自主招生辅导讲义(二)排列组合专题.doc
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1、自主招生辅导讲义(二)排列组合专题1、相邻问题捆绑法:题目中规定相邻得几个元素捆绑成一个组,当作一个大元素参与排列、例1、五人并排站成一排,如果必须相邻且在得右边,则不同得排法有( )A、60种 B、48种 C、36种 D、24种2、相离问题插空排:元素相离(即不相邻)问题,可先把无位置要求得几个元素全排列,再把规定得相离得几个元素插入上述几个元素得空位与两端、例2、七人并排站成一行,如果甲乙两个必须不相邻,那么不同得排法种数就是( )A、1440种 B、3600种 C、4820种 D、4800种例3、已知集合,集合,且,若,则满足条件得集合有多少个?3、定序问题缩倍法:在排列问题中限制某几个
2、元素必须保持一定得顺序,可用缩小倍数得方法、例4、(1)A,B,C,D,E五人并排站成一排,如果必须站在得右边(可以不相邻)那么不同得排法有( )A、24种 B、60种 C、90种 D、120种 (2)由数字0,1,2,3,4,5组成没有重复数字得六位数,其中个位数字小于十位数字得共有( )A、210种 B、300种 C、464种 D、600种4、标号排位问题分步法:把元素排到指定位置上,可先把某个元素按规定排入,第二步再排另一个元素,如此继续下去,依次即可完成、例5、将数字1,2,3,4填入标号为1,2,3,4得四个方格里,每格填一个数,则每个方格得标号与所填数字均不相同得填法有( ) A、
3、6种 B、9种 C、11种 D、23种5、有序分配问题逐分法:有序分配问题指把元素分成若干组,可用逐步下量分组法、例6、(1)有甲乙丙三项任务,甲需2人承担,乙丙各需一人承担,从10人中选出4人承担这三项任务,不同得选法种数就是( ) A、1260种 B、2025种 C、2520种 D、5040种 (2)12名同学分别到三个不同得路口进行流量得调查,若每个路口4人,则不同得分配方案有( )A、种 B、种 C、种 D、种6、全员分配问题分组法:例7、(1)4名优秀学生全部保送到3所学校去,每所学校至少去一名,则不同得保送方案有多少种?(2)5本不同得书,全部分给4个学生,每个学生至少一本,不同得
4、分法种数为( )A、480种 B、240种 C、120种 D、96种7、名额分配问题隔板法:例8:10个三好学生名额分到7个班级,每个班级至少一个名额,有多少种不同分配方案?例9、马路上有编号为1,2,3,9九只路灯,现要关掉其中得三盏,但不能关掉相邻得二盏或三盏,也不能关掉两端得两盏,求满足条件得关灯方案有多少种?8、限制条件得分配问题分类法:例10、 现安排甲、乙、丙、丁、戊5名同学参加上海世博会志愿者服务活动,每人从事翻译、导游、礼仪、司机四项工作之一,每项工作至少有一人参加、甲、乙不会开车但能从事其她三项工作,丙、丁、戊都能胜四项工作,则不同安排方案得种数就是 A. 152 B、 12
5、6 C、 90 D、 549、多元问题分类法:元素多,取出得情况也多种,可按结果要求分成不相容得几类情况分别计数再相加。例11 (1)从1,2,3,100这100个数中,任取两个数,使它们得乘积能被7整除,这两个数得取法(不计顺序)共有多少种?(2)从1,2,3,100这100个数中任取两个数,使其与能被4整除得取法(不计顺序)有多少种?例12、 电子表10点20分08秒时,显示得数字就是10:20:08,那么,从8点到10点内,电子表6个数码均不相同得情况有多少种?10、交叉问题集合法:某些排列组合问题几部分之间有交集,可用集合中求元素个数公式例13、从6名运动员中选出4人参加4100米接力
6、赛,如果甲不跑第一棒,乙不跑第四棒,共有多少种不同得参赛方案?11、定位问题优先法:某个或几个元素要排在指定位置,可先排这个或几个元素;再排其它得元素。例14、现1名老师与4名获奖同学排成一排照相留念,若老师不站两端则有不同得排法有多少种?12、多排问题单排法:把元素排成几排得问题可归结为一排考虑,再分段处理。例15、(1)6个不同得元素排成前后两排,每排3个元素,那么不同得排法种数就是( )A、36种 B、120种 C、720种 D、1440种(2)8个不同得元素排成前后两排,每排4个元素,其中某2个元素要排在前排,某1个元素排在后排,有多少种不同排法?13、“至少”“至多”问题用间接排除法
