高二圆锥曲线经典练习题含答案.pdf

第 1 页（共 48 页）一一求离心率问题求离心率问题1已知椭圆和直线，若过 C 的左焦点和下顶点的直线与平行，则椭圆 C 的离心率为（）ABCD2设椭圆 E 的两焦点分别为 F1，F2，以 F1为圆心，|F1F2|为半径的圆与 E 交于 P，Q 两点若PF1F2为直角三角形，则 E 的离心率为（）A1BCD+13在直角坐标系 xOy 中，F 是椭圆 C：1（ab0）的左焦点，A，B 分别为左、右顶点，过点 F 作 x 轴的垂线交椭圆 C 于 P，Q 两点，连接 PB 交 y 轴于点 E，连接 AE 交 PQ 于点 M，若 M 是线段 PF 的中点，则椭圆 C 的离心率为（）ABCD4过原点的一条直线与椭圆1（ab0）交于 A，B 两点，以线段 AB 为直径的圆过该椭圆的右焦点 F2，若ABF2，则该椭圆离心率的取值范围为（）A）BC）D5设 F 为双曲线 C：1（a0，b0）的右焦点，O 为坐标原点，以 OF 为直径的圆与圆 x2+y2a2交于 P，Q 两点若|PQ|OF|，则 C 的离心率为（）ABC2D6已知双曲线的右焦点为 F，直线 l 经过点 F 且与双曲线的一条渐近线垂直，直线 l 与双曲线的右支交于不同两点 A，B，若，则该双曲线的离心率为（）ABCD第 2 页（共 48 页）7若双曲线1（a0，b0）的一条渐近线与直线 x3y+10 垂直，则该双曲线的离心率为（）A2BCD28已知 F1，F2是双曲线的左、右焦点，若点 F1关于双曲线渐近线的对称点 P 满足OPF2POF2（O 为坐标原点），则双曲线的离心率为（）AB2CD二、圆锥曲线小题综合二、圆锥曲线小题综合9若抛物线 y22px（p0）的焦点是椭圆+1 的一个焦点，则 p（）A2B3C4D810已知抛物线 x216y 的焦点为 F，双曲线1 的左、右焦点分别为 F1、F2，点P 是双曲线右支上一点，则|PF|+|PF1|的最小值为（）A5B7C9D1111已知双曲线（a0，b0）与椭圆有共同焦点，且双曲线的一条渐近线方程为，则该双曲线的方程为（）ABCD12已知抛物线 y22px（p0）的焦点为 F，其准线与双曲线x21 相交于 M，N 两点，若MNF 为直角三角形，其中 F 为直角顶点，则 p（）A2BC3D613已知椭圆与双曲线第 3 页（共 48 页）有相同的焦点 F1，F2，点 P 是两曲线的一个公共点，且 PF1PF2，e1，e2分别是两曲线 C1，C2的离心率，则的最小值是（）A4B6C8D1614已知点 M（1，0），A，B 是椭圆+y21 上的动点，且0，则的取值是（）A，1B1，9C，9D，315已知双曲线的右焦点与抛物线 y212x 的焦点相同，则此双曲线的渐近线方程为（）ABCD16已知抛物线 y22px（p0）上一点 M（1，m）（m0）到其焦点的距离为 5，双曲线的左顶点为 A，若双曲线一条渐近线与直线 AM 平行，则实数 a 等于（）ABC3D917已知椭圆 E 的中心在坐标原点，离心率为，E 的右焦点与抛物线 C：y28x 的焦点重合，A，B 是 C 的准线与 E 的两个交点，则|AB|（）A3B6C9D1218若双曲线的渐近线与抛物线 yx2+2 有公共点，则此双曲线的离心率的取值范围是（）A3，+）B（3，+）C（1，3D（1，3）19中心在原点，焦点在 x 轴上的双曲线 C1的离心率为 e，直线 l 与双曲线 C1交于 A，B两点，线段 AB 中点 M 在一象限且在抛物线 y22px（p0）上，且 M 到抛物线焦点的距离为 p，则 l 的斜率为（）ABe21CDe2+1第 4 页（共 48 页）20已知抛物线 y22px（p0）上一点 M（1，m）（m0）到其焦点的距离为 5，双曲线的左顶点为 A，若双曲线的一条渐近线与直线 AM 平行，则实数 a 的值是（）ABCD三三求轨迹方程问题求轨迹方程问题21已知坐标平面上点 M（x，y）与两个定点 M1（26，1），M2（2，1）的距离比等于5（）求点 M 的轨迹方程，并说明轨迹是什么图形；（）记（）中的轨迹为 C，过点 A（2，3）的直线 l 被 C 所截得弦长为 8，求直线 l 的方程22已知在平面直角坐标系 xoy 中的一个椭圆，它的中心在原点，左焦点为 F（），右顶点为 D（2，0），设点 A（1，）（1）求该椭圆的标准方程；（2）若 P 是椭圆上的动点，求线段 PA 中点 M 的轨迹方程23已知抛物线 