变式训练对小学数学解题能力的提高第一次修改.doc

<p>变式训练对提升小学学生数学解题能力的作用
数学与应用数学（教育）2011级数本112班
指导教师 &nbsp;彭展声

摘要
目前，我们的小学数学教育还存在着许多教学上的问题。在小学数学教育中，怎么遵循数学学科和小学生的数学思维特点，发展学生的数学思维，提高小学生的智力，帮助学生克服解题时所遇到的问题，培养他们的解题实力，是小学数学教学改革和施行新课程标准背景下的需求。本文结合自己的教学，谈谈变式训练对提升小学生数学解题能力的作用；培养学生的数学思维的广阔性、培养学生思维的深刻性和创造性。

关键词：小学生 &nbsp; &nbsp;数学解题 &nbsp; 变式训练 &nbsp; 培养 &nbsp; 思维训练 &nbsp;

前 &nbsp;言
目前，从事数学教育工作年限不长的教师都会意识学生在解题的时候会出现许多不良的习惯如：一是难以养成良好的数学的思维习惯；二是解题的时候不求灵活简便，只求用老师讲过的方法模拟解题；三是同学计算时粗心大意，常常出错，计算之后没有养成一种检查、验算的习惯等。在这种情况下，教师如何培养小学生的数学解题能力呢？关于这个问题有不少学者都投身于数学解题方法论的研究当中，获得了很多富含数学思想的解题方法论研究成果。有学者指出，在数学教学中采用变式训练，即在改变问题的题设或者结论，或改变思考方式，让学生通过观察、猜想、论证、探索等获得结论的一种训练方式。坚持“变式训练”，是我国数学双基中的一个内容，对学会系统地、牢固地掌握所学知识，提高小学生的思维的灵活性，培养解题能力，去除中国现在教学中的“机械练习”。
1. 变式训练的界定
有关变式的定义的研究方面的论述有很多，如：
（1）《中国教育全书》中说:“变式是通过变更对象的非本质特征的表现形式，变更人们观察事物的角度或方法，以突出对象的本质特征，突出那些隐蔽的本质要素，让学生在变式中思维，从而掌握事物的本质和规律。”
（2）所谓数学变式训练，即是指在数学教学过程中对概念、性质、定理、公式以及问题进行不同角度、不同层次、不同情形、不同背景的变式，以暴露问题的本质特征，揭示不同知识点间的内在联系的一种教学设计方法。【1】
（3）数学变式训练，即在数学教学过程中对概念、性质、定理、公式以及问题，从不同角度、不同层次、不同情形、不同背景做出改变，使其条件或结论的形式（或内容）发生变化，而本质特征却不变，也就是所谓的“万变不离其宗”。【2】
（4）变式训练就是保持原命题的本质不变，不断变换原命题的条件、或结论、或图形等产生新的情境，引导学生从不同的角度、用不同的思维去探究问题，采用变式方式进行技能与思维的训练。【3】
（5）所谓变式是指在直观过程中变换作为直观对象的事例，丰富学生的感性知识，变更对象的非本质要素，突出对象的本质要素，也就是变更概念中的非本质特征，变换问题中的条件或结论，转换问题的形式或内容，配置世纪应用的各种环境，使概念或问题的本质不变。【4】
（6）变式训练是指变换问题的条件或外部特征，而不改变问题的本质，变式训练必须要呈现概念的本质和外延，突出问题的结构特征，揭示知识的内在联系，保持其本质特征。【5】
在变式的理论中，顾泠沅教授还把数学的变式分为概念性变式、过程性变式两种类型。概念性变式教学就是突出对概念内涵的理解,注重概念的情景引入、语言转换等,逐步从概念的&quot;标准变式&quot;转向概念的&quot;非标准变式&quot;,使学生获得对概念的多角度的理解；而过程性变式教学突出对概念外延的应用,注重知识之间的联系和拓展,通过过程性变式教学,使数学教学有层次地递进。笔者认为数学中的变式是指改变数学问题中的题设或者结论，不改变其问题的本质属性，开发学生的多重思维方式，让学生意识到无论题目怎么去改变都是考查同一个知识点，并且达到巩固和灵活运用知识、激活学生的思维空间。
