初二数学知识点归纳.doc
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初二数学应知应会知识点 第一章 一次函数 1 函数的定义,函数的定义域、值域、表达式,函数的图像 2 一次函数和正比例函数,包括他们的表达式、增减性、图像 3 从函数的观点看方程、方程组和不等式 第二章 数据的描述 1 了解几种常见的统计图表:条形图、扇形图、折线图、复合条形图、直方图,了解各种图表的特点 条形图特点: (1)能够显示出每组中的具体数据; (2)易于比较数据间的差别 扇形图的特点: (1)用扇形的面积来表示部分在总体中所占的百分比; (2)易于显示每组数据相对与总数的大小 折线图的特点; 易于显示数据的变化趋势 直方图的特点: (1)能够显示各组频数分布的情况; (2)易于显示各组之间频数的差别 2 会用各种统计图表示出一些实际的问题 第三章 全等三角形 1 全等三角形的性质: 全等三角形的对应边、对应角相等 2 全等三角形的判定 边边边、边角边、角边角、角角边、直角三角形的HL定理 3 角平分线的性质 角平分线上的点到角的两边的距离相等; 到角的两边距离相等的点在角的平分线上。 第四章 轴对称 1 轴对称图形和关于直线对称的两个图形 2 轴对称的性质 轴对称图形的对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线; 如果两个图形关于某条直线对称,那么对称轴是任何一对对应点所连的线段的垂直平分线; 线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等; 到线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上 3 用坐标表示轴对称 点(x,y)关于x轴对称的点的坐标是(x,-y),关于y轴对称的点的坐标是(-x,y),关于原点对称的点的坐标是(-x,-y). 4 等腰三角形 等腰三角形的两个底角相等;(等边对等角) 等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高线互相重合;(三线合一) 一个三角形的两个相等的角所对的边也相等。(等角对等边) 5 等边三角形的性质和判定 等边三角形的三个内角都相等,都等于60度; 三个角都相等的三角形是等边三角形; 有一个角是60度的等腰三角形是等边三角形; 推论: 直角三角形中,如果有一个锐角是30度,那么他所对的直角边等于斜边的一半。 在三角形中,大角对大边,大边对大角。 第五章 整式 1 整式定义、同类项及其合并 2 整式的加减 3 整式的乘法 (1)同底数幂的乘法: (2)幂的乘方 (3)积的乘方 (4)整式的乘法 4 乘法公式 (1)平方差公式 (2)完全平方公式 5 整式的除法 (1)同底数幂的除法 (2)整式的除法 6 因式分解 (1)提共因式法 (2)公式法 (3)十字相乘法 初二下册知识点 第一章 分式 1 分式及其基本性质 分式的分子和分母同时乘以(或除以)一个不等于零的整式,分式的只不变 2 分式的运算 (1)分式的乘除 乘法法则:分式乘以分式,用分子的积作为积的分子,分母的积作为积的分母 除法法则:分式除以分式,把除式的分子、分母颠倒位置后,与被除式相乘。 (2) 分式的加减 加减法法则:同分母分式相加减,分母不变,把分子相加减; 异分母分式相加减,先通分,变为同分母的分式,再加减 3 整数指数幂的加减乘除法 4 分式方程及其解法 第二章 反比例函数 1 反比例函数的表达式、图像、性质 图像:双曲线 表达式:y=k/x(k不为0) 性质:两支的增减性相同; 2 反比例函数在实际问题中的应用 第三章 勾股定理 1 勾股定理:直角三角形的两个直角边的平方和等于斜边的平方 2 勾股定理的逆定理:如果一个三角形中,有两个边的平方和等于第三条边的平方,那么这个三角形是直角三角形。 第四章 四边形 1 平行四边形 性质:对边相等;对角相等;对角线互相平分。 