y24x，焦点为 F，顶点为 O，点 P 在抛物线上移动，Q 是 OP 的中点，M 是 FQ 的中点，求点 M 的轨迹方程24在平面直角坐标系 xOy 中，已知点 A（，0），B（），E 为动点，且直线EA 与直线 EB 的斜率之积为（）求动点 E 的轨迹 C 的方程；（）设过点 F（1，0）的直线 l 与曲线 C 相交于不同的两点 M，N若点 P 在 y 轴上，且|PM|PN|，求点 P 的纵坐标的取值范围25已知点 A（2，0），B（2，0），直线 AP 与直线 BP 相交于点 P，它们的斜率之积为，求点 P 的轨迹方程（化为标准方程）第 5 页（共 48 页）四、直线和圆锥的关系问题四、直线和圆锥的关系问题26已知椭圆 E：1（ab0）过点（2，0），且其中一个焦点的坐标为（1，0）（）求椭圆 E 的方程；（）若直线 l：xmy+1（mR）与椭圆交于两点 A，B，在 x 轴上是否存在点 M，使得为定值？若存在，求出点 M 的坐标；若不存在，请说明理由27已知椭圆的四个顶点围成的四边形的面积为，原点到直线的距离为（1）求椭圆 C 的方程；（2）已知定点 P（0，2），是否存在过 P 的直线 l，使 l 与椭圆 C 交于 A，B 两点，且以|AB|为直径的圆过椭圆 C 的左顶点？若存在，求出 l 的方程；若不存在，请说明理由28已知椭圆 C：1（ab0）的一个焦点与上下顶点构成直角三角形，以椭圆 C 的长轴长为直径的圆与直线 x+y20 相切（）求椭圆 C 的标准方程；（）设过椭圆右焦点且不重合于 x 轴的动直线与椭圆 C 相交于 A、B 两点，探究在 x轴上是否存在定点 E，使得为定值？若存在，试求出定值和点 E 的坐标；若不存在，请说明理由29已知椭圆的左右顶点分别为 A1，A2，右焦点 F 的坐标为，点 P 坐标为（2，2），且直线 PA1x 轴，过点 P 作直线与椭圆 E 交于A，B 两点（A，B 在第一象限且点 A 在点 B 的上方），直线 OP 与 AA2交于点 Q，连接QA1（1）求椭圆 E 的方程；第 6 页（共 48 页）（2）设直线 QA1的斜率为 k1，直线 A1B 的斜率为 k2，问：k1k2的斜率乘积是否为定值，若是求出该定值，若不是，说明理由30已知抛物线 C：y22px（p0）的焦点为 F（1，0），O 为坐标原点，A，B 是抛物线C 上异于 O 的两点（I）求抛物线 C 的方程；（）若直线 OA，OB 的斜率之积为，求证：直线 AB 过定点31已知椭圆 C：（ab0）的左右焦点分别为 F1，F2，离心率为，点 A在椭圆 C 上，|AF1|2，F1AF260，过 F2与坐标轴不垂直的直线 l 与椭圆 C 交于P，Q 两点（）求椭圆 C 的方程；（）若 P，Q 的中点为 N，在线段 OF2上是否存在点 M（m，0），使得 MNPQ？若存在，求实数 m 的取值范围；若不存在，说明理由32已知椭圆 C：（ab0）的离心率为，且抛物线 y24x 的焦点恰好使椭圆 C 的一个焦点（1）求椭圆 C 的方程（2）过点 D（0，3）作直线 l 与椭圆 C 交于 A，B 两点，点 N 满足（O 为原点），求四边形 OANB 面积的最大值，并求此时直线 l 的方程33已知椭圆 C：+1（ab0）的右焦点到直线 xy+30 的距离为 5，且椭圆 C 的一个长轴端点与一个短轴端点间的距离为（1）求椭圆 C 的标准方程；（2）给出定点 Q（，0），对于椭圆 C 的任意一条过 Q 的弦 AB，+是否为定值？若是，求出该定值，若不是，请说明理由34已知椭圆 C：+1（ab0）的短轴的一个顶点与两个焦点构成正三角形，且该三角形的面积为第 7 页（共 48 页）（1）求椭圆 C 的方程；（2）设 F1，F2是椭圆 C 的左右焦点，若椭圆 C 的一个内接平行四边形的一组对边过点 F1和 F2，求这个平行四边形的面积最大值35如图，已知椭圆 C：1（ab0）的离心率是，一个顶点是B（0，1）（）求椭圆 C 的方程；（）设 P，Q 是椭圆 C 上异于点 B 的任意两点，且 BPBQ试问：直线 PQ 是否恒过一定点？若是，求出该定点的坐标；若不是，说明理由36已知椭圆+1（ab0）的离心率为，且过点（，）（1）求椭圆方程；（2）设不过原点 O 的直线 l：ykx+m（k0），与该椭圆交于 P、Q 两点，直线OP、OQ 的斜率依次为 k1、k2，满足 4kk1+k2，试问：当 k 变化时，m2是否为定值？