北京市海淀区2014年高三一模数学(文科)试题及答案.doc
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2014高考高频考点尽在易题库 海淀区高三年级第二学期期中练习 数 学 (文科) 2014.4 本试卷共4页,150分。考试时长120分钟。考生务必将答案答在答题卡上,在试卷上 作答无效。考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题:本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题列出的四个选项中,选出符合题目要求的一项. 1. A. B. C. D. 2. 已知集合 A. B. C. D. 3. 抛物线上到其焦点距离为5的点有 A.0个 B.1个 C. 2个 D. 4个 4. 平面向量满足,,且的夹角为,则= A.1 B. 3 C.5 D. 7 5. 函数的部分图象可能是 A B C D 6. 已知等比数列的前项和为,且,,成等差数列,则数列的公比为 A.1 B.2 C. D.3 7. 已知和是指数函数,则“”是“”的 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 8. 已知,点在曲线上,若线段与曲线相交且交点恰为线段的中点,则称为曲线关于曲线的一个关联点.那么曲线关于曲线的关联点的个数为 A.0 B.1 C.2 D.4 二、填空题:本大题共6小题,每小题5分,共30分. 9.双曲线的离心率为2,则__________. 10. 李强用流程图把早上上班前需要做的事情做了如下几种方案,则所用时间最少的方案是_______ 方案一: 方案二: 方案三: 11. 在中,,,,则 12. 某商场2013年一月份到十二月份月销售额呈现先下降后上升的趋势,现有三种函数模型: ①,;②;③. 能较准确反映商场月销售额与月份x关系的函数模型为 _________(填写相应函数的序号),若所选函数满足,则=_____________. 13.一个空间几何体的三视图如图所示,该几何体的表面积为 __________. 14. 设不等式组表示的区域为,不等式表示的平面区域为. (1) 若与有且只有一个公共点,则= ; (2) 记为与公共部分的面积,则函数的取值范围是 . 三、解答题: 本大题共6小题,共80分.解答应写出文字说明, 演算步骤或证明过程. 15.(本小题满分13分) 已知函数. (Ⅰ)求; (Ⅱ)求在上的取值范围. 16.(本小题满分13分) 某出租车公司为了解本公司出租车司机对新法规的知晓情况,随机对100名出租车司机进行调查.调查问卷共10道题,答题情况如下表: 答对题目数 8 9 女 2 13 12 8 男 3 37 16 9 (Ⅰ)如果出租车司机答对题目数大于等于9,就认为该司机对新法规的知晓情况比较好,试估计该公司的出租车司机对新法规知晓情况比较好的概率; (Ⅱ)从答对题目数少于8的出租车司机中任选出两人做进一步的调查,求选出的两人中至少有一名女出租车司机的概率. 17. (本小题满分14分) 如图1,在Rt△ABC中,∠ABC=90°,D为AC中点,于(不同于点),延长AE交BC于F,将△ABD沿BD折起,得到三棱锥,如图2所示. (Ⅰ)若M是FC的中点,求证:直线//平面; (Ⅱ)求证:BD⊥; (Ⅲ)若平面平面,试判断直线与直线CD能否垂直?并说明理由. 18. (本小题满分13分) 已知函数. (Ⅰ)求的单调区间; (Ⅱ) 当时,求证:恒成立. 19. (本小题满分14分) 已知是椭圆上两点,点的坐标为. (Ⅰ)当关于点对称时,求证:; (Ⅱ)当直线经过点 时,求证:不可能为等边三角形. 20. (本小题满分13分) 在平面直角坐标系中,对于任意相邻三点都不共线的有序整点列(整点即横纵坐标都是整数的点):与:,其中,若同时满足: ①两点列的起点和终点分别相同;②线段,其中, 则称与互为正交点列. (Ⅰ)试判断:与:是否互为正交点列,并说明理由; (Ⅱ)求证::不存在正交点列; (Ⅲ)是否存在无正交点列的有序整数点列?并证明你的结论. 海淀区高三年级第二学期期中练习参考答案 数 学 (文科) 2014.4 阅卷须知: 1.评分参考中所注分数,表示考生正确做到此步应得的累加分数。 2.其它正确解法可以参照评分标准按相应步骤给分。 一、选择题:本大题共8小题,每小题5分,共40分. 1.B 2.B 3.C 4.C 5.A 6.D 7. C 8.B 二、填空题:本大题共6小题,每小题5分,共30分. 9. 1 10. 方案三 11. , 12. ③, 13. 152 14. , {说明:两空的第一空3分,第二空2分;14题的第二空若写成不扣分} 三、解答题: 本大题共6小题,共80分.解答应写出文字说明, 演算步骤或证明过程. 15.解: (Ⅰ) ---------------------------------1分 ---------------------------------2分 ---------------------------------3分 ---------------------------------4分 (Ⅱ) ---------------------------------6分 --------------------------------8分 因为 所以 --------------------------------10分 所以 --------------------------------12分 所以的取值范围是 --------------------------------13分 16.