全等三角形证明之能力拔高(经典题目).doc

全等三角形能力拔高题
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一、角度转化问题
1．已知：如图，AB⊥AE，AD⊥AC，∠E＝∠B，DE＝CB．
求证：AD＝AC．

2．已知：如图，AD＝AE，AB＝AC，∠DAE＝∠BAC．
求证：BD＝CE．

3．已知：如图，在△MPN中，H是高MQ和NR的交点，且MQ＝NQ．
求证：HN＝PM.

4.如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，直线l经过顶点C，过A、B两点分别作l的垂线AE、BF，E、F为垂足．当直线l不与底边AB相交时，求证：EF＝AE＋BF．

5．已知：如图，AE⊥AB，BC⊥AB，AE＝AB，ED＝AC．
求证：ED⊥AC．

二、二次全等问题
1.已知：如图，线段AC、BD交于O，∠AOB为钝角，AB＝CD，BF⊥AC于F，DE⊥AC于E，AE＝CF．
求证：BO＝DO．

2．已知：如图，AC与BD交于O点，AB∥DC，AB＝DC．若过O点作直线l，分别交AB、DC于E、F两点，求证：OE＝OF.

3．如图，E在AB上，∠1＝∠2，∠3＝∠4，那么AC等于AD吗？为什么？

4．已知：如图，DE⊥AC，BF⊥AC，AD＝BC，DE＝BF.
求证：AB∥DC.

5、已知：如图，AD平分∠BAC，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，DB=DC，
求证：EB=FC

【练习】1、已知∠B=∠E=90°，CE=CB，AB∥CD.
求证：△ADC是等腰三角形。

2、如图：AB=AC，ME⊥AB，MF⊥AC，垂足分别为E、F，ME=MF。
求证：MB=MC

E
D
C
A
B

3、已知，△ABC和△ECD都是等边三角形，且点B，C，D在一条直线上求证：BE=AD

4、如图：在△ABC中，∠C =90°，AD平分∠ BAC，DE⊥AB交AB于E，BC=30，
BD：CD=3：2，则DE= 。

G
F
E
D
C
B
A
5、如图，已知，EG∥AF，请你从下面三个条件中，再选出两个作为已知条件，另一个作为结论，推出一个正确的命题。（只写出一种情况）①AB=AC ②DE=DF ③BE=CF
已知：EG∥AF，________，__________
求证：_________

6、如图，在Rt△ABC中，∠ACB=45°，∠BAC=90°，AB=AC，点D是AB的中点，AF⊥CD于H交BC于F，BE∥AC交AF的延长线于E，
求证：BC垂直且平分DE.

【思维拓展】
证明线段的和、差、倍、分问题时，常采用“割长”、“补短”等方法，构造全等三角形。
提示：要证明两条线段的和与一条线段相等时常用的两种方法：
（1）、可在长线段上截取与两条线段中一条相等的一段，然后证明剩余的线段与另一条线段相等。（割）
（2）、把一个三角形移到另一位置，使两线段补成一条线段，再证明它与长线段相等。（补））

A
C
E
B
D
1、如图,已知AC∥BD，EA、EB分别平分∠CAB和∠DBA，CD过点E，求证AB=AC+BD

A
B
E
C
D

2、如图，AD∥BC，E为AB的中点，DE平分∠ADC，
CE平分∠BCD，求证AD+BC=CD.

【提升练习】
1、如图所示，OP为∠MON的平分线，请利用该图形画一对以OP所在直线为对称轴的全等三角形。请在图（1）中作出，然后解答下列问题。
（1） 如图（2）所示，在△ABC中，∠ACB是直角。∠B=60°，AD，CE分别是∠BAC，∠BCA的平分线，AD,CE相交于点F。请写出FE与FD之间的数量关系。
（2） 如图（3）所示，在△ABC中，如果∠ACB不是直角，而其他条件不变，（1）中所得的结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由。
B
E
A
C
D
O
P
M
N

A
B
C
D
E

图（1） 图（2） 图（3）

2、如图，已知：△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，分别过B，C向经过点A的直线EF作垂线，垂足为E，F。
（1）证明：EF与斜边BC不相交时，则有EF=BE+CF（如图1）。
（2）如图2，EF与斜边BC相交时，其他条件不变，你能得到什么结论？请给出证明。

3、已知，如图①所示，在和中，，，，且点在一条直线上，连接分别为的中点．
（1）求证：①；②；
C
E
N
D
A
B
M
图①

C
A
E
M
B
D
N
图②

（2）在图①的基础上，将绕点按顺时针方向旋转，其他条件不变，得到图②所示的图形．请直接写出（1）中的两个结论是否仍然成立.