判定:两组对边分别相等的四边形是平行四边形; 两组对角分别相等的四边形是平行四边形; 对角线互相平分的四边形是平行四边形; 一组对边平行而且相等的四边形是平行四边形。 推论:三角形的中位线平行第三边,并且等于第三边的一半。 2 特殊的平行四边形:矩形、菱形、正方形 (1) 矩形 性质:矩形的四个角都是直角; 矩形的对角线相等; 矩形具有平行四边形的所有性质 判定: 有一个角是直角的平行四边形是矩形; 对角线相等的平行四边形是矩形; 推论: 直角三角形斜边的中线等于斜边的一半。 (2) 菱形 性质:菱形的四条边都相等; 菱形的对角线互相垂直,并且每一条对角线平分一组对角; 菱形具有平行四边形的一切性质 判定:有一组邻边相等的平行四边形是菱形; 对角线互相垂直的平行四边形是菱形; 四边相等的四边形是菱形。 (3) 正方形:既是一种特殊的矩形,又是一种特殊的菱形,所以它具有矩形和菱形的所有性质。 3 梯形:直角梯形和等腰梯形 等腰梯形:等腰梯形同一底边上的两个角相等; 等腰梯形的两条对角线相等; 同一个底上的两个角相等的梯形是等腰梯形。 第五章 数据的分析 加权平均数、中位数、众数、极差、方差 第一章 一次函数 1 函数的定义,函数的定义域、值域、表达式,函数的图像 2 一次函数和正比例函数,包括他们的表达式、增减性、图像 3 从函数的观点看方程、方程组和不等式 第二章 数据的描述 1 了解几种常见的统计图表:条形图、扇形图、折线图、复合条形图、直方图,了解各种图表的特点 条形图特点: (1)能够显示出每组中的具体数据; (2)易于比较数据间的差别 扇形图的特点: (1)用扇形的面积来表示部分在总体中所占的百分比; (2)易于显示每组数据相对与总数的大小 折线图的特点; 易于显示数据的变化趋势 直方图的特点: (1)能够显示各组频数分布的情况; (2)易于显示各组之间频数的差别 2 会用各种统计图表示出一些实际的问题 第三章 全等三角形 1 全等三角形的性质: 全等三角形的对应边、对应角相等 2 全等三角形的判定 边边边、边角边、角边角、角角边、直角三角形的HL定理 3 角平分线的性质 角平分线上的点到角的两边的距离相等; 到角的两边距离相等的点在角的平分线上。 第四章 轴对称 1 轴对称图形和关于直线对称的两个图形 2 轴对称的性质 轴对称图形的对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线; 如果两个图形关于某条直线对称,那么对称轴是任何一对对应点所连的线段的垂直平分线; 线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等; 到线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上 3 用坐标表示轴对称 点(x,y)关于x轴对称的点的坐标是(x,-y),关于y轴对称的点的坐标是(-x,y),关于原点对称的点的坐标是(-x,-y). 4 等腰三角形 等腰三角形的两个底角相等;(等边对等角) 等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高线互相重合;(三线合一) 一个三角形的两个相等的角所对的边也相等。(等角对等边) 5 等边三角形的性质和判定 等边三角形的三个内角都相等,都等于60度; 三个角都相等的三角形是等边三角形; 有一个角是60度的等腰三角形是等边三角形; 推论: 直角三角形中,如果有一个锐角是30度,那么他所对的直角边等于斜边的一半。 在三角形中,大角对大边,大边对大角。 第五章 整式 1 整式定义、同类项及其合并 2 整式的加减 3 整式的乘法 (1)同底数幂的乘法: (2)幂的乘方 (3)积的乘方 (4)整式的乘法 4 乘法公式 (1)平方差公式 (2)完全平方公式 5 整式的除法 (1)同底数幂的除法 (2)整式的除法 6 因式分解 (1)提共因式法 (2)公式法 (3)十字相乘法 初二下册知识点 第一章 分式 1 分式及其基本性质 分式的分子和分母同时乘以(或除以)一个不等于零的整式,分式的只不变 2 分式的运算 (1)分式的乘除 乘法法则:分式乘以分式,用分子的积作为积的分子,分母的积作为积的分母 除法法则:分式除以分式,把除式的分子、分母颠倒位置后,与被除式相乘。 (2) 分式的加减 加减法法则:同分母分式相加减,分母不变,把分子相加减; 异分母分式相加减,先通分,变为同分母的分式,再加减 3 整数指数幂的加减乘除法 4 分式方程及其解法 第二章 反比例函数 1 反比例函数的表达式、图像、性质 图像:双曲线 表达式:y=k/x(k不为0) 性质:两支的增减性相同; 2 反比例函数在实际问题中的应用 第三章 勾股定理 1 勾股定理:直角三角形的两个直角边的平方和等于斜边的平方 2 勾股定理的逆定理:如果一个三角形中,有两个边的平方和等于第三条边的平方,那么这个三角形是直角三角形。 第四章 四边形 1 平行四边形 性质:对边相等;对角相等;对角线互相平分。 判定:两组对边分别相等的四边形是平行四边形; 两组对角分别相等的四边形是平行四边形; 对角线互相平分的四边形是平行四边形; 一组对边平行而且相等的四边形是平行四边形。 推论:三角形的中位线平行第三边,并且等于第三边的一半。 2 特殊的平行四边形:矩形、菱形、正方形 (1) 矩形 性质:矩形的四个角都是直角; 矩形的对角线相等; 矩形具有平行四边形的所有性质 判定: 有一个角是直角的平行四边形是矩形; 对角线相等的平行四边形是矩形; 推论: 直角三角形斜边的中线等于斜边的一半。 (2) 菱形 性质:菱形的四条边都相等; 菱形的对角线互相垂直,并且每一条对角线平分一组对角; 菱形具有平行四边形的一切性质 判定:有一组邻边相等的平行四边形是菱形; 对角线互相垂直的平行四边形是菱形; 四边相等的四边形是菱形。 (3) 正方形:既是一种特殊的矩形,又是一种特殊的菱形,所以它具有矩形和菱形的所有性质。 3 梯形:直角梯形和等腰梯形 等腰梯形:等腰梯形同一底边上的两个角相等; 等腰梯形的两条对角线相等; 同一个底上的两个角相等的梯形是等腰梯形。 第一章 轴对称图形 1. 成轴对称的定义: 把一个图形沿着某一条直线折叠,如果它能够与另一个图形重合,那么称这两个图形关于这条直线对称,也称这两个图形成轴对称,这条直线叫做对称轴,两个图形中的对应点叫做对称点。 2. 轴对称图形的定义: 把一个图形沿着某一条直线折叠,如果直线两旁的部分能够互相重合,那么这个图形是轴对称图形,这条直线就是对称轴。 3. 线段垂直平分线的定义: 垂直并且平分一条线段的直线,叫做这条线段的垂直平分线。 4. 轴对称的性质: (1)成轴对称的两个图形全等. (2)成轴对称的两个图形的对应线段相等,对应角相等. (3)如果两个图形成轴对称,那么对称轴是对称点连线的垂直平分线. 5. 关于线段: (1)线段是轴对称图形,有两条对称轴,线段的垂直平分线是它的对称轴. (2)线段垂直平分线的性质: 线段的垂直平分线上的点到线段两端的距离相等。 反过来: 到线段两端距离相等的点,在这条线段的垂直平分线上。 6. 关于角: (1)角是轴对称图形,有一条对称轴,角平分线所在直线是它的对称轴. (2)角平分线的性质: 角平分线上的点到角角的两边距离相等。 反过来: 角的内部到角的两边距离相等的点,在这个角的平分线上。 7. 关于等腰三角形: (1)等腰三角形是轴对称图形,有一条对称轴,顶角平分线所在直线是它的对称轴. (2)等腰三角形的两个底角相等(“等边对等角”) (3)如果一个三角形有两个角相等,那么这两个角所对的边也相等(“等角对等边”) (4)三线合一:等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合。 8. 关于直角三角形: (1)直角斜边上的中线等于斜边的一半。 (2)直角三角形中,30°角所对的直角边等于斜边的一半。 