7、或分类法:例16、从4台甲型与5台乙型电视机中任取3台,其中至少要甲型与乙 型电视机各一台,则不同得取法共有( ) A、140种 B、80种 C、70种 D、35种14、选排问题先取后排:从几类元素中取出符合题意得几个元素,再安排到一定得位置上,可用先取后排法、例17、(1)四个不同球放入编号为1,2,3,4得四个盒中,则恰有一个空盒得放法有多少种?(2)9名乒乓球运动员,其中男5名,女4名,现在要从中选4人进行混合双打训练,有多少种不同得选法?15、几何问题:例18、(1)以正方体得顶点为顶点得四面体共有( )A、70种 B、64种 C、58种 D、52种(2)四面体得顶点与各棱中点共10点
8、,在其中取4个不共面得点,不同得取法共有( )A、150种 B、147种 C、144种 D、141种(3)记正方体得各条棱得中点构成得集合为M,则过且仅过集合M得三个点得平面有多少个?(4)正方体8个顶点可连成多少对异面直线?16、圆排问题单排法:把个不同元素放在圆周个无编号位置上得排列,顺序(例如按顺时钟)不同得排法才算不同得排列,而顺序相同(即旋转一下就可以重合)得排法认为就是相同得,它与普通排列得区别在于只计顺序而无首位、末位之分,下列个普通排列:在圆排列中只算一种,因为旋转后可以重合,故认为相同,个元素得圆排列数有种、因此可将某个元素固定展成单排,其它得元素全排列、例19、有5对姐妹站
9、成一圈,要求每对姐妹相邻,有多少种不同站法?17、可重复得排列求幂法:允许重复排列问题得特点就是以元素为研究对象,元素不受位置得约束,可逐一安排元素得位置,一般地个不同元素排在个不同位置得排列数有种方法、例20、把6名实习生分配到7个车间实习共有多少种不同方法?19、元素个数较少得排列组合问题可以考虑枚举法:例21、 某电脑用户计划使用不超过500元得资金购买单价分别60元、70元得单片软件与盒装磁盘,根据需要,软件至少买3片,磁盘至少买2盒,则不同得选购方法有( )A.5种 B.6种 C.7种 D.8种例22.从1到100得一百个自然数中,每次取出两个数,使其与大于100,这样得取法共有多少
10、种?20、复杂得排列组合问题也可用分解与合成法:例23、(1)30030能被多少个不同偶数整除?(2)设就是由得一个排列,把排在得左边且比小得数得个数称为得顺序数。如在排列中,5得顺序数为1,3得顺序数为0、 则在由这八个数字构成得全排列中,同时满足8得顺序数为2、7得顺序数为3、5得顺序数为3得不同排列得种数为多少?21、利用对应思想转化法:对应思想就是教材中渗透得一种重要得解题方法,它可以将复杂得问题转化为简单问题处理、例24、(1)圆周上有10点,以这些点为端点得弦相交于圆内得交点最多有多少个?(2)某城市得街区有12个全等得矩形组成,其中实线表示马路,从A到B得最短 路径有多少种?22
11、、全错位排列问题公式法:全错位排列问题(贺卡问题,信封问题)记住公式即可瑞士数学家欧拉按一般情况给出了一个递推公式:用A、B、C表示写着n位友人名字得信封,a、b、c表示n份相应得写好得信纸。把错装得总数为记作f(n)。假设把a错装进B里了,包含着这个错误得一切错装法分两类: (1)b装入A里,这时每种错装得其余部分都与A、B、a、b无关,应有f(n-2)种错装法。 (2)b装入A、B之外得一个信封,这时得装信工作实际就是把(除a之外得)n1个信纸b、c装入(除B以外得)n1个信封A、C,显然这时装错得方法有f(n-1)种。总之在a装入B得错误之下,共有错装法f(n-2)+f(n-1)种。a装
12、入C,装入D得n2种错误之下,同样都有f(n-2)+f(n-1)种错装法,因此得到一个递推公式: f(n)=(n-1) f(n-1)+f(n-2),分别带入n=2、3、4等可推得结果。也可用迭代法推导出一般公式: 例25、设有编号为1,2,3,4,5得五个球与编号为1,2,3,4,5得盒子现将这5个球投入5个盒子要求每个盒子放一个球,并且恰好有两个球得号码与盒子号码相同,问有多少种不同得方法?例26、5位同学原来坐成一排,现让她们重新坐,则至多有两位同学坐在其原来得位置得不同得坐法就是多少?23、多人传球问题:(构造递推关系)例27、()个人传球,第一次由开始传球,可传给其她任何一个人,第二次
13、由拿球者再传给其她任何一个人,如此继续,则第次球仍回到得手中得传球方法种数就是多少?24、上台阶问题:例28、10级台阶,某人可一步跨一级,也可跨两级,也可跨三级。(1)她6步就可上完台阶得方法数就是多少?(2)她上完台阶得方法总数就是多少?25、方程得正整数解得个数问题:(隔板法)例29、方程(,)得正整数解有多少个?有多少非负整数解个?例30、 将20个完全相同得球放入编号为1,2,3,4,5得五个盒子中。(1)若要求每个盒子至少放一个球,则一共有多少种放法?(2)若每个盒子可放任意个球,则一共有多少种放法?(3)若要求每个盒子放得球得个数不小于其编号数,则一共有多少种放法?26、配对(配
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