若是，求出此定值，并证明你的结论；若不是，请说明理由37在平面直角坐标系 xOy 中，已知椭圆 C：+1（ab0）的离心率 e，直线 l：xmy10（mR）过椭圆 C 的右焦点 F，且交椭圆 C 于 A，B 两点（1）求椭圆 C 的标准方程；第 8 页（共 48 页）（2）已知点 D（，0），连结 BD，过点 A 作垂直于 y 轴的直线 l1，设直线 l1与直线BD 交于点 P，试探索当 m 变化时，是否存在一条定直线 l2，使得点 P 恒在直线 l2上？若存在，请求出直线 l2的方程；若不存在，请说明理由38已知动点 P 到定点 F（1，0）和直线 l：x2 的距离之比为，设动点 P 的轨迹为曲线 E，过点 F 作垂直于 x 轴的直线与曲线 E 相交于 A，B 两点，直线 l：ymx+n 与曲线E 交于 C，D 两点，与线段 AB 相交于一点（与 A，B 不重合）（）求曲线 E 的方程；（）当直线 l 与圆 x2+y21 相切时，四边形 ACBD 的面积是否有最大值，若有，求出其最大值，及对应的直线 l 的方程；若没有，请说明理由39已知椭圆 C 的中心在坐标原点，焦点在 x 轴上，其左、右焦点分别为 F1，F2，短轴长为 2点 P 在椭圆 C 上，且满足PF1F2的周长为 6（）求椭圆 C 的方程；（）设过点（1，0）的直线 l 与椭圆 C 相交于 A，B 两点，试问在 x 轴上是否存在一个定点 M，使得恒为定值？若存在，求出该定值及点 M 的坐标；若不存在，请说明理由40已知椭圆 C：的离心率为，右焦点 F2到直线 l1：3x+4y0的距离为（）求椭圆 C 的方程；（）过椭圆右焦点 F2斜率为 k（k0）的直线 l 与椭圆 C 相交于 E、F 两点，A 为椭圆的右顶点，直线 AE，AF 分别交直线 x3 于点 M，N，线段 MN 的中点为 P，记直线PF2的斜率为 k，求证：kk为定值第 9 页（共 48 页）一选择题（共一选择题（共 20 小题）小题）1已知椭圆和直线，若过 C 的左焦点和下顶点的直线与平行，则椭圆 C 的离心率为（）ABCD【分析】求出椭圆的左焦点与下顶点坐标连线的斜率，然后求解椭圆的离心率即可【解答】解：椭圆和直线，若过 C 的左焦点和下顶点的直线与平行，直线 l 的斜率为，所以，又 b2+c2a2，所以，故选：A【点评】本题考查椭圆的简单性质的应用，是基本知识的考查2设椭圆 E 的两焦点分别为 F1，F2，以 F1为圆心，|F1F2|为半径的圆与 E 交于 P，Q 两点若PF1F2为直角三角形，则 E 的离心率为（）A1BCD+1【分析】如图所示，PF1F2为直角三角形，可得PF1F290，可得|PF1|2c，|PF22c，利用椭圆的定义可得 2c+2c2a，即可得出【解答】解：如图所示，PF1F2为直角三角形，PF1F290，|PF1|2c，|PF22c，则 2c+2c2a，解得 e1故选：A第 10 页（共 48 页）【点评】本题考查了椭圆与圆的定义标准方程及其性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题3在直角坐标系 xOy 中，F 是椭圆 C：1（ab0）的左焦点，A，B 分别为左、右顶点，过点 F 作 x 轴的垂线交椭圆 C 于 P，Q 两点，连接 PB 交 y 轴于点 E，连接 AE 交 PQ 于点 M，若 M 是线段 PF 的中点，则椭圆 C 的离心率为（）ABCD【分析】利用已知条件求出 P 的坐标，然后求解 E 的坐标，推出 M 的坐标，利用中点坐标公式得到双曲线的离心率即可【解答】解：可令 F（c，0），由 xc，可得 yb，由题意可设 P（c，），B（a，0），可得 BP 的方程为：y（xa），x0 时，y，E（0，），A（a，0），则 AE 的方程为：y（x+a），则 M（c，），M 是线段 PF 的中点，可得 2（），即 2a2ca+c，即 a3c，可得 e故选：C第 11 页（共 48 页）【点评】本题考查椭圆的简单性质的应用，考查转化思想以及计算能力4过原点的一条直线与椭圆1（ab0）交于 A，B 两点，以线段 AB 为直径的圆过该椭圆的右焦点 F2，若ABF2，则该椭圆离心率的取值范围为（）A）BC）D【分析】由题意画出图形，可得四边形 AF2BF1 为矩形，则 ABF1F22c，结合AF2+BF22a，AF22csinABF2，BF22ccosABF2，列式可得 e 