反过来: 在直角三角形中,如果一条直角边等于斜边的一半,那么这条直角边所对的角为30°. 9. 关于等边三角形: (1)等边三角形是轴对称图形,有三条对称轴. (2)等边三角形的判定: ①三边相等的三角形是等边三角形 ②三个角相等的三角形是等边三角形 ③两个角等于60°的三角形是等边三角形 ④一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形 10. 关于等腰梯形: (1)等腰梯形是轴对称图形,过两底中点的直线是它的对称轴. (2)等腰梯形的性质: ①等腰梯形在同一底上的两个角相等。 ②等腰梯形的对角线相等。 (3)等腰梯形的判定: ①两腰相等的梯形是等腰梯形。 ②在同一底上的两个角相等的梯形是等腰梯形。 ③对角线相等的梯形是等腰梯形。 第二章 勾股定理与平方根 1. 勾股定理的定义: 直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。 2. 判定直角三角形的方法: 如果三角形的三边长 、 、 满足 ,那么这个三角形是直角三角形。 3. 平方根的定义: 如果一个数的平方等于 ,那么这个数叫做 的平方根,也称为二次方根。也就是说,如果 ,那么 就叫做 的平方根。 4. 平方根的性质: 一个正数有两个平方根,它们互为相反数; 0只有一个平方根,是0; 负数没有平方根。 5. 算术平方根的定义: 正数 有两个平方根,其中正的平方根,也叫做 的算术平方根。 6. 立方根的定义: 如果一个数的立方等于 ,那么这个数叫做 的立方根,也称为三次方根。也就是说,如果 ,那么 就叫做 的立方根。 7. 立方根的性质: 正数的立方根是正数; 负数的立方根是负数; 0的立方根是0。 8. 无理数的定义: 无限不循环小数称为无理数。 9. 实数与数轴上的点一一对应。 第三章 第三章 中心对称图形(一) 1.旋转的定义: 在平面内,将一个图形绕一个定点转动一定的角度,这样的图形运动称为图形的旋转。这个定点称为旋转中心,旋转的角度称为旋转角。图形的旋转不改变图形的形状、大小。 2.旋转前后的图形全等,对应点到旋转中心的距离相等,每一对对应点与旋转中心的连线所成的角彼此相等 3.成中心对称的定义: 把一个图形绕着某一点旋转180°,如果它能够与另一个图形重合,那么称这两个图形关于这点对称,也称这两个图形成中心对称。这个点叫做对称中心。两个图形中的对应点叫做对称点。 4.成中心对称的两个图形,对称点连线都经过对称中心,并且被对称中心平分; 反过来:如果两个图形的对应点连成的线段都经过某一点,并且被这个点所平分,那么这两个图形一定关于这一点成中心对称。 5.中心对称图形的定义: 把一个平面图形绕着某一点旋转180°,如果旋转后的图形能够和原来的图形互相重合,那么这个图形叫做中心对称图形。这个点就是它的对称中心。 6.关于平行四边形: (1) 平行四边形的定义: 两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形。 (2)平行四边形的性质: ①平行四边形是中心对称图形。 ②平行四边形的对边相等。 ③平行四边形的对角相等。 ④平行四边形的对角线互相平分。 (3)平行四边形的判定: ①两组对边分别平行的四边形是平行四边形。 ②两组对边分别相等的四边形是平行四边形。 ③一组对边平行且相等的四边形是平行四边形。 ④两组对角分别相等的四边形是平行四边形。 ⑤两条对角线互相平分的四边形是平行四边形。 7.关于矩形: (1)矩形的定义: 有一个角是直角的平行四边形叫做矩形。 (2)矩形的特殊性质: ①矩形既是轴对称图形,又是中心对称图形。 ②矩形的四个角都是直角。 ③矩形的对角线相等。 (3)矩形的判定: ①有一个角是直角的平行四边形是矩形。 ②三个角是直角的四边形是矩形。 ③对角线相等的平行四边形是矩形。 8.关于菱形: (1)菱形的定义: 有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形。 (2)菱形的特殊性质: ①菱形既是轴对称图形,又是中心对称图形。 ②菱形的四条边都相等。 ③菱形的对角线互相垂直。 (3)菱形的判定: ①有一组邻边相等的平行四边形是菱形。 ②四条边相等的四边形是菱形。 ③对角线垂直的平行四边形是菱形。 9.关于正方形: (1)正方形的特殊性质: ①正方形是特殊的平行四边形。 ②正方形是特殊的矩形。 ③正方形是特殊的菱形。 ④正方形既是轴对称图形,又是中心对称图形。 (2)正方形的判定: ①有一组邻边相等的矩形是正方形。 ②对角线垂直的矩形是正方形。 ③有一个角为直角的菱形是正方形。 ④对角线相等的菱形是正方形。 初二数学(上)应知应会的知识点 因式分解 1. 因式分解:把一个多项式化为几个整式的积的形式,叫做把这个多项式因式分解;注意:因式分解与乘法是相反的两个转化. 2.因式分解的方法:常用“提取公因式法”、“公式法”、“分组分解法”、“十字相乘法”. 3.公因式的确定:系数的最大公约数?相同因式的最低次幂. 注意公式:a+b=b+a; a-b=-(b-a); (a-b)2=(b-a)2; (a-b)3=-(b-a)3. 4.因式分解的公式: (1)平方差公式: a2-b2=(a+ b)(a- b); (2)完全平方公式: a2+2ab+b2=(a+b)2, a2-2ab+b2=(a-b)2. 5.因式分解的注意事项: (1)选择因式分解方法的一般次序是:一 提取、二 公式、三 分组、四 十字; (2)使用因式分解公式时要特别注意公式中的字母都具有整体性; (3)因式分解的最后结果要求分解到每一个因式都不能分解为止; (4)因式分解的最后结果要求每一个因式的首项符号为正; (5)因式分解的最后结果要求加以整理; (6)因式分解的最后结果要求相同因式写成乘方的形式. 6.因式分解的解题技巧:(1)换位整理,加括号或去括号整理;(2)提负号;(3)全变号;(4)换元;(5)配方;(6)把相同的式子看作整体;(7)灵活分组;(8)提取分数系数;(9)展开部分括号或全部括号;(10)拆项或补项. 7.完全平方式:能化为(m+n)2的多项式叫完全平方式;对于二次三项式x2+px+q, 有“ x2+px+q是完全平方式 ? ”. 分式 1.分式:一般地,用A、B表示两个整式,A÷B就可以表示为 的形式,如果B中含有字母,式子 叫做分式. 2.有理式:整式与分式统称有理式;即 . 3.对于分式的两个重要判断:(1)若分式的分母为零,则分式无意义,反之有意义;(2)若分式的分子为零,而分母不为零,则分式的值为零;注意:若分式的分子为零,而分母也为零,则分式无意义. 4.分式的基本性质与应用: (1)若分式的分子与分母都乘以(或除以)同一个不为零的整式,分式的值不变; (2)注意:在分式中,分子、分母、分式本身的符号,改变其中任何两个,分式的值不变; 即 (3)繁分式化简时,采用分子分母同乘小分母的最小公倍数的方法,比较简单. 5.分式的约分:把一个分式的分子与分母的公因式约去,叫做分式的约分;注意:分式约分前经常需要先因式分解. 6.最简分式:一个分式的分子与分母没有公因式,这个分式叫做最简分式;注意:分式计算的最后结果要求化为最简分式. 7.分式的乘除法法则: . 8.分式的乘方: . 9.负整指数计算法则: (1)公式: a0=1(a≠0), a-n= (a≠0); (2)正整指数的运算法则都可用于负整指数计算; (3)公式: , ; (4)公式: (-1)-2=1, (-1)-3=-1. 10.分式的通分:根据分式的基本性质,把几个异分母的分式分别化成与原来的分式相等的同分母的分式,叫做分式的通分;注意:分式的通分前要先确定最简公分母. 11.最简公分母的确定:系数的最小公倍数?相同因式的最高次幂. 12.同分母与异分母的分式加减法法则: . 13.含有字母系数的一元一次方程:在方程ax+b=0(a≠0)中,x是未知数,a和b是用字母表示的已知数,对x来说,字母a是x的系数,叫做字母系数,字母b是常数项,我们称它为含有字母系数的一元一次方程.