2. 在小学阶段的数学变式训练主要内容及方式
在研读《新课程标准》下，小学的课程内容一般分为四类：数与代数、图形与几何、统计与概率、综合与实践。笔者是根据小学课程内容的情况下展开的小学数学变式训练。
2.1概念性变式
&nbsp; &nbsp;在小学数学概念教学中，小学生对于概念只是能背得滚瓜烂熟，却对概念的认识处于一种肤浅的状态，并没有真正了解概念，尤其当他们需要应用这些概念知识去解题时，会经常出现不清晰地把握每个概念的内涵是什么，因此在解题的过程中往往只停留在模仿阶段。小学数学概念是小学数学基础知识的重要组成部分，那么在小学中如何让学生更深入地了解概念呢？小学的概念一般有两种表现形式：定义式和描述式。在数学教材中，小学低年级的概念采用描述式较多。例如，在二年级《角的初步认识》中小学生对直角三角形的概念认识，有一道判断练习题“三角板上的直角比黑板上的直角一样小”，大部分的学生都说这个说法是对的，这道题可以反映出小学生对直角的概念认识处于一种表面的认识。那么，在图形的概念教学中，我们可以通过变换图形，深化概念的认识。那么，在直角的初步认识中，教师可以通过变换直角的大小，让学生判断哪些是直角，进一步深化小学生对直角概念的认识，而且，在数学课程标准中要求要结合来认识角，因此，我们在讲授图形的概念时，要结合小学生的生活场景，让学生更能记住图形概念，了解图形概念。

2.2计算变式
&nbsp; 计算是帮助我们解决实际问题的一个重要的工具，在小学数学教学中，计算贯穿着数学教学的全过程。计算能力的好坏直接关系到一个小学生能否学好数学。计算不熟练就意味着数学基础不扎实。因此，培养学生计算能力是小学教学的一项重要任务。小学生在数学计算的过程中最常见的一个现象就是题目看错抄错，容易在计算的过程中出错等。在教学中，我国教师是十分注重变式训练，教材中，采用变式训练，对提高学生的计算能力很有帮助。小学二年级在《表内乘法》的复习教学课中，例如，2×9=（），3×8=（），我们可以通过变式设计成（）×（）=（）×( )=18,( )×( )=( )×( )=24,通过这样的设计，让学生通过思考计算知道学习的表内乘法的知识的一个联系性、密切性，让学生的数学思维得到扩展，更能让学生对《表内乘法》更加深入理解，切记表格更深入。简便运算是小学计算教学中的重要组成部分。小学生四年级接触简便运算，运用乘法分配律进行简便运算是学生最不容易掌握的知识，在教学过程中，发现学生不善于、不习惯运用乘法分配律去进行计算。在进行教学中，直接列出（80+8）×25让学生做，为了检测学生是否真正会运用此知识，我随便把题目改成88×25，让学生进行简便运算。让学生学会一种拆分数字的数学思想，再进行简便运算。在计算中采用变式训练，能促进学生掌握基础知识，形成一个解题技巧，提高学生的计算能力，养成一个良好的计算步骤。
2.3应用题变式
&nbsp; &nbsp;应用题是小学数学的重难点，是培养学生解决实际问题的能力的关键。《数学新课程标准》的“实践与综合应用”领域(笔者用“应用题”这个词表述)，是《数学新课程标准》的一个特色。对这部分内容的总体要求是：帮助学生综合运用已有的知识和经验，经过自主探索和合作交流，解决与生活经验密切联系的、具有一定挑战性和综合性的问题，以发展他们解决问题的能力，加深对“数与代数”、“空间与图形”、“统计与概率”内容的理解，体会各部分内容之间的联系。可以看出应用题教学的教育价值定位应更加准确，教育理念应更加明确，呈现形式应更加灵活。