关于ABF2的三角函数，利用辅助角公式化积后求解椭圆离心率的取值范围【解答】解：如图，设椭圆的另一焦点为 F1，连接 AF1，AF2，BF1，则四边形 AF2BF1 为矩形，ABF1F22c，AF2+BF22a，AF22csinABF2，BF22ccosABF2，2csinABF2+2ccosABF22a，得 eABF2，则则椭圆离心率的取值范围为故选：B【点评】本题考查椭圆的简单性质，考查直线与椭圆位置关系的应用，考查数学转化思想方法，训练了三角函数最值的求法，是中档题第 12 页（共 48 页）5设 F 为双曲线 C：1（a0，b0）的右焦点，O 为坐标原点，以 OF 为直径的圆与圆 x2+y2a2交于 P，Q 两点若|PQ|OF|，则 C 的离心率为（）ABC2D【分析】由题意画出图形，先求出 PQ，再由|PQ|OF|列式求 C 的离心率【解答】解：如图，由题意，把 x代入 x2+y2a2，得 PQ，再由|PQ|OF|，得，即 2a2c2，解得 e故选：A【点评】本题考查双曲线的简单性质，考查数形结合的解题思想方法，是中档题6已知双曲线的右焦点为 F，直线 l 经过点 F 且与双曲线的一条渐近线垂直，直线 l 与双曲线的右支交于不同两点 A，B，若，则该双曲线的离心率为（）ABCD【分析】不妨设直线 l 的斜率为，直线 l 的方程为 y（xc），联立直线方程与双曲线方程，化为关于 y 的一元二次方程，求出两交点纵坐标，由题意列等式求解【解答】解：如图，第 13 页（共 48 页）不妨设直线 l 的斜率为，直线 l 的方程为 y（xc），联立，得（b2a2）c2y22ab3cy+a2b40由题意，方程得（b2a2）c2y22ab3cy+a2b40 的两根异号，则 ab，此时0，0则，即 a2ba24b24（c2a2），4c25a2，即 e故选：B【点评】本题考查双曲线的简单性质，考查计算能力，是中档题7若双曲线1（a0，b0）的一条渐近线与直线 x3y+10 垂直，则该双曲线的离心率为（）A2BCD2【分析】渐近线与直线 x+3y+10 垂直，得 a、b 关系，再由双曲线基本量的平方关系，得出 a、c 的关系式，结合离心率的定义，可得该双曲线的离心率【解答】解：双曲线1（a0，b0）的一条渐近线与直线 x3y+10 垂第 14 页（共 48 页）直双曲线的渐近线方程为 y3x，3，得 b29a2，c2a29a2，此时，离心率 e故选：C【点评】本题给出双曲线的渐近线方程，求双曲线的离心率，考查了双曲线的标准方程与简单几何性质等知识，属于基础题8已知 F1，F2是双曲线的左、右焦点，若点 F1关于双曲线渐近线的对称点 P 满足OPF2POF2（O 为坐标原点），则双曲线的离心率为（）AB2CD【分析】连接 OP，运用等边三角形的定义和垂直平分线的性质，以及点到直线的距离公式，可得|OP|c，O 到 PF1的距离为 a，再由锐角三角函数的定义可得所求离心率的值【解答】解：连接 OP，可得|OP|OF1|OF2|PF2|c，F1到渐近线 bx+ay0 的距离为 db，在等腰三角形 OPF1中，O 到 PF1的距离为 a，即 sinOPF1sin30，可得 e2故选：B【点评】本题考查双曲线的方程和性质，主要是渐近线方程和离心率的求法，考查垂直平分线的性质以及化简运算能力，属于基础题第 15 页（共 48 页）9若抛物线 y22px（p0）的焦点是椭圆+1 的一个焦点，则 p（）A2B3C4D8【分析】根据抛物线的性质以及椭圆的性质列方程可解得【解答】解：由题意可得：3pp（）2，解得 p8故选：D【点评】本题考查了抛物线与椭圆的性质，属基础题10已知抛物线 x216y 的焦点为 F，双曲线1 的左、右焦点分别为 F1、F2，点P 是双曲线右支上一点，则|PF|+|PF1|的最小值为（）A5B7C9D11【分析】由双曲线方程求出 a 及 c 的值，利用双曲线定义把|PF|+|PF1|转化为|PF1|+|PF2|+2a，连接 FF2交双曲线右支于 P，则此时|PF|+|PF2|最小等于|FF2|，由两点间的距离公式求出|FF2|，则|PF|+|PF1|的最小值可求【解答】解：如图由双曲线双曲线1，得 a23，b25，c2a2+b29，则 c3，则 F2（3，0），|PF1|PF2|4，|PF1|4+|PF2|，则|PF|+|PF1|PF|+|PF2|+4，连接 FF2交双曲线右支于 P，则此时|PF|+|PF2|最小等于|FF2|，F 