高一数学：一次函数和二次函数知识点+例题讲解+课堂练习.doc

课时数量
√
2课时（120分钟）
适用的学生水平
☐优秀 ☐中等 ☐基础较差
教学目标（考试要求）
掌握一次函数和二次函数的性质及图象特征；
学会用配方法研究二次函数的性质；
会运用待定系数法解题，理解二次函数的图象与系数、、及一元二次方程两根、判别式之间的联系，并运用其性质解决有关问题．
教学重点、难点
重点：一次函数和二次函数的性质及图象特征．
难点：二次函数的性质运用．
建议教学方法
寓教于练，重在点拨
第5讲 一次函数和二次函数

教学内容
一、知识梳理
1.函数叫做一次函数，它的定义域是R，值域是R ；
（1）一次函数的图象是直线，所以一次函数又叫线性函数；
（2）一次函数中，叫直线的斜率，叫直线在轴上的截距； 时，函数是增函数，时，函数是减函数；
（3）时该函数是奇函数且为正比例函数，直线过原点；时，它既不是奇函数，也不是偶函数；
4.函数叫做二次函数，它的定义域为是R，图象是一条抛物线；
（1）当0时，该函数为偶函数，其图象关于轴对称；
（2）当时，抛物线开口向上，二次函数的单调减区间为，单调增区间为，值域为；
（3）当时，抛物线开口向下，二次函数的单调增区间为，单调减区间为，值域为；
二、方法归纳
1.二次函数的三种表示形式
F 提 示
二次函数图象的对称轴与轴的交点是函数单调区间的界，在轴上，与对称轴等距离的点的函数值相等．

（1）一般式：．
（2）顶点式：，其中 为抛物线的顶点坐标．
（3）两根式：，其中、是抛物线与x轴交点的横坐标．
2.利用配方法求二次函数的对称轴方程为：
＝－．
3.若二次函数对应方程＝0的两根为、，那么函数图象的对称轴方程为：
＝＝－．
4.用待定系数法求解析式时，要注意函数对解析式的要求，一次函数、正比例函数、反比例函数的比例系数、二次函数的二次项系数等；要应视具体问题，灵活地选用其形式，再根据题设条件列方程组，确定其系数．
三、典型例题精讲
［例1］二次函数和反比例函数在同一坐标系中的图象大致是（　　）
Ａ．

Ｂ．

Ｃ．

Ｄ．

解析：由题义，方程＝0的两根为、．
观察备选答案ABC中反比例函数的图象，知＞0，
答案A中，＞0，矛盾；答案B中，＞0，正好，故选B．
【技巧提示】　根据函数的图象确定函数解析式中的参数，需要考查其单调性、奇偶性、对称轴、根的符号等．
又例：已知二次函数为偶函数，其定义域为 ，则函数的值域为 ．
解析：由题意，≠0，＝0，且，∴ ＝，
函数的值域为．
［例2］对于每一个，设取，，三个函数中的最小值，用分段函数写出的解析式，并求的最大值．

