高三数学一轮复习-排列组合题型汇总(附详解).doc
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1、高三数学一轮复习排列、组合(理)2013.1一、分步计数原理、分类计数原理:弄清是“分布”还是“分类”例1、(1)某公司招聘进8名员工,平均分给下属的甲、乙两个部门,其中两名翻译人员不能同时分给一个部门,另三名电脑编程人员也不能同时分给一个部门,求有多少种不同的分配方案解:用分步计数原理先分英语翻译,再分电脑编程人员,最后分其余各人,故有2(33)336种(2)如图,小圆圈表示网络的结点,结点之间的连线表示它们有网线相连,连线上标注的数字表示该段网线单位时间内可以通过的最大信息量,现从结点A向结点B传递信息,信息可以沿不同的路径同时传递,则单位时间传递的最大信息量是( )DA、26 B、24
2、C、20 D、19 3 5 12B 4 6 A 6 7612 8 解:要完成的这件事是:“从A向B传递信息”,完成这件事有4类办法:第一类:1253第二类 : 12 6 4第三类 :12 6 7 第四类;:12 8 6可见:第一类中单位时间传递的最大信息量是3;第二类单位时间传递的最大信息量是4; 第三类单位时间传递的最大信息量是6;第四类单位时间传递的最大信息量是6。所以由分类记数原理知道共有:3+4+6+6=19,故选D(3)如图A,B,C,D为海上的四个小岛,现在要建造三座桥,将这四个小岛连接起来,则不同的建桥方案有( )CDAA、8种 B、12种 C、16种 D、20种BC解:第一类:
3、从一个岛出发向其它三岛各建一桥,共有=4种方法;第二类:一个岛最多建设两座桥,例如:ABCD,DCBA,这样的两个排列对应一种建桥方法,因此有种方法;根据分类计数原理知道共有4+12=16种方法二、排队问题:例2、7个人排成一排,在下列情况下,各有多少种不同排法?(1)甲在排头(2)甲不在排头,也不在排尾(3)甲、乙不相邻(4)甲乙之间有且只有两人(5)甲乙丙三人必须在一起(6)甲乙丙三人两两不相邻(7)甲在乙的左边(不一定相邻)(8)甲乙丙三人按从高到矮,自左向右的顺序(9)甲不在排头,乙不在排尾(10)排3排,前排2人,中排2人,后排3人三、定序问题:常用方法:(1) 考虑位置“插空法”(
4、2) 整体考虑用“除法”例3、(1) 10人身高各不相等,排成前后排,每排5人,要求从左至右身高逐渐增加,共有多少排法? (2) 12名同学合影,站成前排4人后排8人,现摄影师要从后排8人中抽2人调整到前排,若其他人的相对顺序不变,则不同调整方法的总数是 ( )CA B CD (3)某班新年联欢会原定的5个节目已排成节目单,开演前又增加了2个新节目,如果将这两个节目插入节目单中,那么不同的插法种数为_ _ 解:实质是7个节目的排列,因原定的5个节目顺序不改变,故排这5个节目是一个组合,有种方法,再排新插入的两个节目有种方法,故(4)一天的课程表要排入语文、数学、物理、化学、英语、体育六节课,如
5、果数学必须排在体育之前,那么该天的课程表有多少种排法?解:分析:在六节课的排列总数中,体育课排在数学之前与数学课排在体育之前的概率相等,均为,故本例所求的排法种数就是所有排法的,即A=360种四、排数问题:注意数字“0”例4、1、由0,1,2,3,4,5这六个数字。(1)能组成多少个无重复数字的四位数?(2)能组成多少个无重复数字的四位偶数?(3)能组成多少个无重复数字且被25个整除的四位数?(4)组成无重复数字的四位数中比4032大的数有多少个?解:(1) (2)(3)(4)2、由四个不同的数字1,2,4,x组成无重复数字的三位数.(1)若x5,其中能被5整除的共有多少个?(2)若x9,其中
6、能被3整除的共有多少个?(3)若所有这些三位数的各位数字之和是252,求x.解(1)5必在个位,所以能被5整除的三位数共有A236个.(2)各位数字之和能被3整除时,该数就能被3整除,这种三位数只能由2,4,9或1,2,9排列组成,共有2A3312个. (3)显然x0,1,2,4,x在各个数位上出现的次数都相同,且各自出现A31A32次,这样的数字之和是(124x)A31A32,即(124x)A31A32252,7x14,x7.3、用1,2,3,4,5,6组成六位数(没有重复数字),要求任何相邻两个数字的奇偶性不同,且1和2相邻,这样的六位数的个数是 12 (用数字作答) 4、3张卡片的正反面
7、上分别有数字0和1,3和4,5和6,当把它们拼在一起组成三位数字的时可得到多少个不同的三位数(6可做9用)解:若6不能做9用,由于0不能排百位,此时有54240个这40个三位数中含数字6的有23214220个,故6可做9用时,可得三位数402060个五、分组(平均分组)问题:先分堆再分配,注意平均分堆的算法例5、按以下要求分配6本不同的书,各有几种分法?(1)平均分给甲、乙、丙三人,每人2本;(2)平均分成三份,每份2本;(3)甲、乙、丙三人一人得1本,一人得2本,一人得3本;(4)分成三份,一份1本,一份2本,一份3本;(5)甲、乙、丙三人中,一人得4本,另二人每人得1本;(6)分成三份,一