的坐标为（0，4），F2（3，0），|FF2|5，|PF|+|PF1|的最小值为 5+49故选：C第 16 页（共 48 页）【点评】本题考查双曲线的标准方程，考查了双曲线的简单性质，训练了双曲线中最值问题的求法，体现了数学转化思想方法，是中档题11已知双曲线（a0，b0）与椭圆有共同焦点，且双曲线的一条渐近线方程为，则该双曲线的方程为（）ABCD【分析】求出双曲线的渐近线方程可得，求出椭圆的焦点坐标，可得c2，即 a2+b28，解方程可得 a，b 的值，进而得到双曲线的方程【解答】解：曲线（a0，b0）的一条渐近线方程为，可得，椭圆的焦点为（2，0），可得 c2，即 a2+b28，由可得 a，b，则双曲线的方程为故选：D【点评】本题考查双曲线的方程的求法，注意运用双曲线的渐近线方程和椭圆的焦点，考查运算能力，属于基本知识的考查第 17 页（共 48 页）12已知抛物线 y22px（p0）的焦点为 F，其准线与双曲线x21 相交于 M，N 两点，若MNF 为直角三角形，其中 F 为直角顶点，则 p（）A2BC3D6【分析】利用抛物线方程求出准线方程，然后代入双曲线方程求出 M，N利用三角形是直角三角形，转化求解即可【解答】解：由题设知抛物线 y22px 的准线为 x，代入双曲线方程x21解得 y，由双曲线的对称性知MNF 为等腰直角三角形，FMN，tanFMN1，p23+，即 p2，故选：A【点评】本题考查抛物线的定义及抛物线的几何性质，双曲线方程的应用，考查计算能力13已知椭圆与双曲线有相同的焦点 F1，F2，点 P 是两曲线的一个公共点，且 PF1PF2，e1，e2分别是两曲线 C1，C2的离心率，则的最小值是（）A4B6C8D16【分析】由题意设焦距为 2c，椭圆长轴长为 2a1，双曲线实轴为 2a2，令 P 在双曲线的右支上，由已知条件结合双曲线和椭圆的定义推出 a12+a222c2，由此能求出 9e12+e22的最小值【解答】解：由题意设焦距为 2c，椭圆长轴长为 2a1，双曲线实轴为 2a2，令 P 在双曲线的右支上，第 18 页（共 48 页）由双曲线的定义|PF1|PF2|2a2，由椭圆定义|PF1|+|PF2|2a1，又PF1PF2，|PF1|2+|PF2|24c2，2+2，得|PF1|2+|PF2|22a12+2a22，将代入，得 a12+a222c2，9e12+e22+5+8，即的最小值是 8故选：C【点评】本题考查 9e12+e22的最小值的求法，是中档题，解题时要熟练掌握双曲线、椭圆的定义，注意均值定理的合理运用14已知点 M（1，0），A，B 是椭圆+y21 上的动点，且0，则的取值是（）A，1B1，9C，9D，3【分析】利用0，可得（），设 A（2cos，sin），可得（2cos1）2+sin2，即可求解数量积的取值范围【解答】解：0，可得（），设 A（2cos，sin），则（2cos1）2+sin23cos24cos+23（cos）2+，cos时，的最小值为；cos1 时，的最大值为 9，故选：C【点评】本题考查椭圆方程，考查向量的数量积运算，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题15已知双曲线的右焦点与抛物线 y212x 的焦点相同，则此双曲线的渐近线方程为（）ABCD第 19 页（共 48 页）【分析】由已知条件求出双曲线的一个焦点为（3，0），可得 m+59，求出 m4，由此能求出双曲线的渐近线方程【解答】解：抛物线 y212x 的焦点为（3，0），双曲线的一个焦点为（3，0），即 c3双曲线可得m+59，m4，双曲线的渐近线方程为：故选：A【点评】本题主要考查圆锥曲线的基本元素之间的关系问题，同时双曲线、椭圆的相应知识也进行了综合性考查16已知抛物线 y22px（p0）上一点 M（1，m）（m0）到其焦点的距离为 5，双曲线的左顶点为 A，若双曲线一条渐近线与直线 AM 平行，则实数 a 等于（）ABC3D9【分析】根据抛物线的焦半径公式得 1+5，p8取 M（1，4），双曲线的左顶点为 A（a，0），AM 的斜率为，双曲线的渐近线方程是，由已知得，由双曲线一条渐近线与直线 AM 平行能求出实数a【解答】解：抛物线 y22px（p0）上一点 M（1，m）（m0）到其焦点的距离为5，抛物线 y22px（p0）上一点 M（1，m）（m0）到其准线的距离为 5，根据抛物线的焦半径公式得 