f(x2),(5)f(x1)-f(x3)x1-x3=12f(x1)+f(x3),(6)收稿日期 2001-10-22欢迎加入大学生数学竞赛及考研:122307834 收集整理:我欲封天f(x2)-f(x3)x2-x3=12f(x2)+f(x3).(7)(5)-(6)并除以 x2-x3,以及(6)-(7)并除以 x1-x2,经整理可得f(x1)(x1-x2)(x1-x3)+f(x2)(x2-x1)(x2-x3)+f(x3)(x3-x
13、1)(x3-x2)=12f(x1)-f(x2)x1-x2=12f(x1)-f(x3)x1-x3.由于 x1,x2,x3的任意性,上式说明了函数 y=f(x)的曲线上任意两点的连线的斜率相同,从而 f(x)必为一次函数,进一步地可得到 f(x)是二次多项式.本题的前提条件中等式的左侧实质上是函数 f(x)在 u,v两点处的差商,问题的结论说明了函数在两点处的差商与它的导数之间的内在联系,即当 f(x)在任意两点处的差商恒等于它在相应的两点处的导数均值时,它一定是一个二次多项式.众所周知,函数的 n阶差商与它的 n阶导数之间同样也有着内在的联系,由此可设想把问题推广为如下命题.命题设 f(x)在(
14、-,+)内有直到 n阶导数,且对任意的 n+1个互不相同的点 x0,x1,xn,均有等式ni=0f(xi)(xi-x0)(xi-xi-1)(xi-xi+1)(xi-xn)=ni=0Tif(n)(xi)(8)成立,其中 T0,T1,Tn为给定的 n+1个常数,那么 f(x)必为 n+1次多项式.为证明上述命题我们需要下面的引理.引理设 f(x)在(-,+)内有 n阶导数存在,且对任意的 n+1个互不相同的点 x1,xn,均有等式ni=0f(xi)(xi-x0)(xi-x1)(xi-xi-1)(xi-xi+1)(xi-xn)=ni=0Tif(n)(xi)成立,其中 T0,Tn是 n+1个常数,若
15、f(n)(x)不恒为常数,则一定有 T0=T1=Tn.证因为 f(n)(x)不恒为常数,因而一定存在两点 u,v 使 f(n)(u)f(n)(v).现分别令 x0=u,x1=v,而 x2,xn为任意 n-1个与 u,v 不同的点且 x2,xn互不相同,代入(8)式中可得f(u)(u-v)(u-x2)(u-xn)+f(v)(v-u)(v-x2)(v-xn)+f(xn)(xn-u)(xn-v)(xn-xn-1)=T0f(n)(u)+T1f(n)(v)+ni=2Tif(n)(xi).(9)同理,取 x0=v,x1=u,而 x2,xn仍为前面所取得的 n-1个点同样地代入(8)式,可得f(v)(v-u
16、)(v-x2)(v-xn)+f(u)(u-v)(u-x2)(u-xn)+f(xn)(xn-v)(xn-u)(xn-xn-1)=T0f(n)(v)+T1f(n)(u)+ni=2Tif(n)(xi).(10)(9)-(10),可得 0=(T0-T1)f(n)(u)-f(n)(v).因为 f(n)(u)f(n)(v),所以 T0-T1=0,从而 T0=T1.同理可证得 T2=T3=Tn.命题的证明(i)若 f(n)(x)k(k为常数),则 f(x)是一个次数不超过 n的多项式,命题成立.(ii)若 f(n)(x)不恒为常数,由前面的引理可知此时一定有 T0=T1=Tn=T.这样命题的前提条件可改为对
17、任意 n+1个互不相同的点 x0,x1,xn,均有等式ni=0f(xi)(xi-x0)(xi-xi-1)(xi-xi+1)(xi-xn)=Tni=0f(n)(xi)(11)成立.如果记 f(x0,x1,xn)=ni=0f(xi)(xi-x0)(xi-xi-1)(xi-xi+1)(xi-xn),相应的等式可改写为f(x0,x1,xn)=Tni=0f(n)(xi).(12)设 x0,x1,xn+1是 n+2个任取的互不相同的点,分别把 x0,x1,xn-1,xn+1及 x1,x2,xn+1代入99第 3期赵征权:从一道数学竞赛题谈起欢迎加入大学生数学竞赛及考研:122307834 收集整理:我欲封
18、天(12)式,可得f(x0,x1,xn-1,xn+1)=Tn-1i=0f(n)(xi)+T f(n)(xn+1),(13)f(x1,x2,xn+1)=Tn+1i=1f(n)(xi).(14)(12)-(13)除以 xn-xn+1,经计算可得f(x0,x1,xn,xn+1)=Tf(n)(xn)-f(n)(xn+1)xn-xn+1.(13)-(14)除以 xn-x0,可得f(x0,x1,xn,xn+1)=Tf(n)(xn)-f(n)(x0)xn-x0.从而对任意的三点 x0,xn,xn+1,均有f(n)(xn)-f(n)(xn+1)xn-xn+1=f(n)(xn)-f(n)(x0)xn-x0,即