解析： 这是教材中的一道练习题．取，，三个函数中的最小值．于是的解析式为
O
x
y

，

的最大值为＝．

【技巧提示】　理解取，，
三个函数中的最小值的含义，用分段函数写出的解析式是关键．
又例：对于任意，函数表示，，中的较大者，则的最小值是_　　　_（答案：2）
［例3］二次函数满足，又，，若在[0，]上有最大值3，最小值1，则的取值范围是(　　)
A. B. C. D. [2,4]
解析：由 知函数的图象关于直线 ＝2对称，
O
x
y
3
2
1
又，，图象如下，
由上有最大值3，最小值1，　
可知的取值范围是，故选D．
【技巧提示】　函数满足
，则的
图象关于直线 ＝对称，
其中也可用代替；数形结合可以使解法更加便捷．
又例：已知二次函数满足 (x∈R)，且＝0有两个实根、，则＋等于(　　)　
A．0 B．3 C．6 D．不能确定
解析：由 (x∈R) 知函数的图象关于直线 ＝3对称，应有， ＋＝6. 答案：C
再例：函数的定义域为，值域为，则实数的取值范围是　　
解析：函数，
又，的最小值为　，
∴　实数的取值范围是．
［例4］抛物线与轴交于点两点且.求的值.
解析： 由题意 是方程的两根，
∵ ，又
即，
∴ ， 解得，．
当时△＞0，当时△＜0（舍去） ∴．
【技巧提示】抛物线与轴交于点的横坐标是二次函数所对应的方程＝0的根，一元二次方程根与系数的关系及判别式△，是解答本题的重要基础知识．
又例： 如果二次函数的图象和轴有交点，则的取值范围是(　　)
A．＞－ B．≥－ 且≠0
C．≥－ D．＞－ 且≠0
解析：注意数学语言转换，“二次函数”意味着“≠0”；“图象和轴有交点”等价于△≥0．
答案：B
［例5］已知函数＝x2＋mx＋n的图象过点(1，3)，且＝对任意实数都成立，函数y＝与y＝的图象关于原点对称．求与的解析式．
解析：由＝3，且函数的图象关于直线x＝－1对称，先求，再由对称性求．
由题意知： ，解得 ，
∴ ．
设函数y＝图象上的任意一点Q(x0，y0)关于原点的对称点为P(x，y)，
则x0＝－x，y0＝－y.
∵　点Q(x0，y0)在y＝的图象上，∴－y＝，
∴ y＝，
∴ ＝．
又例：已知二次函数满足＝－1，＝－1，且的最大值是8，试确定此二次函数的解析式．
解析：用待定系数法
解法一：利用二次函数一般式 ，设，
由题意得 解之得
∴ 所求二次函数为．
解法二：利用二次函数顶点式，设，
∵ ＝＝－1，∴ 抛物线对称轴方程为＝.
∴ ，又根据题意函数有最大值为，
∴
∵ ＝－1，∴
∴ .
解法三：利用两根式 由已知，＋1＝0的两根为x1＝2，x2＝－1，
故可设＋1＝a(x－2)(x＋1)，即＝ax2－ax－2a－1.
又函数有最大值ymax＝8，即 ＝8，
解之得a＝－4或a＝0(舍)，∴所求函数解析式为＝.
［例6］已知二次函数满足和.
（1）求的解析式； （2）求在上的最大值和最小值．
解析：（1）用待定系数法
∵ ，设所求二次函数为 ，
F 提 示
在中学数学中常用的数学解题通法有换元法、配方法、待定系数法、参数法、消元法、特殊值法．透过这些方法体会数学思想，包括：转化思想、方程思想、数形结合思想、分类讨论思想等。近几年高考数学试题坚持新题不难、难题不怪的命题方向，强调“注意通性通法，淡化特殊技巧”．
由题意，有

即 对任何都成立．
∴　　，　即．
（2）配方，得，
根据函数图象可知　，．
【技巧提示】 配方法和待定系数法是初中已经接触过的最常见的数学方法，属于通法．要求熟练掌握，灵活运用．
［例7］函数，若函数在上是减函数，则实数的取值范围是 ．
解析：由 得
函数
．
　　　　再由在上是减函数，得　　≥3
∴ ≤－2．
　　答案：≤－2．
另解：由函数在上是减函数，
知 在 上是减函数，
于是，有 ， ∴ ≤－2．
【技巧提示】　牢牢掌握二次函数图象的对称轴是二次函数单调性的界这一特征．二次函数在单调，则，其余类推．
又例：已知函数在上单调递减，则实数的取值范围是 ．
解析：由题意，有　，　　∴ ≤－2．
答案：≤－2．
四、课后训练
1．函数的最大值是________
2．已知和的图象关于直线对称，则
3．若函数 的值在区间上有正也有负，则实数的范围是_____________．
4．函数 在区间[－1,1]上的最小值是___，最大值是_____．
5．若二次函数的图象的对称轴方程为＝1，则____________，顶点坐标为___________，单调递增区间为____________．
6．抛物线的对称轴是＝2，且经过点．则的值为（ ）
Ａ．　　　　　　Ｂ．0　　　　　　Ｃ．1　　　　　　Ｄ．2
7．若函数，的图象关于直线对称，求的值．
8．已知二次函数的图象与轴的交点为，其形状与抛物线相同，求的解析式．
9．已知在区间［0，1］内有最大值-5，求的值
10．已知函数满足，若时，函数，求实数的取值范围．
五、参考答案
1．4　　　　　　　　2．－4　　　　　　3．
4．－3 　9　　　　　　5．－1，（1，－4），
6．B　　　　　　　　　7．6
8．解析：由题意，直接得 ，即．
9．解析：配方　＝．
若＜0，即＜0，最大值为＝＝－5，＝1（舍去），＝－5；
若0≤＜1，即0≤＜2，最大值为＝＝－5，＝；
若≥1，即≥2，最大值为＝＝－5，＝（舍去）．
∴　＝－5　或　＝．
10．

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