正弦定理和余弦定理知识点与题型归纳.doc

●高考明方向
掌握正弦定理、余弦定理，
并能解决一些简单的三角形度量问题．

★备考知考情
1.利用正、余弦定理求三角形中的边、角问题是高考
考查的热点．
2.常与三角恒等变换、平面向量相结合出现在解答题
中，综合考查三角形中的边角关系、三角形形状的
判断等问题．
3.三种题型都有可能出现，属中低档题.

一、知识梳理《名师一号》P62
知识点一 正弦定理

(其中R为△ABC外接圆的半径)
变形1:
变形2：
变形3：
注意：(补充)
关于边的齐次式或关于角的正弦的齐次式
均可利用正弦定理进行边角互化。

知识点二 余弦定理
注意：(补充)
（1）关于边的二次式或关于角的余弦
均可考虑利用余弦定理进行边角互化。
（2）勾股定理是余弦定理的特例
（3）在中，

用于判断三角形形状
《名师一号》P63问题探究 问题3
判断三角形形状有什么办法？
判断三角形形状的两种途径：
一是化边为角；
二是化角为边，
并常用正弦(余弦)定理实施边、角转换．

知识点三 三角形中常见的结论
△ABC的面积公式有：
①S＝a·h(h表示a边上的高)；
②S＝absinC＝acsinB＝bcsinA＝；
--知两边（或两边的积）及其夹角可求面积
③S＝r(a＋b＋c)(r为内切圆半径)．
(补充)
（1）
（2）在三角形中大边对大角，大角对大边．
（3）任意两边之和大于第三边，
任意两边之差小于第三边．
（4）有关三角形内角的常用三角函数关系式
利用及诱导公式可得之
（5）在△ABC中的几个充要条件:
《名师一号》P63问题探究 问题4
sinA>sinB ⇔ > ⇔ a>b ⇔ A>B.
(补充)

若

或()

或 ()
《45套》之7--19

（6）锐角△ABC中的常用结论
为锐角三角形

4．解斜三角形的类型
《名师一号》P63问题探究 问题1
利用正、余弦定理可解决哪几类问题？
在解三角形时，
正弦定理可解决两类问题：
(1)已知两角及任一边，求其它边或角；
(2)已知两边及一边的对角，求其它边或角．
情况(2)中结果可能有一解、二解、无解，
应注意区分．
余弦定理可解决两类问题：
(1)已知两边及夹角或两边及一边对角的问题；
(2)已知三边问题．
(补充)已知两边和其中一边的对角（如）
用正弦定理或余弦定理均可

《名师一号》P63问题探究 问题2
选用正、余弦定理的原则是什么？
若式子中含有角的余弦或边的二次式，
要考虑用余弦定理；
若遇到的式子中含有角的正弦或边的一次式时，
则考虑用正弦定理；
以上特征都不明显时，则要考虑两个定理都有可能用到．
补充:
一、正弦定理推导必修5
证明思路：
转化到特殊情形----直角三角形中

二、余弦定理推导必修5

2011年陕西高考考查余弦定理的证明
18.（本小题满分12分）
叙述并证明余弦定理。

，
，
.
证明：（证法一） 如图，

即
同理可证 ，

（证法二） 已知中，所对边分别为，以为原点，所在直线为轴建立直角坐标系，则，
∴，
即
同理可证 ，

二、例题分析：
（一）利用正、余弦定理解三角形
例1．（1）《名师一号》P62 对点自测1
在△ABC中，A＝60°，B＝75°，a＝10，则c等于(　　)
A．5 B．10 C. D．5

解析　由A＋B＋C＝180°，知C＝45°，
由正弦定理得：＝.
即＝. ∴c＝.
注意：
已知两角及任一边，求其它边或角
----正弦定理,解唯一

例1．（2）《名师一号》P62 对点自测2
在△ABC中，若a＝3，b＝，A＝，
则C的大小为________．

解析　由正弦定理可知
sinB＝＝＝，
所以B＝或(舍去)，
(因为a>b即A＝> B 所以B＝)
所以C＝π－A－B＝π－－＝.
一解!

变式1: 在△ABC中，若b＝3，a＝，A＝，
则C的大小为________．

答案: sinB>1

无解!

变式2:
在中，已知，
解.

答案：
或
两解!