更侧重于培养学生的应用意识、问题意识、探索能力和创新能力，从而使知识和能力，情感和态度的教育目标溶于一体，相得益彰，为个性化的的人格教育创造良好的环境。当前应用题的内容涉及到“数与代数”、“空间与图形”、“统计与概率”的每一个方面，涉及到概念建立、计算应用、法则推导、性质理解等等，成为各部分知识有机联系的融合剂，改变了过去应用题相对独立的知识体系和相对孤立的教学过程，而且题型从纯文字、标准格式变得更丰富生动。怎样在新课标的标准下提高小学生解应用题的能力呢？那我们可以在应用题中采用变式训练的方法。那么，应用题的变式基本做法有：（1）条件的转变，即保持问题的不变，让直接条件和间接条件之间相互转化。（2）问题的改变，即条件不变，只改变应用题的问题。（3）改变条件和问题，即题目的大意不变，把应用题中的条件变成问题，问题变成条件，从而分析和解题方法相应改变。在一年级一册的教材中，“求一个数比另一个数多（少）”是一个难点，学生在做这类型的题目只习惯地套用公式。那么在教学中，我们可以通过变式训练，让学生学会通过对比，学会抓住解答应用题的技巧。例如“有黄气球9个，红气球27个，共有多少个气球？”
根据题目，有以下几种变换形式：
（1）有红气球27个，黄气球比红气球少18个，共有多少个气球？
（2）有黄气球9个，比红气球少18个，共有多少个？
（3）有红气球27个，比黄气球多18个，共有多少个？
（4）有黄气球9个，红气球27个，红气球是黄气球的几倍？
（5）有36个气球，其中红气球比黄气球多18个，红气球和黄气球各有多少个？
在应用题中采用变式训练，可以培养学生的分析、概括、综合、判断、推理等的思维能力，多角度、有计划地发展学生的数学思维解题能力。
2.4图形的变式
“图形与几何”一直是小学数学的重要内容。通过《新课程标准》了解小学所接触的“图形与几何”学习的主要内容包括图形的认识、图形的测量、图形的运动，图形与位置四个方面。小学数学课程中的“图形与几何”是属于经验几何和直观几何，并是不很严格的公理化体系。几何的学习重点是使学生更好地理解自己周围的几何现象，将几何学习的视野拓展到学生的生活空间里面，通过观察、描述、制作，从不同角度观察物体，认识方向，发展学生的空间观念和图形设计以及推理能力，为进入初中学习图形与几何的特征和定理及证明打下基础。因此，在教学中我们可以采用变式训练的方式，加深学生对空间概念的理解，发展学生的空间想象能力和图形的识别能力。比如，在二年级《角的认识》的教学课程中，为了让学生更深入理解角的概念，我把判断角的练习变式，如图，让学生判断下列的图形哪些是角。

通过以上的变式训练进行辨析，让学生更清楚知道角是由两条直线和一个顶点构成。在“图形与几何”中巧妙运用变式，多角度、全方位地带领学生认识几何图形，培养学生的空间直观能力。
3. 常规训练与变式训练的对比实验
3.1问题的提出
如何培养小学生的数学解题能力，是一个较复杂的问题。从理论上看，解题能力涉及到逻辑学、心理学、教育学等学科的问题。从内容上看，解题能力包括对应用题、文字题、计算题等各类问题处理的能力。从小学生解题的行为实际看，小学生解题主要存在的问题有：一是难以养成思维习惯，常常盲目解题；二是任务观点严重，解题不求灵活简洁；三是马虎草率，错误百出。那么如何才能提高小学生的数学解题能力呢？
3.2实验的目的
&nbsp; 本实验研究的主要目的是通过教学实验研究了解在小学数学教学中变式训练对提升小学学生数学解题能力的作用，检验小学数学变式教学步骤的可操作性及该教学方式的有效性，希望在平时的数学教学中，经常对一些数学问题作适当变式，为学生创设良好的思维情境，开拓小学学生的解题思路，提高小学生的解题能力，多角度地开发他们的大脑，并且有效性地减轻小学生的学习负担。