注意:在字母方程中,一般用a、b、c等表示已知数,用x、y、z等表示未知数. 14.公式变形:把一个公式从一种形式变换成另一种形式,叫做公式变形;注意:公式变形的本质就是解含有字母系数的方程.特别要注意:字母方程两边同时乘以含字母的代数式时,一般需要先确认这个代数式的值不为0. 15.分式方程:分母里含有未知数的方程叫做分式方程;注意:以前学过的,分母里不含未知数的方程是整式方程. 16.分式方程的增根:在解分式方程时,为了去分母,方程的两边同乘以了含有未知数的代数式,所以可能产生增根,故分式方程必须验增根;注意:在解方程时,方程的两边一般不要同时除以含未知数的代数式,因为可能丢根. 17.分式方程验增根的方法:把分式方程求出的根代入最简公分母(或分式方程的每个分母),若值为零,求出的根是增根,这时原方程无解;若值不为零,求出的根是原方程的解;注意:由此可判断,使分母的值为零的未知数的值可能是原方程的增根. 18.分式方程的应用:列分式方程解应用题与列整式方程解应用题的方法一样,但需要增加“验增根”的程序. 数的开方 1.平方根的定义:若x2=a,那么x叫a的平方根,(即a的平方根是x);注意:(1)a叫x的平方数,(2)已知x求a叫乘方,已知a求x叫开方,乘方与开方互为逆运算. 2.平方根的性质: (1)正数的平方根是一对相反数; (2)0的平方根还是0; (3)负数没有平方根. 3.平方根的表示方法:a的平方根表示为 和 .注意: 可以看作是一个数,也可以认为是一个数开二次方的运算. 4.算术平方根:正数a的正的平方根叫a的算术平方根,表示为 .注意:0的算术平方根还是0. 5.三个重要非负数: a2≥0 ,|a|≥0 , ≥0 .注意:非负数之和为0,说明它们都是0. 6.两个重要公式: (1) ; (a≥0) (2) . 7.立方根的定义:若x3=a,那么x叫a的立方根,(即a的立方根是x).注意:(1)a叫x的立方数;(2)a的立方根表示为 ;即把a开三次方. 8.立方根的性质: (1)正数的立方根是一个正数; (2)0的立方根还是0; (3)负数的立方根是一个负数. 9.立方根的特性: . 10.无理数:无限不循环小数叫做无理数.注意:?和开方开不尽的数是无理数. 11.实数:有理数和无理数统称实数. 12.实数的分类:(1) (2) . 13.数轴的性质:数轴上的点与实数一一对应. 14.无理数的近似值:实数计算的结果中若含有无理数且题目无近似要求,则结果应该用无理数表示;如果题目有近似要求,则结果应该用无理数的近似值表示.注意:(1)近似计算时,中间过程要多保留一位;(2)要求记忆: . 三角形 几何A级概念:(要求深刻理解、熟练运用、主要用于几何证明) 1.三角形的角平分线定义: 三角形的一个角的平分线与这个角的对边相交,这个角的顶点和交点之间的线段叫做三角形的角平分线.(如图) 几何表达式举例: (1) ∵AD平分∠BAC ∴∠BAD=∠CAD (2) ∵∠BAD=∠CAD ∴AD是角平分线 2.三角形的中线定义: 在三角形中,连结一个顶点和它的对边的中点的线段叫做三角形的中线.(如图) 几何表达式举例: (1) ∵AD是三角形的中线 ∴ BD = CD (2) ∵ BD = CD ∴AD是三角形的中线 3.三角形的高线定义: 从三角形的一个顶点向它的对边画垂线,顶点和垂足间的线段叫做三角形的高线. (如图) 几何表达式举例: (1) ∵AD是ΔABC的高 ∴∠ADB=90° (2) ∵∠ADB=90° ∴AD是ΔABC的高 ※4.三角形的三边关系定理: 三角形的两边之和大于第三边,三角形的两边之差小于第三边.(如图) 几何表达式举例: (1) ∵AB+BC>AC ∴…………… (2) ∵ AB-BC<AC ∴…………… 5.等腰三角形的定义: 有两条边相等的三角形叫做等腰三角形. (如图) 几何表达式举例: (1) ∵ΔABC是等腰三角形 ∴ AB = AC (2) ∵AB = AC ∴ΔABC是等腰三角形 6.