19、f(n)(x)为一次函数,因而 f(x)必为 n+1次多项式.注容易验证,若 f(x)为次数低于 n的多项式时命题中的常数T0,T1,Tn可以取任意值,而 f(x)为 n次多项式时只要取满足关系式ni=0Ti=1n!的任意一组常数即可,而当 f(x)为 n+1次多项式时,必有 T0=T1=an=1(n+1)!成立.参考文献 1李心灿等.大学生数学竞赛试题研究生入学考试难题选编.北京:高等教育出版社,1997.100工科数学第 17卷欢迎加入大学生数学竞赛及考研:122307834 收集整理:我欲封天 收稿日期 ;修改日期 基金项目河北省自然科学基金资助项目()作者简介崔凯华(),女,本科在读,
20、光电信息科学与工程专业 :第 卷第期大学数学 ,年 月 第六届全国大学生数学竞赛预赛一道题的推广崔凯华,曲宇勋,蒋恺,石粒力(天津大学 数学学院,天津 )摘要对第六届全国大学生数学竞赛预赛(非数学类)的一道竞赛题进行了推广,探索了高维和高阶形式下的积分与积分定义差值的无穷小的运算性质 关键词大学生数学竞赛;积分;积分的定义 中图分类号 文献标识码 文章编号 ()引言为促进高校数学课程的建设和改革,激发同学们对数学的兴趣,培养其分析问题和解决问题的能力,发现和选拔数学创新人才,中国数学会自 年开始,每年举办一届全国大学生数学竞赛 参加这项活动,有助于全面展示高等数学教学水平和教学改革成果,有助于
21、学生夯实高等数学知识、拓展技能,对于考研学生复习高等数学和全面提高大学生数学综合运用能力起很大的促进作用 大学生数学竞赛试题中,有很多题目非常好,例如第六届大学生数学竞赛预赛(非数学类)的第六题,反映了积分和其定义式之间相差的等价无穷小的性质关于此类题型,在近年来被广泛地考察,所以基于此类题型,我们从两个方向继续推广这个结论,使之具有更一般的意义 第六题如下设,求 ()解令(),则 ()烄烆()烌烎 烄烆()烌烎 ()()熿燀()()()燄燅()由第一积分中值定理得()式 ()()()()欢迎加入大学生数学竞赛及考研:122307834 收集整理:我欲封天由拉格朗日中值定理得 ()()()()
22、()()()()()事实上,在裴礼文所著 数学分析中的典型问题与方法(,例 )有这样一道题 设()在,上可导,()在,可积,瓔,记()()试证 ()()由此可见,本竞赛题是上述题目的特例主要结论引理若()在,上不变号,()在,上的值域,()在,上可导且导函数有界,则(,),使得()()()()证因为()有界,且(),所以(),(),()又因为()不变号,不妨令()在区间内恒成立,故()()()()()当时,令(),(),不妨设,则由 定理可知存在(,)(,),使得()()()();()当时,易知()(为常数),存在(,),使得()()()()故命题得证 对于多元函数一阶情况的推广定理 设(,)
23、在区域,上具有一阶连续偏导数,令(),(),则有 (,)()()(,)(,)(,),(,)()证 (,)()(),(,),()()()()()()(,)()(),(,)大学数学第 卷欢迎加入大学生数学竞赛及考研:122307834 收集整理:我欲封天 ,()()()()()()(,),()()()()()()(,),()()()()()()(,)(,)()使用二元函数的 公式可得()式 ,()()()()()()(,)()(,)(),()(其中介于与之间,介于与之间)对上式的每一项分析,由于在每个小区间上,各偏导存在最大值和最小值,即,因为,积分值为负值,故()()()()()()()()()
24、()()()()(,)()()()()()()()()由连续函数的介值定理,每个小区间上必存在点,(),其中()()(),()()(),使得()()()()()()(,)()(,)()()()()()()(),每一项做如上处理并相加得()式 (,)()()()()()()()(,)()()()()()()()()()(,)()()(,)()因此 (,)()(),(,)()()(,)()()(,)()注意到 ()()(,)(,),()()(,)(,)因此()式()(,)()(,)第期崔凯华,等:第六届全国大学生数学竞赛预赛一道题的推广欢迎加入大学生数学竞赛及考研:122307834 收集整理:我
25、欲封天(,)(,),(,)()故结论得证同理,我们可以得到元的情况:设(,)在区域,上具有一阶连续偏导数,令(),则有 ,()()()()(,)(,)(,(),(),()()令(,),则上式!()特别地,当,时()式()!(,)()例如,时 ()()()()(),()时 (,)(),(),()()()()具有非常简洁直观的形式可见,在一阶的时候,黎曼积分的近似与积分差值是的同阶无穷小,其系数仅仅与边界值有关系而高阶情况下,也有类似结论,此时的边界值,指的是()维空间上关于边界值在边界上的积分 至此,关于多元函数的情况讨论结束由于在一阶情况下,我们使用了拉格朗日中值定理,即一阶的泰勒定理,所以,
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