1+5，p8抛物线 y216x，M（1，4），m0，第 20 页（共 48 页）取 M（1，4），双曲线的左顶点为 A（，0），AM 的斜率为，双曲线的渐近线方程是，由已知得，解得 a故选：A【点评】本题考查圆锥曲线的综合应用，解题时要认真审题，仔细解答，注意双曲线和抛物线性质的灵活运用17已知椭圆 E 的中心在坐标原点，离心率为，E 的右焦点与抛物线 C：y28x 的焦点重合，A，B 是 C 的准线与 E 的两个交点，则|AB|（）A3B6C9D12【分析】利用椭圆的离心率以及抛物线的焦点坐标，求出椭圆的半长轴，然后求解抛物线的准线方程，求出 A，B 坐标，即可求解所求结果【解答】解：椭圆 E 的中心在坐标原点，离心率为，E 的右焦点（c，0）与抛物线C：y28x 的焦点（2，0）重合，可得 c2，a4，b212，椭圆的标准方程为：，抛物线的准线方程为：x2，由，解得 y3，所以 A（2，3），B（2，3）|AB|6故选：B【点评】本题考查抛物线以及椭圆的简单性质的应用，考查计算能力18若双曲线的渐近线与抛物线 yx2+2 有公共点，则此双曲第 21 页（共 48 页）线的离心率的取值范围是（）A3，+）B（3，+）C（1，3D（1，3）【分析】先根据双曲线方程表示出渐近线方程与抛物线方程联立，利用判别式等于 0 求得 a 和 b 的关系，进而求得 a 和 c 的关系，则双曲线的离心率可得【解答】解：依题意可知双曲线渐近线方程为 yx，与抛物线方程联立消去 y 得x2x+20 渐近线与抛物线有交点80，求得 b28a2，c3ae3则双曲线的离心率 e 的取值范围：e3故选：A【点评】本题主要考查了双曲线的简单性质和圆锥曲线之间位置关系常需要把曲线方程联立根据判别式和曲线交点之间的关系来解决问题19中心在原点，焦点在 x 轴上的双曲线 C1的离心率为 e，直线 l 与双曲线 C1交于 A，B两点，线段 AB 中点 M 在一象限且在抛物线 y22px（p0）上，且 M 到抛物线焦点的距离为 p，则 l 的斜率为（）ABe21CDe2+1【分析】利用抛物线的定义，确定 M 的坐标，利用点差法将线段 AB 中点 M 的坐标代入，即可求得结论【解答】解：M 在抛物线 y22px（p0）上，且 M 到抛物线焦点的距离为 p，M 的横坐标为，M（，p）设双曲线方程为（a0，b0），A（x1，y1），B（x2，y2），则，第 22 页（共 48 页）两式相减，并将线段 AB 中点 M 的坐标代入，可得故选：A【点评】本题考查双曲线与抛物线的综合，考查点差法的运用，考查学生的计算能力，属于中档题20已知抛物线 y22px（p0）上一点 M（1，m）（m0）到其焦点的距离为 5，双曲线的左顶点为 A，若双曲线的一条渐近线与直线 AM 平行，则实数 a 的值是（）ABCD【分析】根据抛物线的定义，可得点 M 到抛物线的准线 x的距离也为 5，即即|1+|5，解可得 p8，可得抛物线的方程，进而可得 M 的坐标；根据双曲线的性质，可得 A 的坐标与其渐近线的方程，根据题意，双曲线的一条渐近线与直线 AM 平行，可得，解可得 a 的值，即可得答案【解答】解：根据题意，抛物线 y22px（p0）上一点 M（1，m）（m0）到其焦点的距离为 5，则点 M 到抛物线的准线 x的距离也为 5，即|1+|5，解可得 p8；即抛物线的方程为 y216x，易得 m22816，则 m4，即 M 的坐标为（1，4）双曲线的左顶点为 A，则 a0，且 A 的坐标为（，0），其渐近线方程为 yx；而 KAM，又由若双曲线的一条渐近线与直线 AM 平行，则有，第 23 页（共 48 页）解可得 a；故选：B【点评】本题综合考查双曲线与抛物线的性质，难度一般；需要牢记双曲线的渐近线方程、定点坐标等二解答题（共二解答题（共 20 小题）小题）21已知坐标平面上点 M（x，y）与两个定点 M1（26，1），M2（2，1）的距离比等于5（）求点 M 的轨迹方程，并说明轨迹是什么图形；（）记（）中的轨迹为 C，过点 A（2，3）的直线 l 被 C 所截得弦长为 8，求直线 l 的方程【分析】（）直接利用距离的比，列出方程即可求点 M 的轨迹方程，然后说明轨迹是什么图形；（）设出直线方程，利用圆心到直线的距离，半径与半弦长满足的勾股定理，求出直线 l 的方程【解答】解：（1）由题意坐标平面上点 M（x，y）与两个定点 M1（26，1），M2（2，1）的距离之比等于 