等边三角形的定义: 有三条边相等的三角形叫做等边三角形. (如图) 几何表达式举例: (1)∵ΔABC是等边三角形 ∴AB=BC=AC (2) ∵AB=BC=AC ∴ΔABC是等边三角形 7.三角形的内角和定理及推论: (1)三角形的内角和180°;(如图) (2)直角三角形的两个锐角互余;(如图) (3)三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和;(如图) ※(4)三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角. (1) (2) (3)(4) 几何表达式举例: (1) ∵∠A+∠B+∠C=180° ∴………………… (2) ∵∠C=90° ∴∠A+∠B=90° (3) ∵∠ACD=∠A+∠B ∴………………… (4) ∵∠ACD >∠A ∴………………… 8.直角三角形的定义: 有一个角是直角的三角形叫直角三角形.(如图) 几何表达式举例: (1) ∵∠C=90° ∴ΔABC是直角三角形 (2) ∵ΔABC是直角三角形 ∴∠C=90° 9.等腰直角三角形的定义: 两条直角边相等的直角三角形叫等腰直角三角形.(如图) 几何表达式举例: (1) ∵∠C=90° CA=CB ∴ΔABC是等腰直角三角形 (2) ∵ΔABC是等腰直角三角形 ∴∠C=90° CA=CB 10.全等三角形的性质: (1)全等三角形的对应边相等;(如图) (2)全等三角形的对应角相等.(如图) 几何表达式举例: (1) ∵ΔABC≌ΔEFG ∴ AB = EF ……… (2) ∵ΔABC≌ΔEFG ∴∠A=∠E ……… 11.全等三角形的判定: “SAS”“ASA”“AAS”“SSS”“HL”. (如图) (1)(2) (3) 几何表达式举例: (1) ∵ AB = EF ∵ ∠B=∠F 又∵ BC = FG ∴ΔABC≌ΔEFG (2) ……………… (3)在RtΔABC和RtΔEFG中 ∵ AB=EF 又∵ AC = EG ∴RtΔABC≌RtΔEFG 12.角平分线的性质定理及逆定理: (1)在角平分线上的点到角的两边距离相等;(如图) (2)到角的两边距离相等的点在角平分线上.(如图) 几何表达式举例: (1)∵OC平分∠AOB 又∵CD⊥OA CE⊥OB ∴ CD = CE (2) ∵CD⊥OA CE⊥OB 又∵CD = CE ∴OC是角平分线 13.线段垂直平分线的定义: 垂直于一条线段且平分这条线段的直线,叫做这条线段的垂直平分线.(如图) 几何表达式举例: (1) ∵EF垂直平分AB ∴EF⊥AB OA=OB (2) ∵EF⊥AB OA=OB ∴EF是AB的垂直平分线 14.线段垂直平分线的性质定理及逆定理: (1)线段垂直平分线上的点和这条线段的两个端点的距离相等;(如图) (2)和一条线段的两个端点的距离相等的点,在这条线段的垂直平分线上.(如图) 几何表达式举例: (1) ∵MN是线段AB的垂直平分线 ∴ PA = PB (2) ∵PA = PB ∴点P在线段AB的垂直平分线上 15.等腰三角形的性质定理及推论: (1)等腰三角形的两个底角相等;(即等边对等角)(如图) (2)等腰三角形的“顶角平分线、底边中线、底边上的高”三线合一;(如图) (3)等边三角形的各角都相等,并且都是60°.(如图) (1) (2) (3) 几何表达式举例: (1) ∵AB = AC ∴∠B=∠C (2) ∵AB = AC 又∵∠BAD=∠CAD ∴BD = CD AD⊥BC ……………… (3) ∵ΔABC是等边三角形 ∴∠A=∠B=∠C =60° 16.等腰三角形的判定定理及推论: (1)如果一个三角形有两个角都相等,那么这两个角所对边也相等;(即等角对等边)(如图) (2)三个角都相等的三角形是等边三角形;(如图) (3)有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形;(如图) (4)在直角三角形中,如果有一个角等于30°,那么它所对的直角边是斜边的一半.