变式3:求边？

注意：
知道两边和其中一边的对角（如）解三角形
可用正弦定理先求出角也可用余弦定理先求出边
再求解。两种方法均须注意解的个数！
可能有一解、二解、无解，应注意区分．

练习:(补充)
（2009山东文17）已知函数
处取最小值。
（I）求的值；
（Ⅱ）在中，分别是角A，B，C的对边，已知求角C。

【解析】
（Ⅰ）f(x)＝2sinx

＝sin(x+).
因为　f(x)在x＝时取最小值，
所以　sin(+)=-1,故　sin=1.
又　0＜＜，所以＝，
（Ⅱ）由（Ⅰ）知f(x)=sin(x+)=cosx.
因为f(A)=cosA=,且A为△ABC的角，
所以A＝.
由正弦定理得　sinB＝=,
又b＞a，
当时，
当时，
综上所述，[来

例2． (补充)
若满足条件，
的有两个，求的取值范围.

答案：

注意：判断三角形解的个数常用方法：
(1)在中，已知。构造直角三角形判断
(2)利用余弦定理判断（一元二次方程正根个数）
勿忘大边对大角判断

已知两边及其中一边对角，
判断三角形解的个数的方法：
①应用三角形中大边对大角的性质
以及正弦函数的值域判断解的个数．

②在△ABC中，已知a、b和A，
以点C为圆心，以边长a为半径画弧，
此弧与除去顶点A的射线AB的公共点的个数
即为三角形的个数，解的个数见下表：

图示已知a、b、A，△ABC解的情况．
(ⅰ)A为钝角或直角时解的情况如下：

(ⅱ)A为锐角时，解的情况如下：

③运用余弦定理转化为关于一元二次方程
正根个数问题

练习:
已知中，若，
且三角形有两解，求角的取值范围。

答案：由条件知bsinA<a，即2sinA<2，
∴sinA<，
∵a<b，∴A<B，
∴A为锐角，∴0<A<.

例3．（1）《名师一号》P62 对点自测3
在△ABC中，a＝，b＝1，c＝2，则A等于(　　)
A．30° B．45° C．60° D．75°

解析　由余弦定理得：
cosA＝＝＝，
∵0＜A＜π，∴A＝60°.
注意：
已知三边，求其它边或角
---余弦定理
例3．（2）《名师一号》P63 高频考点 例1(2)
(2014·新课标全国卷Ⅱ)钝角三角形ABC的面积是，AB＝1，BC＝，则AC＝(　　)
A．5 B. C．2 D．1

解:由题意知S△ABC＝AB·BC·sinB，
即＝×1×sinB，解得sinB＝，
∴B＝45°或B＝135°.
当B＝45°时，AC2＝AB2＋BC2－2AB·BC·cosB
＝12＋()2－2×1××＝1.
此时AC2＋AB2＝BC2，△ABC为直角三角形，
不符合题意；
当B＝135°时，AC2＝AB2＋BC2－2AB·BC·cosB
＝12＋()2－2×1××＝5，解得AC＝.
符合题意．故选B.
注意：
已知两边夹角，求其它边或角
---余弦定理
小结:
已知与待求涉及三边和一角的关系
---余弦定理

例4．（1）《名师一号》P63 高频考点 例1(1)
(2014·江西卷)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若3a＝2b，则的值为(　　)
A．－ B. C．1 D.

解:∵3a＝2b，
∴由正弦定理得＝＝.
∴＝，
∴＝2×－1
＝2×－1＝－1＝.

例4．（2）《名师一号》P62 对点自测
已知△ABC三边满足a2＋b2＝c2－ab，
则此三角形的最大内角为__________．

解析　∵a2＋b2－c2＝－ab，
∴cosC＝＝－，
故C＝150°为三角形的最大内角．

注意：
（1）关于边的齐次式或关于角的正弦的齐次式
均可利用正弦定理进行边角互化。
（2）关于边的二次式或关于角的余弦
均可考虑利用余弦定理进行边角互化.
注意等价转换!!!

练习:
(2010·天津理)在△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，若a2－b2＝bc，sinC＝2sinB，则A＝(　　)
A．30° B．60° C．120° D．150°

解:由余弦定理得：cosA＝，
由题知b2－a2＝－bc，c2＝2bc，则cosA＝，
又A∈(0°，180°)，∴A＝30°，故选A.

注意：
已知三边比例关系
---余弦定理

（二）三角形的面积
例1．（1）《名师一号》P62 对点自测6
(2014·福建卷)在△ABC中，A＝60°，AC＝4，
BC＝2，则△ABC的面积等于________．

解析　由题意及余弦定理得
cosA＝＝＝，解得c＝2.
所以S＝bcsinA＝×4×2×sin60°＝2.
故答案为2.

注意：
知道两边和其中一边的对角（如）解三角形可用正弦定理先求出角也可用余弦定理先求出边再求解。两种方法均须注意解的个数！
本例用余弦求边更快捷.

