高中一题多解经典练习题1.doc

高中一题多解经典练习题
1、原题： 的定义域为R，求m的取值范围
解：由题意在R上恒成立
且Δ，得
变1：的定义域为R，求m的取值范围
解：由题意在R上恒成立
且Δ，得
变2：的值域为R，求m的取值范围
解：令，则要求t能取到所有大于0的实数，
当时，t能取到所有大于0的实数
当时，且Δ

变3：的定义域为R,值域为，求m,n的值
解：由题意，令，得
时，Δ-
1和9时的两个根

当时， ，也符合题意

2、解不等式
解法一：根据绝对值的定义，进行分类讨论求解
（1）当时，不等式可化为
（2）当时，不等式可化为
综上：解集为
解法二：转化为不等式组求解
原不等式等价于

综上：解集为
解法三：利用等价命题法
原不等式等价于
，即
解集为
解法四：利用绝对值的集合意义
原不等式可化为
，不等式的几何意义时数轴上的点的距离大于，且小于，由图得， 解集为

3、已知是等比数列的前n想项和，成等差数列，求证：成等差数列
法一：用公式，
因为成等差数列，所以且则

所以
所以 成等差数列｀
法二用公式，
则，所以 成等差数列｀
证法三：（用公式）

解得（下略）

4、 已知且是第二象限角，求
解：是第二象限角，
变1：，求
解：，所以是第一或第二象限角
若是第一象限角，则
若是第二象限角，则
变2：已知求
解：由条件，所以
当 时，是第一或第二象限角
若是第一象限角时
若是第二象限角
当时不存在

变3：已知，求
解：当时，不存在
当时，
当时第一、第四象限角时，
当是第二、第三象限角时，

5、求函数的值域
方法一：判别式法 --
设 ，则，由Δ-
当时，-， 因此当时，
有最小值2，即值域为
方法二：单调性法
先判断函数的单调性
任取，则
当时，即，此时在上时减函数
当时，在上是增函数
由在上是减函数，在上是增函数，知
时，有最小值2，即值域为
方法三：配方法
，当时，，此时
有最小值2，即值域为
方法四：基本不等式法

有最小值2，即值域为

6、若函数的定义域为R，求实数a的取值范围
解：由题意得
在R上恒成立，则要求
且Δ
变式一：函数的定义域为R，求实数a的取值范围
解：由题意得
在R上恒成立，则要求
且Δ
变式二：函数的值域为R，求实数a的取值范围
解：令 能取到所有大于0的实数，则
时，能取到所有大于0的实数
时，且Δ
综上

7、求函数的值域
方法一：判别式法 --
设 ，则，由Δ-
当时，-， 因此当时，
有最小值2，即值域为
方法二：单调性法
先判断函数的单调性
任取，则
当时，即，此时在上时减函数
当时，在上是增函数
由在上时减函数，在上是增函数，知
时，有最小值2，即值域为
方法三：配方法
，当时，，此时
有最小值2，即值域为
方法四：基本不等式法

有最小值2，即值域为

原题：若函数的定义域为R，求实数a的取值范围
解：由题意得
在R上恒成立，则要求
且Δ
变式一：函数的定义域为R，求实数a的取值范围
解：由题意得
在R上恒成立，则要求
且Δ
变式二：函数的值域为R，求实数a的取值范围
解：令 能取到所有大于0的实数，则
时，能取到所有大于0的实数
时，且Δ
综上

8、椭圆的焦点是，椭圆上一点P满足，下面结论正确的是———————————————————————（ ）
（A）P点有两个 （B）P点有四个

（C）P点不一定存在 （D）P点一定不存在

解法一：
以为直径构圆，知：圆的半径，即圆与椭圆不可能有交点。故选D

解法二：
由题知，而在椭圆中：，不可能成立故选D

解法三：
由题意知当p点在短轴端点处最大，设，此时为锐角，与题设矛盾。故选D

解法四：
设，由知，而无解，故选D

解法五：
设，假设，则，而
即：，不可能。故选D

解法六：，故不可能。故选D
解法七：设由焦半径知：

而在椭圆中而>,故不符合题意，故选D

解法八.
设圆方程为：
椭圆方程为：
两者联立解方程组得：

不可能
故圆与椭圆无交点
即 不可能垂直
故选D

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