解: (Ⅰ)答对题目数小于9道的人数为55人,记“答对题目数大于等于9道”为事件A --------------------------------5分 (Ⅱ)设答对题目数少于8道的司机为 A、B、C、D、E,其中A、B为女司机 ,选出两人包含AB、AC、AD、AE、BC、BD、BE、CD、CE、DE共10种情况,至少有1名女驾驶员的事件为AB、AC、AD、AE、BC、BD、BE共7种. 记“随机选出的两人中至少有1名女驾驶员”为事件M,则 --------------------------------13分 17.解: (Ⅰ)因为,分别为中点,所以// ---------------------2分 又, 所以. -----------------------4分 (Ⅱ)因为,且 所以 -------------7分 又 所以 ------------------------9分 (Ⅲ)直线与直线不能垂直 ---------------------------------------10分 因为,,, , 所以 . ---------------------------------------12分 因为,所以, 又因为,所以. 假设, 因为,, 所以, ------------------------------------------13分 所以, 这与为锐角矛盾 所以直线与直线不能垂直. ---------------------------------------14分 18.解: (Ⅰ) 定义域为 ------------------------------------1分 ------------------------------------2分 令,得 ------------------------------------3分 与的情况如下: 0 ↘ 极小值 ↗ --------------------------------5分 所以的单调减区间为,单调增区间为--------------------------6分 (Ⅱ) 证明1: 设, ------------------------------------7分 -------------------------------8分 与的情况如下: 1 0 ↘ 极小值 ↗ 所以,即 在时恒成立, ----------------------10分 所以,当时,, 所以,即, 所以,当时,有. ------------------------13分 证明2: 令 ----------------------------------7分 -----------------------------------8分 令,得 -----------------------------------9分 与的情况如下: 0 ↘ 极小值 ↗ ---------------------10分 的最小值为 -------------------11分 当时,,所以 故 -----------------------------12分 即当时,. ------------------------------------13分 19.解:(Ⅰ)证明: 因为在椭圆上, 所以 -----------------------------------1分 因为关于点对称, 所以, --------------------------------2分 将代入②得 ③, 由①和③消解得, ------------------------------------------4分 所以 . ------------------------------------------5分 (Ⅱ)当直线不存在斜率时,, 可得,不是等边三角形. -----------------------6分 当直线存在斜率时,显然斜率不为0. 设直线:,中点为, 联立 消去得, ------------------7分 由,得到 ① -----------------------------------8分 又, 所以, 所以 -------------------------------------------10分 假设为等边三角形,则有, 又因为, 所以, 即, ---------------------11分 化简 ,解得或 ---------------12分 这与①式矛盾,所以假设不成立. 因此对于任意不能使得,故不能为等边三角形. ------------14分 20.解: (Ⅰ)有序整点列与互为正交点列. -------------------------1分 理由如下: 由题设可知 ,, 因为 , 所以 . 所以整点列与互为正交点列. ----------------------------3分 (Ⅱ)证明 :由题意可得 , 设点列是点列的正交点列, 则可设, 因为相同,所以有 因为,方程②不成立, 所以有序整点列不存在正交点列.----------8分 (Ⅲ)存在无正交点列的整点列. -------------------------------------------9分 当时,设其中是一对互质整数, 若有序整点列 是点列的正交点列, 则 ,由 得 取, 由于是整点列,所以有. 等式②中左边是3的倍数,右边等于1,等式不成立, 所以存在无正交点列的整点列. -----------------------------------13分 官方网站: 全国免费咨询电话:4008—555—865- 配套讲稿:
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