双曲线知识点复习总结.doc

学 大 教 育
杨 勇
双曲线知识点总结复习
1. 双曲线的定义：
（1）双曲线：焦点在轴上时（），焦点在轴上时＝1（）。双曲线方程也可设为：这样设的好处是为了计算方便。
（2）等轴双曲线：
（注：在学了双曲线之后一定不要和椭圆的相关内容混淆了，他们之间有联系，可以类比。）
例一：已知双曲线和椭圆有相同的焦点，且过点，求双曲线的轨迹方程。（要分清椭圆和双曲线中的。）

思考：定义中若（1）；（2），各表示什么曲线？
2. 双曲线的几何性质：
（1）双曲线（以为例）：①范围：；②焦点：两个焦点；③对称性：两条对称轴，一个对称中心（0,0），四个顶点，其中实轴长为2，虚轴长为2；④准线：两条准线； ⑤离心率：，双曲线，越大，双曲线开口越大；越小，双曲线开口越小。⑥通径
（2）渐近线：双曲线的渐近线为：
等轴双曲线的渐近线方程为： ，离心率为：
（注：利用渐近线可以较准确的画出双曲线的草图）
例二：方程表示双曲线，则的取值范围是___________________
例三：双曲线与椭圆有相同的焦点，它的一条渐近线为，则双曲线的方程为__________________
例四：双曲线的离心率，则的取值范围是___________________

椭 圆
双曲线

方程

a b c关系

图象

渐近线

准线
离心率

顶点

对称性

范围

例五：已知双曲线的右焦点为F，过点F作直线PF垂直于该双曲线的一条渐近线于．求该双曲线的方程为：

3．直线与双曲线的位置关系：
（1）相交：直线与椭圆相交或直线与渐近线平行。（2）相切：直线与椭圆相切； （3）相离：直线与椭圆相离；
例六：过点P(1,1)与双曲线只有一个交点的直线共有 条。
例七：过点的直线和双曲线，仅有一个公共点，求直线的方程。

4、焦半径（双曲线上的点P到焦点F的距离）的计算方法：利用双曲线的第二定义，转化到相应准线的距离，即焦半径，其中表示P到与F所对应的准线的距离。
例八：经过双曲线的左焦点作倾斜角为的弦求的周长。

例九：已知A（3，2），M是双曲线H：上的动点，F2是H的右焦点，求的最小值及此时M的坐标。

5、弦长问题：（直线与椭圆的交点坐标设而不求）
若直线与圆锥曲线相交于两点A、B，且分别为A、B的横坐标，则＝，若分别为A、B的纵坐标，则＝，
（若弦AB所在直线方程设为，则＝。特别地，焦点弦（过焦点的弦）：焦点弦的弦长的计算，一般不用弦长公式计算，而是将焦点弦转化为两条焦半径之和后，利用第二定义求解，如例八。）
例十：直线与双曲线相交于两点，则=_____________
六、圆锥曲线的中点弦问题：（直线和双曲线的交点设而不求）
遇到中点弦问题常用“韦达定理”或“点差法”求解。在椭圆中，以为中点的弦所在直线的斜率k=；
例十一：过点且被点M平分的双曲线的弦所在直线方程为_____________
例十二：已知双曲线C 2x2－y2=2与点P(1，2)
(1)求过P(1，2)点的直线l的斜率取值范围，使l与C分别有一个交点，两个交点，没有交点
(2)若Q(1，1)，试判断以Q为中点的弦是否存在

例十三：过双曲线的右焦点F2作倾斜角为的直线，它们的交点为A、B，求：
（1）线段AB的中点M与F2的距离；
（2）线段AB的长度。

例十四：双曲线的中心在坐标原点O，焦点在X轴上，过双曲线的右焦点，且斜率为的直线交双曲线于P、Q两点，若OP⊥OQ，，求双曲线的方程。

例十五：过点P（1，1）作双曲线的弦AB，使AB的中点恰与P点重合，这样的弦AB是否存在并说明理由。

例十三：双曲线的中心在坐标原点O，焦点在X轴上，过双曲线的右焦点，且斜率为的直线交双曲线于P、Q两点，若OP⊥OQ，，求双曲线的方程。
解：设双：，直线PQ方程为
由，消去得
设P（），Q（）
若，故，则直线PQ与双曲线渐近线平行，与双曲线只能有一个交点，与题设矛盾，故
故
由于P、Q在直线上可记为P（），Q（）
由OP⊥OQ，则
整理得
将（*）代入，又由，并整理得
即
由，则
由，得2
整理得将（*）式代入，又
代入，解得，从而，故双曲线方程

[例7] 过点P（1，1）作双曲线的弦AB，使AB的中点恰与P点重合，这样的弦AB是否存在并说明理由。

解：设AB：代入双曲线方程并整理得
（*）
若，不合题意，若，由，得
若P是AB的中点，即
得（舍去）
此时，代入（*）
当不存在时，直线与双曲线只有一个公共点
因此这样的弦AB不存在
另法：设A（），B（），由A、B在双曲线上
两式相减得
，其中
，得
以下同解法1

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