8、份4本,另两份每份1本;(7)甲得1本,乙得1本,丙得4本(均只要求列式)解:(1); (2) (3) (4) (5) (6) (7)六、不配对问题:例6、(1) 元旦前某宿舍的四位同学各写一张贺卡先集中起来,然后每人从中拿一张别人送出的贺卡,则四张贺卡的不同分配有 种? 9 (2)编号为1至6的6个小球放入编号为1至6的6个盒子里,每个盒子放一个小球,其中恰有2个小球与盒子的编号相同的放法有_ _种解: 选取编号相同的两组球和盒子的方法有种,其余4组球与盒子需错位排列有9种放法,故所求方法有种(3)有五位客人参加宴会,他们把帽子放在衣帽寄放室内,宴会结束后每人戴了一顶帽子回家,回家后,他们的
9、妻子都发现他们戴了别人的帽子,问5位客人都不戴自己帽子的戴法有 种?44七、相同元素问题:隔板法例7、(1)7个相同的小球,任意放入4个不同的盒子,则每个盒子都不空的放法有多少种?解:首先要清楚:“每个盒子都不空”的含义是“每个盒子里至少有1个球”。于是,我们采用“隔板法”来解决。在7个小球中的每两个之间分别有6个空,我们从6个空中任意选3个分别插入3块隔板,则这3块隔板就把7个小球分成4部分,而且每一部分至少有1个球。即有=20种方法,又每一种分割方法都对应着一种放球的放法。所以共有20种放球放法。(2)把10本相同的书分给编号1,2,3的阅览室,要求每个阅览室分得的书数不大于其编号数,则不
10、同的分法有多少种?解:先在编号为1,2,3的阅览室中依次放入0,1,2本书,再用隔板法分配剩下的书有15种, (3) 一次文艺演出中需要给舞台上方安装一排完全相同的彩灯15只,现以不同的亮灯方式来增加舞台效果,设计者按照每次亮灯时恰好有6只是关的,且相邻的灯不能同时关掉,两端的灯必须要亮的要求进行设计,求有多少不同的亮灯方式? (4)某校准备参加2013年高中数学联赛,把10个选手名额分配到高三年级的8 个教学班,每班至少一个名额,则不同的分配方案共有_ _种解 :问题等价于把10个相同小球放入8个盒子里,每个盒子至少有一个小球的放法种数问题将10个小球串成一串,截为7段有种截断法,对应放到8
11、个盒子里:因此,不同的分配方案共有36种(5)有多少项?解:当项中只有一个字母时,有种(即a.b.c.d而指数只有15故。当项中有2个字母时,有而指数和为15,即将15分配给2个字母时,如何分,闸板法一分为2,即当项中有3个字母时指数15分给3个字母分三组即可当项种4个字母都在时 四者都相加即可 (6)方程中不同的整数解有 个八、几何问题:例8、(1)从集合0,1,2,3,5,7,11中任取3个元素分别作为直线方程Ax+By+C=0中的A、B、C,所得的经过坐标原点的直线有_条30(2)在直角坐标xoy平面上,平行直线x=n,(n=0,1,2,3,4,5),y=n,(n=0,1,2,3,4,5
12、),组成的图形中,矩形共有( )A、25个 B、36个 C、100个 D、225个解:在垂直于x轴的6条直线中任意取2条,在垂直于y轴的6条直线中任意取2条,这样的4 条直线相交便得到一个矩形,所以根据分步记数原理知道:得到的矩形共有个, 故选D。(3)已知直线ax+by+c=0中的系数a,b,c是从集合-3,-2,-1,0,1,2,3中取出的三个不同的元素,且该直线的倾斜角为锐角,请问这样的直线有多少条?解:首先把决定“直线条数”的特征性质,转化为对“a,b,c”的情况讨论。设直线的倾斜角为,并且为锐角。则tan=0,不妨设ab,那么b0当c0时,则a有3种取法,b有3种取法,c有4种取法,
13、并且其中任意两条直线不重合,所以这样的直线有334=36条当c=0时, a有3种取法,b有3种取法, 其中直线:3x-3y=0,2x-2y=0,x-y=0重合,所以这样的直线有33-2=7条故符合条件的直线有7+36=43条(4)平面上给定10个点,任意三点不共线,由这10个点确定的直线中,无三条直线交于同一点(除原10点外),无两条直线互相平行。求:这些直线所交成的点的个数(除原10点外)。这些直线交成多少个三角形。解法一:(1)由题设这10点所确定的直线是C102=45条。这45条直线除原10点外无三条直线交于同一点,由任意两条直线交一个点,共有C452个交点。而在原来10点上有9条直线共
14、点于此。所以,在原来点上有10C92点被重复计数;所以这些直线交成新的点是:C45210C92=630。(2)这些直线所交成的三角形个数可如下求:因为每个三角形对应着三个顶点,这三个点来自上述630个点或原来的10个点。所以三角形的个数相当于从这640个点中任取三个点的组合,即C6403=43486080(个)。解法二:(1)如图对给定的10点中任取4个点,四点连成6条直线,这6条直线交3个新的点。故原题对应于在10个点中任取4点的不同取法的3倍,即这些直线新交成的点的个数是:3C104=630。(2)同解法一。(5)从正方体的八个顶点中任取三个点作为三角形,直角三角形的个数为( )A56B5
15、2C48D40 C (6)四面体的顶点和各棱中点共有10个点,在其中取4个不共面的点,不同的取法共有( ) A、150种 B、147种 C、144种 D、141种解:从10个点中任取4个点有种取法,其中4点共面的情况有三类。第一类,取出的4个点位于四面体的同一个面内,有种;第二类,取任一条棱上的3个点及该棱对棱的中点,这4点共面,有6种;第三类,由中位线构成的平行四边形(其两组对边分别平行于四面体相对的两条棱),它的4个点共面,有3种。以上三种情况不合要求应减掉,所以不同的取法共有(种)(7) 以平行六面体的任意三个点为顶点作三角形,从中随机取出两个三角形,则这两个三角形不共面情况有多少种?解
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