3.3实验研究的意义
其意义主要在于两个方面：一方面是为了变式训练教学提供成功的案例，为小学数学教师教学提供方法上的帮助，另一方面是为了培养学生思维能力与解题能力做方向探讨，尤其是在培养学生创造性思维的价值方面上有非常重要的作用。
3.4实验研究的内容与方法
（1）实验对象：实验对象来自崇左市天等县城南小学二年级1班（对照班）和二年级2班（实验班，本人任教班），均为60人。
（2）实验材料：教学材料为新人教版二年级数学上册及数学练习册，测试材料由学生的学习情况问卷调查以及学生数学学习成绩测试组成。
（3）实验方式：对二年级《乘法口诀》这章内容采用变式教学法。
3.5实验研究的设计与实施
实验时间为一学期，从2014年10月13日至2015年1月8日、（1）前测:以一年级下学期学期期末考测试成绩及学生数学学习情况问卷调查作为前测。
（2）中测:以学生二年级上学期第二次综合测试期中考数学成绩作为中测。
（3）后测:以学校的月考测试作为后测。
3.6实验结果分析与总结
（1）问卷结果分析
为了了解二年级学生对数学学习方面的情况，于是对二年级二班学生展开了问卷调查。实验发出问卷60份，收回问卷60份，有效问卷60份。在调查问卷中设置10个问题，由学生根据该问题作出问答，回答种类分A、B、C、D四种，然后计算出相应的百分比，问卷结果统计（如下）
问卷1实验答A占50%，B占42%，C占8%,可以看出92%的学生对数学课有兴趣，仅有8%的学生对数学课没兴趣，这说明大部分的学生愿意学习数学，这为我们搞好数学教学提供保证。问卷2 实验答A占67%，B占25%，C占8%。问卷3实验答A占8%，B占47%，C占45%，可以看出学生在学习数学是处于一个被动状态的。问卷4实验答A占13%，B占65%，C占22%，说明学生课上的参与活动很少。问卷5实验答A占20%，B占47%，C占33%，说明学生的知识掌握比较差。问卷6实验答A占15%，B占58%，C占22%，D占5%，说明数学课不够符合儿童的心理。问卷7实验答A占63%，B占22%，C占12%，D占5%。问卷8实验答A占80%，B占12%，C占8%。问卷9实验答A占45%，B占30%，C占25%。问卷10实验答A占25%，B占30%，C占35%，D占10%。
（2）在数学前测后测成绩方面的比较
被试组
人数
前测
后测
实验班
60
平均分
平均分
70.23
80.29
对照班
60
70.10
78.89
（3）实验总结
通过后测可发现，实验班的成绩高于对照班的成绩，说明在教学中积极实施变式训练教学能帮助学生提高数学解题能力。综上所述，变式训练在小学课堂教学中的实施，可以提高学生学习数学的兴趣，提高学生的数学思维，加深学生对数学知识的理解，让整个课堂活跃起来，培养了学生的数学学习能力，提高了学生的数学成绩。
&nbsp;4.1 变式训练对提升小学数学解题能力的作用
4.1变式训练可以培养学生的意志力
&nbsp; &nbsp;在学生解题的过程中，往往会出现这样的一种情况：遇到稍微难一点的题目，有些学生就不愿意再努力去进行解答了。而且，在解答过程中出错了，学生也没有耐心去纠正错误，进行反思。那么，如何培养学生在解题过程中一种良好的意志力呢？变式训练就是一种很好的尝试。在变式训练的过程中，利用变式，引导学生解决问题时由易到难，由浅到深，由近到远，帮助学生克服抵触的心理，一步一步地增强学生的自信心，慢慢地培养学生勇敢去尝试，从就可以让学生养成一种良好的意志力。
4.2变式训练可以提高学生的数学思维能力