5，得5，即5，化简得 x2+y22x2y230即（x1）2+（y1）225点 M 的轨迹方程是（x1）2+（y1）225，所求轨迹是以（1，1）为圆心，以 5 为半径的圆（）当直线 l 的斜率不存在时，过点 A（2，3）的直线 l：x2，此时过点 A（2，3）的直线 l 被圆所截得的线段的长为：28，l：x2 符合题意当直线 l 的斜率存在时，设过点 A（2，3）的直线 l 的方程为 y3k（x+2），即kxy+2k+30，第 24 页（共 48 页）圆心到 l 的距离 d，由题意，得（）2+4252，解得 k直线 l 的方程为xy+0即 5x12y+460综上，直线 l 的方程为 x2，或 5x12y+460【点评】本题考查曲线轨迹方程的求法，直线与圆的位置关系的应用，考查计算能力，属于中档题22已知在平面直角坐标系 xoy 中的一个椭圆，它的中心在原点，左焦点为 F（），右顶点为 D（2，0），设点 A（1，）（1）求该椭圆的标准方程；（2）若 P 是椭圆上的动点，求线段 PA 中点 M 的轨迹方程【分析】（1）由左焦点为 F（），右顶点为 D（2，0），得到椭圆的半长轴 a，半焦距 c，再求得半短轴 b，最后由椭圆的焦点在 x 轴上求得方程（2）设线段 PA 的中点为 M（x，y），点 P 的坐标是（x0，y0），由中点坐标公式可知，将 P 代入椭圆方程，即可求得线段 PA 中点 M 的轨迹方程【解答】解：（1）由题意可知：椭圆的焦点在 x 轴上，设+1（ab0），由椭圆的左焦点为 F（，0），右顶点为 D（2，0），即 a2，c，则 b2a2c21，椭圆的标准方程为：+y21（2）设线段 PA 的中点为 M（x，y），点 P 的坐标是（x0，y0），由中点坐标公式可知，整理得：，由点 P 在椭圆上，第 25 页（共 48 页）+（2y）21，（10 分）线段 PA 中点 M 的轨迹方程是：（x）2+4（y）21【点评】本题考查椭圆的标准方程与性质，考查轨迹方程的求法，中点坐标公式的应用，考查计算能力，属于中档题23已知抛物线 y24x，焦点为 F，顶点为 O，点 P 在抛物线上移动，Q 是 OP 的中点，M 是 FQ 的中点，求点 M 的轨迹方程【分析】欲求点 M 的轨迹方程，设 M（x，y），只须求得坐标 x，y 之间的关系式即可再设 P（x1，y1），Q（x2，y2），易求 y24x 的焦点 F 的坐标为（1，0）结合中点坐标公式即可求得 x，y 的关系式【解答】解：设 M（x，y），P（x1，y1），Q（x2，y2），易求 y24x 的焦点 F 的坐标为（1，0）M 是 FQ 的中点，又 Q 是 OP 的中点，P 在抛物线 y24x 上，（4y）24（4x2），所以 M 点的轨迹方程为【点评】本题主要考查了直线与圆锥曲线的综合问题考查了学生综合运用基础知识解决问题的能力24在平面直角坐标系 xOy 中，已知点 A（，0），B（），E 为动点，且直线第 26 页（共 48 页）EA 与直线 EB 的斜率之积为（）求动点 E 的轨迹 C 的方程；（）设过点 F（1，0）的直线 l 与曲线 C 相交于不同的两点 M，N若点 P 在 y 轴上，且|PM|PN|，求点 P 的纵坐标的取值范围【分析】（）设动点 E 的坐标为（x，y），由点 A（，0），B（），E 为动点，且直线 EA 与直线 EB 的斜率之积为，知，由此能求出动点E 的轨迹 C 的方程（）设直线 l 的方程为 yk（x1），将 yk（x1）代入，得（2k2+1）x24k2x+2k220，由题设条件能推导出直线 MN 的垂直平分线的方程为y+，由此能求出点 P 纵坐标的取值范围【解答】解：（）设动点 E 的坐标为（x，y），点 A（，0），B（），E 为动点，且直线 EA 与直线 EB 的斜率之积为，整理，得，x，动点 E 的轨迹 C 的方程为，x（）当直线 l 的斜率不存在时，满足条件的点 P 的纵坐标为 0，当直线 l 的斜率存在时，设直线 l 的方程为 yk（x1），将 yk（x1）代入，并整理，得（2k2+1）x24k2x+2k220，8k2+80，设 M（x1，y1），N（x2，y2），则，x1x2，设 MN 的中点为 Q，则，第 27 页（共 48 页）Q（，），由题意知 k0，又直线 MN 的垂直平分线的方程为 y+，令 x0，得 yP，当 k0 时，2k+，0；当 k0 时，因为 2k+2，所以 0yP综上所述，点 