4、已知：如图，是等边三角形，过边上的点作，交于点，在的延长线上取点，使，连接．
（1）求证：；
（2）过点作，交于点，请你连接，并判断是怎样的三角形，试证明你的结论．

5、中，将绕点顺时针旋转角得交于点，分别交于两点．如图1，观察并猜想，在旋转过程中，线段与有怎样的数量关系？并证明你的结论；
A
D
B
E
C
F

A
D
B
E
C
F

A
B
C
D
E
F

6、如图，△ABC是等腰直角三角形，∠ACB＝90°，AD是BC边上的中线，过C作AD的垂线，交AB于点E，交AD于点F，求证：∠ADC＝∠BDE．

7、如图1，四边形ABCD是正方形，M是AB延长线上一点。直角三角尺的一条直角边
经过点D，且直角顶点E在AB边上滑动（点E不与点A，B重合），另一条直角边与∠CBM
的平分线BF相交于点F.
⑴ 如图14―1，当点E在AB边的中点位置时：
① 通过测量DE，EF的长度，猜想DE与EF满足的数量关系是 ；
② 连接点E与AD边的中点N，猜想NE与BF满足的数量关系是 ；
③ 请证明你的上述两猜想.
⑵ 如图14―2，当点E在AB边上的任意位置时，请你在AD边上找到一点N,
使得NE=BF，进而猜想此时DE与EF有怎样的数量关系并证明

8、已知中，为边的中点，
绕点旋转，它的两边分别交、（或它们的延长线）于、
当绕点旋转到于时（如图1），易证
A
E
C
F
B
D
图1
图3
A
D
F
E
C
B
A
D
B
C
E
图2
F
当绕点旋转到不垂直时，在图2和图3这两种情况下，上述结论是否成立？若成立，请给予证明；若不成立，、、又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，不需证明．

9、已知：在△ABC中，∠ACB为锐角，点D为射线BC上一动点，连接AD，以AD为一边且在AD的左侧作等腰直角△ADE，解答下列各题：如果AB=AC，∠BAC=90°．
（1）当点D在线段BC上时（与点B不重合），如图甲，线段BD，CE之间的位置关系怎样？说明理由。
（2）当点D在线段BC的延长线上时，如图乙， (1)中的结论是否还成立？为什么？

10、如图1，在正方形ABCD中，点E、F分别为边BC、CD的中点，AF、DE相交于点G，则可得结论：①AF=DE；②AF⊥DE.(不需要证明)
　　(1)如图2，若点E、F不是正方形ABCD的边BC、CD的中点，但满足CE=DF.则上面的结论①、②是否仍然成立？(请直接回答“成立”或“不成立”)
(2)如图3，若点E、F分别在正方形ABCD的边CB的延长线和DC的延长线上，且CE=DF，此时上面的结论①、②是否仍然成立？若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由.

11、数学课上，张老师出示了问题：如图1，四边形ABCD是正方形，点E是边BC的中点．，且EF交正方形外角的平分线CF于点F，求证：AE=EF．
经过思考，小明展示了一种正确的解题思路：取AB的中点M，连接ME，则AM=EC，易证，所以．
在此基础上，同学们作了进一步的研究：
（1）小颖提出：如图2，如果把“点E是边BC的中点”改为“点E是边BC上（除B，C外）的任意一点”，其它条件不变，那么结论“AE=EF”仍然成立，你认为小颖的观点正确吗？如果正确，写出证明过程；如果不正确，请说明理由；
（2）小华提出：如图3，点E是BC的延长线上（除C点外）的任意一点，其他条件不变，结论“AE=EF”仍然成立．你认为小华的观点正确吗？如果正确，写出证明过程；如果不正确，请说明理由．
A
D
F
C
G
E
B
图1
A
D
F
C
G
E
B
图2
A
D
F
C
G
E
B
图3

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