乘法原理与加法原理教案.doc

第十一讲 乘法原理与加法原理
知识提要
理解和初步掌握：加法原理、乘法原理、排列和组合的概念及计算方法。
加法原理：N= m1＋m2＋……＋mn。
乘法原理： N= m1×m2×……×mn。
经典例题
家
桥
学校
A
B
C
D
G
E
F
例1 小刚从家到学校要经过一座桥，从家到桥时有3条路可以走，过了桥再到学校时有4条路可以走（如下图）。小刚从家到学校一共可以有多少种不同的走法？

分析与解：
把从小刚家到学校的路分为两步。
第一步从家到桥，第二步从桥到学校。这两步中每一步都不能单独走完从家到学校的路，只有两步合在一起，才能完成。
从图中看出从家到学校共有12种不同的走法：
AD AE AF AG BD BE BF BG CD CE CF CG
根据此题，得出如下结论：
乘法原理 要完成一项任务，由几个步骤实现，第一步有m1种不同的方法；第二步有m2种不同的方法；……第n步有mn种不同的方法；那么要完成任务共有：N= m1×m2×……×mn。

5
8
7
6

例2 有四张数字卡片，

用这四张数字卡片组成三位数，可以组成多少个？
分析与解：
用卡片组成三位数要分成三步，第一步选取百位上的数字，可以有4种选择；第二步选取十位上的数字，可以有3种选择；第三步选取个位上的数字，可以有2种选择。所以可以组成不同的三位数共有：
4×3×2=24（个）

例3：由数字1、2、3、4、5、6可以组成多少个没有重复数字的四位奇数？
分析与解：要求奇数，所以个位数字只能取1、3、5中的一个，有3种取法；十位数字可以从余下的五个数字中任取一个，有5种不同取法；百位数字还有4种取法；千位数字只有3种取法。由乘法原理，共可组成：
3×5×4×3＝180（个）没有重复数字的四位奇数。

例4：下图为4×4的棋盘，要把A、B、C、D四个不同的棋子放在棋盘的方格中，并使每行每列只能出现一个棋子。问：共有多少种不同的放法？

分析与解：四个棋子要一个一个地放，故可看做分四步完成任务，第一步放棋子A，A可以放在16个方格中的任意一个中，故有16种不同方法；第二步放棋子B，放A棋子的一行和一列都不能放B，还剩下9个方格可以放B，所以B有9种方法；第三步放C，再去掉放B的行和列，还有4个方格可以放C，故C有4种放法；最后放D，再去掉C所在的行和列，只剩下一个方格放D了，D只有一种方法，由乘法原理，共有
16×9×4×1＝576（种）不同放法。
在解题时应注意加法原理和乘法原理的区别，往往是要综合使用的。

例5 从北京到郑州可以坐飞机，乘火车，还可以乘汽车。一天中有飞机2班，火车有3趟，汽车有5趟。同一天中从北京到郑州乘坐以上三种交通工具，共有几种不同的走法？
分析与解：
三种交通工具中的任何一种都可以到达目的地，那么每类交通工具中有几中不同的方法。（飞机2班，火车3趟，汽车5趟）因此，要到达目的地应有2＋3＋5=10不同的方法。

根据此题，得出如下结论：
加法原理 要完成一种任务有几类办法，在第一类办法中有m1中不同方法；在第二类办法中有m2中不同方法；……在第n类办法中有mn中不同方法。在这些不同的方法中，每一种方法都能独立完成任务，那么完成这一任务共有：
N= m1＋m2＋……＋mn。

例6：如图：从甲地到乙地有4条路可走，从乙地到丙地有2条路可走，从甲地到丙地有3条路可走。那么，从甲地到丙地共有多少种不同走法？

解：从甲地到丙地共有两类不同走法。
第一类：由甲地途径乙地到丙地。这时要分二步走。第一步，从甲地到乙地有4种走法；第二步从乙地到丙地有2种走法。据乘法原理，从甲地经乙地到丙地共有： 4×2＝8
种不同走法。
第二类：从甲地直接到丙地，有3种走法。由加法原理，从甲地到丙地若有
8＋3＝11 种不同的走法。

例7：有两个相同的正方体，每个正方体的六个面上标有数字1、2、3、4、5、6，将两个正方体任意放到桌面上，向上一面的两个数字之和为偶数的有多少种情形？
解：两个数字之和为偶数，这两个数字的奇偶性必相同，所以分两大类。
第一类：两个数字同奇，第一个正方体有3种可能，第二个正方体也有3种可能，由乘法原理，共有3×3＝9种不同的情形。
第二类：是两个数字同偶。也有9种不同的情况。
据加法原理：两个正方体向上一面数字之和为偶数。共有：
9＋9＝18
种不同的情况。