&nbsp; &nbsp;在数学的教学领域中，我们会经常讨论的一个词语，叫“思维定势”。所谓的思维定势，就是一种按着常规的处理问题的思维方式去思考问题。思维定势具有两面性，思维定势的积极作用可以帮助人们解决每天碰到的90%以上的问题，提高生活的效率，省掉了短时间的思考时间，然而思维定势的消极作用容易让我们在思想上养成一种呆板、机械的解题习惯。如今的小学生在解题的过程中容易产生机械模仿，往往会很片面地根据题中一些固定、熟悉的词语选择解题的方法，或者根据几何图形的标准样式进行判断。因此，我们可以通过变式训练，让学生通过题目的变式辨析题目中的异同，让学生自觉地从固有的思维定势中解放出来，通过各种角度为真正掌握知识点，提高学生的数学解题思维能力。
4.3变式训练可以减轻学生的课业负担
&nbsp; &nbsp;现代社会，随着应试教育的推行，学生疲惫地奔跑，教师教学逐渐倦怠。学生每天面对着繁重的课业负担，面对着做不完的习题，面对着各种各样的辅导班，面对着应付式的考试，这已经成为了我们全社会普遍关心而始终未能解决的问题，因为它关系着学生全面发展和健康成长。在数学教学中，教师经常采用题海战术，不仅加强了学生的学习负担，甚者使学生厌学。因此，导致教学质量下降，学生的学习效率很低。特别在学生做大量习题的时候，都是机械式地模仿，耗时间又长，学生大部分的时间都在疲惫地学习，影响学生的身心健康发展。这样的教育培养不仅严重束缚了学生思维的发展，还影响了学生的全方面的发展。在教学过程中采用变式训练可以帮助学生减轻学业负担。首先，变式训练的好处就是题目不在于多，但求精炼，并且注重一个问题的开放思维的多解，开启思维，重视多解归一，寻求规律。学生在变式训练中不仅可以开阔思路，还可以培养学生举一反三，归纳总结的学习方法，提高学习效率，减轻了学生的学业“量”。
4.4变式训练可以加深学生对数学知识的理解
&nbsp; &nbsp;在数学基础知识教学中，应加强形成概念、法则、定律等过程的教学，这也是对学生进行初步的逻辑思维能力培养的重要手段。然而，这方面的教学比较抽象，加之学生年龄小，生活经验缺乏，抽象思维能力较差，学习时比较吃力。学生学习抽象的知识，是在多次感性认识的基础上产生飞跃，感知认识是学生理解知识的基础，直观是数学抽象思维的途径和信息来源。在学生学习抽象的知识时，运用变式的教学，由直观到抽象在，逐步培养学生的抽象思维的能力。例如，在教学“角”这部分知识时，为了使学生获得关于角的正确概念，首先引导学生观察实物和模型：如三角板、五角星和张开的剪刀、扇子形成的角等，从这些实物中抽象出角。接着再通过实物变式演示，将两根细木条的一端钉在一起，变换其中的一根，直观地说明由一条射线绕着它的端点变换可以得到大小不同的角，并让学生用准备好的学具亲自动手演示，用变式运动的观点来阐明角的概念，并为引出平角、周角等概念做了准备，加深学生对数学知识的理解。
5. 在小学开展数学变式训练应注意的问题 &nbsp;
&nbsp; &nbsp;那么，在数学教学中如何更有效进行变式训练呢？笔者认为应把握好以下几点：
5.1抓住学生的心理特征进行变式训练
