数学:2.3.1圆的标准方程--学案一(新人教B版必修2).doc
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1、圆的标准方程课标解读 栏目功能:按课程标准和考试要求,分课标要求和学习目标两方面去写,通过本栏目,使教师的教学更具有针对性,学生的学习更具有目的性.编写要求:课标要求和学习目标左右栏排版单独成块,课标要求主要围绕三维目标进行展开,学习目标是从学生应该掌握的角度进行写作.课标要求学习目标1掌握确定圆的几何要素,掌握圆的标准方程。2会根据不同的已知条件,利用坐标法、数形结合这一数学思想以及转化与化归思想求出圆的标准方程3培养学生细心的学习习惯、认真的学习态度,激发学生学习数学的兴趣1会推导圆的标准方程,使学生掌握圆的标准方程的特点2能根据所给有关圆心、半径的具体条件用待定系数法准确地写出圆的标准方
2、程3能运用圆的标准方程正确地求出其圆心和半径 4.会判断点与圆的位置关系.教学策略 栏目功能:针对本节教学内容,在教材处理、教法等方面简要阐述一些有建设性的教学建议,使教师的教学目标性强、针对性强.编写要求:注意应突出启发性、过程式原则,不要写的太死,要写出最好的教学手段,怎样处理新旧知识的联系以及处理问题的方法和注意事项,不要完全照搬教参。1本节重点是圆的标准方程结构特征的正确理解与认识;在给定条件下求圆的标准方程的一般思维方法。难点是用数形结合法求圆的标准方程。2在得到圆的标准方程之后,用“曲线与方程”的思想解释坐标满足方程的点一定在曲线上。即若点M在圆上,由上述结论可知,点M的坐标适合方
3、程;反之,若N的坐标适合方程,说明点N与圆心A的距离为r。3对于圆的标准方程,应强调其圆心为C(a,b),半径为r,注意方程中的减号。4提出坐标法的思想,即根据给出的圆心坐标以及半径写出圆的方程从几何到代数;根据坐标是否满足方程,来认识所对应的几何对象之间的关系从代数到几何。5在引导学生列关于a、b、r的方程或方程组时,要注意联系平面几何的知识,尤其是其中的一些直角三角形、垂弦定理。学习策略 栏目功能:说明学习本节内容时应注意的问题和应采用的策略,以便学生更好的理解和掌握本章内容。编写要求:注意要用条目式呈现,层次性条理性要强。1在本节的学习中,要注意圆的标准方程,通过两点间的距离公式理解和记
4、忆,且通过圆的标准方程可以直接得到圆心和半径、通过圆心和半径可以直接得到圆的标准方程。2在掌握了标准方程之后,要能从“是”、“否”两个方面来判断点与方程的关系,3要注意数形结合思想及方程思想的运用。4求标准方程常用待定系数法,根据题目的条件列出关于a、b、r的方程或方程组。情景创设 栏目功能:激起学生的学习本节知识、探究问题、发现问题的兴趣和斗志,同时也能更好地体现新课标理念.编写说明:1.在报刊、网络或相关信息上精选或精编一段新颖的、可读性强的、趣味性强的与本节相关的生产、生活、社会、科技等美文、小故事、图片等,作为本节知识的导入,引导学生去探索、发现问题,激发学生的学习兴趣.2.如果与本节
5、相关的材料确实不好找,也可以从知识回顾的角度或自己精编一个与本节有关的问题去写.3.注意篇幅不易过长.同学们,你们做过摩天轮吗?登高而望远,不亦乐乎。世界上最巨大的摩天轮是座落于泰晤士河畔的英航伦敦眼,距地总高达135公尺然而,由于伦敦眼属于观景摩天轮结构,有些人认为其在排行上应该与重力式摩天轮分开来计算因此目前世界最大的重力式摩天轮应位于日本福冈的天空之梦福冈,是直径112公尺,离地总高120公尺的摩天轮。对于这些摩天轮,我们如何通过建立平面直角坐标系,利用方程的知识来研究呢?合作探究栏目功能:通过对本节重要知识点和典型解题方法的探究,进一步强化学生对知识和方法的探索感悟和认知过程,使学生对
6、问题的认识是一个层层递进、不断攀升、不断升华的过程,从而遵循由特殊到一般的认识问题和解决问题的基本思路、基本方法编写要求:1.对于基本概念、公式、定理、方法的讲解.一般是先通过具体一例子引出问题或者由创设的情景提出问题,然后进行探究(议一议,思考等),一定要体现思维过程,最后得出一般性的结论(提升总结).2.在第1条的写作时,自选取课本或其它资料上的一些典型例题进行讲解示例.3.对于本节的“应用”可设为最后一个探究,选取典型例题进行讲解(不要和前面的探究中例题设置角度重复)探究一 探究圆的标准方程想一想:初中学习圆的定义如何?我们在初中已经学习了圆的有关知识,圆的几何特征是在平面内圆上任一点到
