数值分析试题-A卷与答案.doc
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1、 青岛科技大学 试题 _2014_年_2015_年第 一学期课程名称: 数值分析 专业年级: 2014级(研究生) 考生学号: 考生姓名: 试卷类型: A卷 B卷 考试方式: 开卷 闭卷 一. 填空题(本大题共4小题,每小题4分,共16分)1.设有节点,其对应的函数的值分别为,则二次拉格朗日插值基函数为 。 2.设,则关于节点的二阶向前差分为 。3.设,则 , 。4. 个节点的高斯求积公式的代数精确度为 。二简答题(本大题共3小题,每小题8分,共24分)1. 哪种线性方程组可用平方根法求解?为什么说平方根法计算稳定?2. 什么是不动点迭代法?满足什么条件才能保证不动点存在和不动点迭代序列收敛于
2、的不动点?3. 设n阶矩阵A具有n个特征值且满足,请简单说明求解矩阵A的主特征值和特征向量的算法及流程。三求一个次数不高于3的多项式,满足下列插值条件:12324123并估计误差。(10分)四试用的牛顿-科特斯求积公式计算定积分。(10分)五用Newton法求的近似解。(10分)六试用Doolittle分解法求解方程组: (10分)七请写出雅可比迭代法求解线性方程组 的迭代格式,并判断其是否收敛?(10分)八就初值问题考察欧拉显式格式的收敛性。(10分)数值分析(A)卷标准答案 (200920101)一 填空题(每小题3分,共12分)1. ; 2.7;3. 3,8;4. 。二简答题(本大题共3
3、小题,每小题8分,共24分)1. 解:系数矩阵为对称正定的方程组可用平方根法。 (4分)对于对称正定阵 A,从可知对任意k i 有。即 L 的元素不会增大,误差可控,不需选主元,所以稳定。 (4分)2. 解:(1)若,则称为函数的不动点。 (2分)(2)必须满足下列三个条件,才能保证不动点存在和不动点迭代序列收敛于的不动点:1)是在其定义域内是连续函数; (2分)2)的值域是定义域的子集; (2分)3)在其定义域内满足李普希兹条件。 (2分)3.解:参照幂法求解主特征值的流程 (8分)步1:输入矩阵A,初始向量v0,误差限e,最大迭代次数N;步2:置k:=1,:=0,u0=v0/|v0|;步3
4、:计算vk=Auk-1;步4:计算并置mk:=vkr, uk:=vk/mk;步5:若|mk- | e,计算,输出mk,uk;否则,转6;步6:若kN,置k:=k+1, :=mk,转3;否则输出计算失败 信息,停止三 解:(1)利用插值法加待定系数法: 设满足 则(3分) 再设 (3分) (1分) (1分)(2) (2分)四解:应用梯形公式得 (2分) (1分) 应用辛普森公式得: (2分) (1分) 应用科特斯公式得: (2分) (2分)五解:由零点定理,在内有根。 (2分)由牛顿迭代格式 (4分) 取得, (3分)故取 (1分) 六解:对系数矩阵做三角分解: (2分) (4分)若,则; (2
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