&nbsp; 如何把学生认为枯燥乏味的数学变成学生喜爱的一门学科，这要求教师要善于发现数学本身的许多乐趣。选择适当的教学方法，把学生从枯燥的演算，苦恼的思索，复杂的推理中解脱出来。数学教学要根据不同年龄学生的心理特征，采用不同引发兴趣的手段和方法。低年级学生抽象思维能力差，他们对具体形象的内容，生动的形式，新奇动人的事物比较敏感，好奇是他们一个重要的心里特征。抓住这种心理特征，能诱发学生学习新知的兴趣，在教学中，利用多样的变式，一步一步激发学生的好奇心理，引导学生从不同的层次、不同角度去发现问题的本质，促使学生积极思维。如，教三角形内角和等于180°这条定理时，教师不要急于讲出结论，可以通过变式的方法去诱发学生的求知欲。教学时，为了让学生更深入了解知识，教师变式不同大小的三角形的度数。通过变式，再让学生动手度量老师变式出来的三角形中任意两个角的度数，这样的教学方法结合变式和学生亲自实践，激发了学生学习新知的兴趣，并且从过程中让学生发现了数学的奇异思维的美，提高教学课堂效率。
5.2变式训练要注意一个“量”的问题
&nbsp; &nbsp;变式训练的“量”指得是变式的份量。在教学过程中采用变式训练时，我们选用的变式训练的份量不可宜多。研究证明：7-10岁的儿童连续注意时间约为20分钟，10-12岁儿童连续注意时间约25分钟。因此，我们教师在上课的时间要汇集在学生注意力集中的最佳时间去完成课堂的重点内容。因此，变式训练的“量”要符合不同孩子阶段的接受能力的范围，能够使学生通过变式训练能让学生更深入了解知识的内容即可。
5.3变式训练的内容问题
在数量有限的问题里，教师应选择恰当的问题。问题的变式必须是合理的，内容要与此相关，另外问题必须包含尽可能多的不再重复的变式。只有如此，有限的问题才能包含尽可能多的变式，从而构成有效的问题变式。例如，在小学数学课本第二册《认识图形》一节课的教学中，讲了圆柱的特征后，出示一些位置、形状大小不同的圆柱体让学生去判断，使学生通过变式、比较练习，认识圆柱的本质特征，调动学生学习的积极性，使学生从不同角度理解所学知识，为学生灵活运用新知识打好基础。

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小学生二年级数学学习情况调查问卷
&nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp;姓名：_________
亲爱的同学们，为了提高教育教学质量，老师将同学们的数学学习情况进行一个调查，以便在以后的教学课堂中呈现更好的教学质量，希望同学们能很好地配合，谢谢你！
1、 你喜欢上数学课吗？（）
A、 喜欢 &nbsp; &nbsp; &nbsp;B、一般 &nbsp; &nbsp; &nbsp;C、不喜欢
2、 你喜欢数学老师吗？（）
A、 喜欢 &nbsp; &nbsp; &nbsp;B、一般 &nbsp; &nbsp; &nbsp;C、不喜欢
3、 你现在学习数学常常是（ ）
A、 很主动 &nbsp; &nbsp;B、有点被动 &nbsp;C、很被动
4、 你在练习课上每次积极参与讨论吗？
A、是 &nbsp;B、有时参与，有时不参与 &nbsp;C、不参与，因为我害怕我说错，同学笑话我
5、你认为老师布置的课堂练习（）
A、非常难 &nbsp; &nbsp; B、有些难 &nbsp; &nbsp;C、比较简单
6、你认为数学课没学会的原因是（）
A、太难 &nbsp; B、上课不认真听 &nbsp;C、不喜欢数学 &nbsp;D、练习不好
7、你认为怎么样才能学会数学（）
A、上课认真听 B、多做练习 C、多与同学交流 &nbsp;D、多思考、多练习
8、你认为练习重要吗？
A 、很重要 &nbsp;B、不太重要 &nbsp;C、一点也不重要
9、你喜欢什么样的练习（ ）
&nbsp; &nbsp; A、和课堂例题一样 &nbsp;B 、形式新颖 &nbsp;C、多动嘴，多动手
10、一般情况，老师布置的课堂练习（）
&nbsp; &nbsp; A、太多B 、适量 &nbsp;C、有点多 &nbsp;D、比较少</p>