(如图) (1) (2)(3) (4) 几何表达式举例: (1) ∵∠B=∠C ∴ AB = AC (2) ∵∠A=∠B=∠C ∴ΔABC是等边三角形 (3) ∵∠A=60° 又∵AB = AC ∴ΔABC是等边三角形 (4) ∵∠C=90°∠B=30° ∴AC = AB 17.关于轴对称的定理 (1)关于某条直线对称的两个图形是全等形;(如图) (2)如果两个图形关于某条直线对称,那么对称轴是对应点连线的垂直平分线.(如图) 几何表达式举例: (1) ∵ΔABC、ΔEGF关于MN轴对称 ∴ΔABC≌ΔEGF (2) ∵ΔABC、ΔEGF关于MN轴对称 ∴OA=OE MN⊥AE 18.勾股定理及逆定理: (1)直角三角形的两直角边a、b的平方和等于斜边c的平方,即a2+b2=c2;(如图) (2)如果三角形的三边长有下面关系: a2+b2=c2,那么这个三角形是直角三角形.(如图) 几何表达式举例: (1) ∵ΔABC是直角三角形 ∴a2+b2=c2 (2) ∵a2+b2=c2 ∴ΔABC是直角三角形 19.RtΔ斜边中线定理及逆定理: (1)直角三角形中,斜边上的中线是斜边的一半;(如图) (2)如果三角形一边上的中线是这边的一半,那么这个三角形是直角三角形.(如图) 几何表达式举例: (1) ∵ΔABC是直角三角形 ∵D是AB的中点 ∴CD = AB (2) ∵CD=AD=BD ∴ΔABC是直角三角形 几何B级概念:(要求理解、会讲、会用,主要用于填空和选择题) 一 基本概念: 三角形、不等边三角形、锐角三角形、钝角三角形、三角形的外角、全等三角形、角平分线的集合定义、原命题、逆命题、逆定理、尺规作图、辅助线、线段垂直平分线的集合定义、轴对称的定义、轴对称图形的定义、勾股数. 二 常识: 1.三角形中,第三边长的判断: 另两边之差<第三边<另两边之和. 2.三角形中,有三条角平分线、三条中线、三条高线,它们都分别交于一点,其中前两个交点都在三角形内,而第三个交点可在三角形内,三角形上,三角形外.注意:三角形的角平分线、中线、高线都是线段. 3.如图,三角形中,有一个重要的面积等式,即:若CD⊥AB,BE⊥CA,则CD?AB=BE?CA. 4.三角形能否成立的条件是:最长边<另两边之和. 5.直角三角形能否成立的条件是:最长边的平方等于另两边的平方和. 6.分别含30°、45°、60°的直角三角形是特殊的直角三角形. 7.如图,双垂图形中,有两个重要的性质,即: (1) AC?CB=CD?AB ; (2)∠1=∠B ,∠2=∠A . 8.三角形中,最多有一个内角是钝角,但最少有两个外角是钝角. 9.全等三角形中,重合的点是对应顶点,对应顶点所对的角是对应角,对应角所对的边是对应边. 10.等边三角形是特殊的等腰三角形. 11.几何习题中,“文字叙述题”需要自己画图,写已知、求证、证明. 12.符合“AAA”“SSA”条件的三角形不能判定全等. 13.几何习题经常用四种方法进行分析:(1)分析综合法;(2)方程分析法;(3)代入分析法;(4)图形观察法. 14.几何基本作图分为:(1)作线段等于已知线段;(2)作角等于已知角;(3)作已知角的平分线;(4)过已知点作已知直线的垂线;(5)作线段的中垂线;(6)过已知点作已知直线的平行线. 15.会用尺规完成“SAS”、“ASA”、“AAS”、“SSS”、“HL”、“等腰三角形”、“等边三角形”、“等腰直角三角形”的作图. 16.作图题在分析过程中,首先要画出草图并标出字母,然后确定先画什么,后画什么;注意:每步作图都应该是几何基本作图. 17.几何画图的类型:(1)估画图;(2)工具画图;(3)尺规画图. ※18.几何重要图形和辅助线: (1)选取和作辅助线的原则: ① 构造特殊图形,使可用的定理增加; ②- 配套讲稿:
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