例1．（2）《名师一号》P63 高频考点 例3
(2014·浙江卷)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知a≠b，c＝，cos2A－cos2B＝sinAcosA－sinBcosB.
(1)求角C的大小；
(2)若sinA＝，求△ABC的面积．

解:(1)由题意得－
＝sin2A－sin2B，
即sin2A－cos2A＝sin2B－cos2B，
sin＝sin.
由a≠b，得A≠B，又A＋B∈(0，π)．
得2A－＋2B－＝π，
即A＋B＝，所以C＝.
(2)由c＝，sinA＝，＝，得a＝.
由a<c，得A<C，从而cosA＝，
故sinB＝sin(A＋C)
＝sinAcosC＋cosAsinC＝.
所以△ABC的面积为S＝acsinB＝.
【规律方法】　三角形面积公式的应用原则
(1)对于面积公式S＝absinC＝acsinB＝bcsinA，
一般是已知哪一个角就使用哪一个公式．
(2)与面积有关的问题，
一般要用到正弦定理或余弦定理进行边和角的转化．

（三）三角形形状的判定
例1．（1）《名师一号》P63 高频考点 例2
在△ABC中a，b，c分别为内角A，B，C的对边，且2asinA＝(2b＋c)sinB＋(2c＋b)sinC.
(1)求A的大小；
(2)若sinB＋sinC＝1，试判断△ABC的形状．

解:(1)由已知，根据正弦定理得
2a2＝(2b＋c)·b＋(2c＋b)c，即a2＝b2＋c2＋bc.
由余弦定理得a2＝b2＋c2－2bccosA，
故cosA＝－，∵0<A<180°，∴A＝120°.
(2)由(1)得
sin2A＝sin2B＋sin2C＋sinBsinC＝.
又sinB＋sinC＝1，解得sinB＝sinC＝.
∵0°<B<60°，0°<C<60°，
故B＝C＝30°，A＝120°.
∴△ABC是等腰钝角三角形．
法二：因为A＝120°，且A+B＋C=180°
所以sinB＋sinC＝1即sin（60°-C）＋sinC＝1
可求得C=30°

例1．(2)(补充)
根据所给条件，判断△ABC的形状．
1)若acosA＝bcosB，则△ABC形状为________．
2)若＝＝，则△ABC形状为________．

解析：(1) 解法一: 由正弦定理得
sinAcosA＝sinBcosB 即sin2A＝sin2B

或
或
∴△ABC是等腰三角形或直角三角形．
解法二:
由余弦定理得
acosA＝bcosB⇒a·()＝b·()
⇒a2c2－a4－b2c2＋b4＝0，
∴(a2－b2)(c2－a2－b2)＝0
∴a2－b2＝0或c2－a2－b2＝0
∴a＝b或c2＝a2＋b2
∴△ABC是等腰三角形或直角三角形．
(2)由正弦定理得＝＝
即tanA＝tanB＝tanC，
∵A、B、C∈(0，π)，∴A＝B＝C，
∴△ABC为等边三角形．

注意：利用正、余弦定理进行边角互化
(1)关于边的齐次式或关于角的正弦的齐次式均可利用正弦定理进行边角互化。
(2)关于边的二次式或关于角的余弦
均可考虑利用余弦定理进行边角互化。

【规律方法】　
依据已知条件中的边角关系判断三角形的形状时，
主要有如下两种方法：
(1)利用正、余弦定理把已知条件转化为边边关系，通过因式分解、配方等得出边的相应关系，从而判断三角形的形状．
(2)利用正、余弦定理把已知条件转化为内角的三角函数间的关系，通过三角函数恒等变形，得出内角的关系，从而判断出三角形的形状，此时要注意应用A＋B＋C＝π这个结论．

《加加练》P9 第6题
已知中，

则为（ ）
A.等边三角形 B.等腰直角三角形
C.锐角三角形 D.钝角三角形

答案：B

《计时双基练》P252 第2题

（四）三角形的综合问题
例1．(补充) 在△ABC中，sin(C-A)=1,sinB=.
(Ⅰ)求sinA的值；
(Ⅱ)设AC=，求△ABC的面积.

解：（Ⅰ）由，且，∴，
∴，
∴，又，∴
A
B
C
（Ⅱ）如图，由正弦定理得
∴，
又

∴
注意:
关注三角形内角和、特殊角、三角恒等变换公式、
知两边夹角求面积公式的选择。

例2．(补充)已知中，角所对的边
分别为，，，
求的取值范围

解法一：
正弦定理（结合三角最值）

当且仅当即时等号成立

法二：余弦定理（结合不等式）
由得
即

当且仅当时等号成立
又三角形两边之和大于第三边

注：这是一道好题，刚好都能运用
“正余弦定理求解最值问题”的两种主要方法解决。

小结：
借助正弦定理，转化为角的正弦值，
利用三角函数最值求解
借助余弦定理，转化为边的关系，
利用均值不等式求解
余弦定理

注意两数和（差）与这两数的平方和、两数的积
的关系的运用

练习:
《加加练》P11 第11题
已知△ABC中，外接圆半径是1，且满足
，
则△ABC面积的最大值为

答案：

《计时双基练》P251 第6题

(补充)已知向量，，
为锐角的内角，其对应边为，，.
（Ⅰ）当取得最大值时，求角的大小；
（Ⅱ）在（Ⅰ）成立的条件下，当时，
求的取值范围.