P 纵坐标的取值范围是【点评】本题考查动点的轨迹方程的求法，考查点的纵坐标的取值范围的求法，解题时要认真审题，仔细解答，注意直线与椭圆位置的综合运用25已知点 A（2，0），B（2，0），直线 AP 与直线 BP 相交于点 P，它们的斜率之积为，求点 P 的轨迹方程（化为标准方程）【分析】利用斜率的计算公式即可得出【解答】解：设点 P（x，y），则直线 AP 的斜率，直线 BP 的斜率由题意得化简得：点 P 的轨迹方程是椭圆【点评】熟练掌握斜率的计算公式及椭圆的标准方程是解题的关键只有去掉长轴的两个端点26已知椭圆 E：1（ab0）过点（2，0），且其中一个焦点的坐标为（1，0）（）求椭圆 E 的方程；第 28 页（共 48 页）（）若直线 l：xmy+1（mR）与椭圆交于两点 A，B，在 x 轴上是否存在点 M，使得为定值？若存在，求出点 M 的坐标；若不存在，请说明理由【分析】（）利用已知条件求解 a，b，然后求解椭圆的方程（）假设存在点 M（x0，0），使得为定值，联立，设 A（x1，y1），B（x2，y2），利用韦达定理，结合向量的数量积，转化求解即可【解答】解：（）由已知得 a2，c1，则 E 的方程为；（4 分）（）假设存在点 M（x0，0），使得为定值，联立，得（3m2+4）y2+6my90（6 分）设 A（x1，y1），B（x2，y2），则，（7 分），（9 分）要使上式为定值，即与 m 无关，应有解得，此时（11 分）所以，存在点使得为定值（12 分）【点评】本题考查直线与椭圆的位置关系的综合应用，考查转化思想以及计算能力27已知椭圆的四个顶点围成的四边形的面积为，原点第 29 页（共 48 页）到直线的距离为（1）求椭圆 C 的方程；（2）已知定点 P（0，2），是否存在过 P 的直线 l，使 l 与椭圆 C 交于 A，B 两点，且以|AB|为直径的圆过椭圆 C 的左顶点？若存在，求出 l 的方程；若不存在，请说明理由【分析】（1）利用已知条件列出方程组，求出 a，b，即可得到椭圆方程（2）设出直线方程与椭圆方程联立，利用韦达定理，使以|AB|为直径的圆过椭圆 C 的左顶点，则，转化求解 K，即可得到直线方程【解答】解：（1）直线的一般方程为 bx+ayab0依题意，解得，故椭圆 C 的方程式为（2）假若存在这样的直线 l，当斜率不存在时，以|AB|为直径的圆显然不经过椭圆 C 的左顶点，所以可设直线 l 的斜率为 k，则直线 l 的方程为 ykx+2由，得（3+5k2）x2+20kx+50由400k220（3+5k2）0，得记 A，B 的坐标分别为（x1，y1），（x2，y2），则，而 y1y2（kx1+2）（kx2+2）k2x1x2+2k（x1+x2）+4要使以|AB|为直径的圆过椭圆 C 的左顶点，则，即0，所以0，整理解得或，所以存在过 P 的直线 l，使 l 与椭圆 C 交于 A，B 两点，且以|AB|为直径的圆过椭圆 C 的左顶点，直线 l 的方程为或【点评】本题考查椭圆的简单性质椭圆方程的求法，直线与椭圆的位置关系的综合应用，第 30 页（共 48 页）考查转化思想以及计算能力28已知椭圆 C：1（ab0）的一个焦点与上下顶点构成直角三角形，以椭圆 C 的长轴长为直径的圆与直线 x+y20 相切（）求椭圆 C 的标准方程；（）设过椭圆右焦点且不重合于 x 轴的动直线与椭圆 C 相交于 A、B 两点，探究在 x轴上是否存在定点 E，使得为定值？若存在，试求出定值和点 E 的坐标；若不存在，请说明理由【分析】（）利用已知条件推出，然后求解椭圆 C 的方程（）当直线的斜率存在时，设直线 yk（x1）（k0），通过联立，通过韦达定理，假设 x 轴上存在定点 E（x0，0），使得为定值，转化求解即可【解答】解：（）由题意知，解得，则椭圆 C 的方程为（）当直线的斜率存在时，设直线 yk（x1）（k0），联立，得（1+2k2）x24k2x+2k220，8k2+80，假设 x 轴上存在定点 E（x0，0），使得为定值，第 31 页（共 48 页）要使为定值，则的值与 k 无关，解得，此时为定值，定点为当直线的斜率不存在时，也满足条件【点评】本题考查直线与椭圆的位置关系的应用，椭圆方程的求法，考查转化思想以及计算能力29已知椭圆的左右顶点分别为 A1，A2，右焦点 F 的坐标为，点 P 坐标为（2，2），且直线 PA1x 轴，过点 P 作直线与椭圆 E 交于A，B 两点（A，B 在第一