7、定点的距离等于定长的点的集合(轨迹)叫做圆,定点就是圆心,定长就是半径xyOCPr图4-1-1-1议一议:确定圆需要哪些条件?一个圆的圆心位置和半径一旦给定,这个圆就被确定下来了.探究:如图4-1-1-1,设圆心是C(a,b),半径为r,设P(x,y)是圆上任意一点,则CP=r,由两点间的距离公式得,即得圆的标准方程:其中圆心为C(a,b),半径为r提升总结:圆心为C(a,b),半径为r的圆的标准方程为。温馨提示:(1)如果圆心在坐标原点,此时a=b=0,圆的方程为(2)圆的标准方程 圆心为C(a,b),半径为r,这呈现了圆的几何特征.例1求满足下列条件的各圆的方程:(1)圆心在原点,半径是;
8、(2)圆心在点C(8,8),半径是2008;来源:学科网(3)经过点P(5,1),圆心在点C(8,).分析:根据圆心和半径直接代入标准方程。解:(1) ;(2) ;(3) 方法一:圆的半径,圆心在点C(8,),圆的方程是.方法二:圆心为C(8,),故设圆的方程为,又点P(5,1)在圆上,。所求圆的方程是.点拨:确定圆的标准方程只需要确定圆心的坐标和圆的半径即可,因此圆心和半径被称为圆的两要素。例2 写出下列方程表示的圆的圆心和半径(1);(2)();(3)().分析:搞清圆的标准方程()中,圆心为(),半径为,本题易于解决解:(1)圆心(0,0),半径为; (2)圆心(3,0),半径为;来源:
9、学|科|网来源:学.科.网(3)圆心(),半径为.点拨:(2)、(3)两题仅为半径的平方,没有给定,所以半径.探究二 如何确定点与圆的位置关系?在平面直角坐标系中,圆一旦确定,该平面内的任何一点与圆的位置关系都确定下来那么该如何确定呢?想一想:初中学习圆的内容时,点与圆的位置关系有哪些?点与圆的位置关系有三种情形:点在圆内、点在圆上、点在圆外。议一议:如何通过距离进行比较呢?其判断方法是看点到圆心的距离d与圆半径r的关系dr时点在圆外议一议:如何通过方程进行比较呢?探究:以圆为例,在圆上的点都满足数形结合易知点都在圆的内部,它们都满足、事实上若点在圆的内部,过点作轴的垂线,交圆于,显然有且,从
10、而有也就是说圆的内部的点都满足数形结合易知点都在圆的外部,它们都满足、事实上若点在圆的外部,过点作轴或轴的垂线,(1)若与圆有交点,则同理可得,(2)若均与圆无交点,则,从而也有也就是说圆的外部的点都满足将圆替换为,结论同样成立提升总结:点在圆上等价于;点在圆内部等价于;点在圆外部等价于温馨提示:点与圆的位置关系的比较有以上两种方法,几何法与代数法。例3 写出以点A(2,)为圆心,5为半径的圆的标准方程,并判断点M(5,),N(2,),P(10,)与该圆的位置关系分析:先求出圆的标准方程,然后再判断。解:圆的标准方程为.方法一:因为,所以点M在圆上因为,所以点N在圆内因为,所以点P在圆外方法二
11、:因为,所以点M在圆上因为,所以点N在圆内因为,所以点P在圆外点拨:求点与圆心之间的距离或将点的坐标代入方程是关键探究三 如何确定圆的标准方程的方法和步骤?想一想:圆的标准方程中有几个参变数?使用什么方法求解?议一议:圆的标准方程中含有三个参变数,必须具备三个独立的条件,才能定出一个圆的方程。当已知曲线为圆时,一般采用待定系数法求圆的方程提升总结:求圆的标准方程的一般步骤为:(1)根据题意,设所求的圆的标准方程为(2)根据已知条件,建立关于a,b,r的方程组;(3)解此方程组,求出a,b,r的值; .(4)将所得的a,b,r的值代回所设的圆的方程中,就得到所求的圆的标准方程例4在平面直角坐标系
12、中,求与x轴相交于A(1,0)和B(5,0)两点且半径为的圆的标准方程.分析:设出标准方程进行求解或利用平面几何的知识求解。来源:学科网解:方法一:设圆的标准方程为.因为点A,B在圆上,所以可得到方程组: 解得a=3,b=.所以圆的标准方程是或.方法二:由A、B两点在圆上,那么线段AB是圆的一条弦,根据平面几何知识:这个圆的圆心在线段AB的垂直平分线上,于是可以设圆心为C(3,b),又AC=得:. 解得b=1或b=因此,所求圆的标准方程为或. 点拨:本题求解的核心就是求出圆心的坐标,待定系数法是最容易想到的办法;但用待定系数法计算有时会比较麻烦如果在求解有关这类问题时能够结合圆的有关几何性质来
13、考虑(如垂径定理等),可以使思路比较直观而且计算会简洁些探究四 圆的标准方程的求解与应用例5已知一个圆经过两个点,且圆心在直线上,求此圆的方程分析:已知三个条件,直接利用待定系数求出圆心坐标和半径即可可以直接代入、利用圆的性质、圆的定义进行等价转化解:方法一:设所求圆的方程为由已知条件得: (*)两式相减得:展开整理得又圆心在直线上,所以联立方程得解之得将其再代入(*)式中的任何一个方程,解得故所求圆的方程为方法二:因为已知所以中点为,从而的中垂线方程为,即解方程组得所以圆心为从而圆的半径故所求圆的方程为方法三:因为圆心在直线上所以点的坐标可表示为又,所以解得从而圆心为,半径故所求圆的方程为点
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