解：（Ⅰ），时，即时，取得最大值，∴
（Ⅱ）由正弦定理可知，
24ma 注意：
正弦定理：
(其中R为△ABC外接圆的半径)

为锐角三角形

★注意：
为锐角三角形

讲评：
1、《计时双基练》 P252 基础11---多个三角形问题
(2014·湖南卷)如图，在平面四边形ABCD中，AD＝1，CD＝2，AC＝.
(1)求cos∠CAD的值；
(2)若cos∠BAD＝－，
sin∠CBA＝，求BC的长．

解　(1)由余弦定理可得
cos∠CAD＝＝＝，
∴cos∠CAD＝.
(2)∵∠BAD为四边形内角，
∴sin∠BAD>0且sin∠CAD>0，
则由正余弦的关系可得
sin∠BAD＝＝，
且sin∠CAD＝＝，
由正弦的和差角公式可得
sin∠BAC＝sin(∠BAD－∠CAD)
＝sin∠BADcos∠CAD－sin∠CADcos∠BAD
＝×－×＝＋＝，
再由△ABC的正弦定理可得
＝⇒BC＝×＝3.

2、《45套》之7--19（2）---方程的思想

课后作业
一、 计时双基练P251基础1-6；
课本P63变式思考1、3
补充练习1、2、3

二、 计时双基练P251基础7-11；培优1-4
课本P63变式思考2

三、课本P64典例、※对应训练
补充练习4、5
预习 第七节

补充练习:
1、（2009山东文17）已知函数
处取最小值。
（I）求的值；
（Ⅱ）在中，分别是角A，B，C的对边，已知求角C。

【解析】
（Ⅰ）f(x)＝2sinx

＝sin(x+).
因为　f(x)在x＝时取最小值，
所以　sin(+)=-1,故　sin=1.
又　0＜＜，所以＝，
（Ⅱ）由（Ⅰ）知f(x)=sin(x+)=cosx.
因为f(A)=cosA=,且A为△ABC的角，
所以A＝.
由正弦定理得　sinB＝=,
又b＞a，
当时，
当时，
综上所述，[
2、 已知中，若，
且三角形有两解，求角的取值范围。

答案：由条件知bsinA<a，即2sinA<2，
∴sinA<，
∵a<b，∴A<B，
∴A为锐角，∴0<A<.

3、已知△ABC中，∠A＝60°，BC=2，
则其外接圆面积为__________．
答案：
★注意：
勿忘正弦定理中
三角形各边与对角正弦的比为外接圆直径
（为三角形外接圆半径）

4、在四边形ABCD中，∠B＝∠D＝90°，∠A＝60°，
AB＝4，AD＝5，则AC的长为(　　)
A. B．2 C. D.

[解析]　如图，连结AC，设∠BAC＝α，则AC·cosα＝4，

AC·cos(60°－α)＝5，
两式相除得，＝，
展开解得，tanα＝
∵α为锐角，∴cosα＝
∴AC＝＝2
解法二：（补充）△ABD中，由余弦定理得
由∠B＝∠D＝90°知AC为△ABD的外接圆直径
由正弦定理得

5、已知向量，，
为锐角的内角，其对应边为，，.
（Ⅰ）当取得最大值时，求角的大小；
（Ⅱ）在（Ⅰ）成立的条件下，当时，
求的取值范围.

解：（Ⅰ），时，即时，取得最大值，∴
（Ⅱ）由正弦定理可知，
24ma 注意：
正弦定理：
(其中R为△ABC外接圆的半径)

为锐角三角形

★注意：
为锐角三角形

6、2013年广州二模文数 第17题
某单位有、、三个工作点，需要建立一个公共无线网络发射点，使得发射点到三个工作点的距离相等．已知这三个工作点之间的距离分别为，，．假定、、、四点在同一平面上．
（1）求的大小；
（2）求点到直线的距离．
答案(1)(2)

课后作业
三、 计时双基练P251基础1-6；
课本P63变式思考1
补充练习1、3、例2

四、 计时双基练P251基础7-11;培优1-4
课本P63变式思考3
补充练习2

三、课本P63变式思考2
课本P64典例、※对应训练
补充练习4、5
预习 第七节

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