基本训练
1.某校六一班有35人，六二班有40人，六三班有37人。从中选1人去人民大会堂开会，有多少种选法？

2.某校六一班第一小队有12人，第二小队有11人，第三小队有13人。从每个小队中各选1人去人民大会堂开会，有多少种选法？

3. 某人在小学、初中、高中时分别有两个学校可以选择，那么他共有几种不同的由小学读完高中的不同选择方式？

4．如图所示，三条平行线上分别有两个点、四个点、三个点，且不在同一直线上的三个点一定不共线，在每条直线上各取一点可以画一个三角形，如三角形BEH，问可以画多少个不同的三角形？

5. 由数字1、2、3、4、5、6、7、8可以组成多少个
(1)三位数？

(2)三位偶数？

(3)没有重复数字的三位偶数？

(4)百位有8的没有重复数字的三位数？

(5)百位为8的没有重复数字的三位偶数？

拓展提高
1．某个地区的电话号码是八位数，如果首位不是0，其余各位上可以是0～9这十个数字中的任意一个，不同数位上的数字可以重复，那么，这个地区可以有多少个电话号码？

2．两位数中个位数字加十位数字的和是双数，这样的两位数一共有多少个？

3．某公司买了8辆汽车，这8辆汽车的钥匙混装在一个纸袋里，要想把每辆汽车的钥匙挑出来，最多要试多少次？

奥赛训练
1． 超市的一个货架上摆放着10种不同的蔬菜，另一个货架上摆放着8种不同的水果。如果妈妈从这两个货架中至少选购一种，最多选购两种，一共有多少种不同的选购方法？

2． 从1～30这三十个自然数中，选出两个数，使它们的和大于30，一共有多少中不同的选法？

3．自然数1～1000中，“0”这个数字一共出现了多少次？

第十二讲 简单的排列与组合
知识提要
1、理解和初步掌握：加法原理、乘法原理、排列和组合的概念及计算方法。
加法原理：N= m1＋m2＋……＋mn。
乘法原理： N= m1×m2×……×mn。
排列：= n（n-1）（n-2）…（n-m+1）（m≤n）
组合：=÷
2、能够应用加法原理、乘法原理、排列和组合的概念及计算方法解决一些简单的实际问题。
经典例题
5
8
7
6

例1 有四张数字卡片，

用这四张数字卡片组成三位数，可以组成多少个？
分析与解：
用卡片组成三位数要分成三步，第一步选取百位上的数字，可以有4种选择；第二步选取十位上的数字，可以有3种选择；第三步选取个位上的数字，可以有2种选择。所以可以组成不同的三位数共有：
4×3×2=24（个）
排列的公式： = n（n-1）（n-2）…（n-m+1）（m≤n）
例如用5、6、7、8、9组成没有重复数字的四位数，可以组成多少个？

= n（n-1）（n-2）…（n-m+1）（m≤n）
=5×(5－1)×(5－2)×(5－4+1)= 5×4×3×2=120

例2有红、黄、粉、紫和蓝色的花各有很多支，现在用三种颜色的花各一支扎成一束，可以扎成多少不同的束？
分析与解：

从n个不同元素中，任意取出m个元素（m≤n），组成一组，叫做从n个不同元素取m个元素的一个组合，所组合的个数，叫做组合数。用符号表示。
组合的公式：=÷

排列与组合的区别：
排列与元素的顺序有关：
例如从7个人中选出正副组长，两个人有正、副之分。
组合与元素的顺序无关：
例如从7个人中选出两个人去开会，没有正、副之分。
因为所扎成的每一束花，与颜色的排列顺序无关，所以是组合问题。
÷=（5×4×3）÷（3×2×1）= 60÷6= 10
答：一共可以扎成10种不同的花束。

例3 从甲地到乙地的铁路沿线连同甲、乙两站共有10个车站，那么，火车票应有多少种不同票价？
分析与解：
因为从A到B和从B到A火车的票价是相同的，所以是组合问题。
÷=（10×9）÷（2×1）
= 90÷2
= 45
答：火车票应有45种不同票价。

例4 平面上共有7个点（没有3个点在同一条直线上），通过这些点可以画出多少个三角形或四边形？
分析与解：
通过这些点画三角形和四边形时，这些点没有顺序关系，所以先根据组合公式分别求出三角形和四边形的个数，再根据加法原理把两种的个数相加。
+= (7×6×5)÷(3×2×1) + (7×6×5×4)÷(4×3×2×1)
= 35+35
= 70
答: 可以画出70个三角形或四边形。

例5 如图。共有多少个平行四边形？
分析与解：
根据数长方形个数的方法，“长边”上8个点中选两个点的组合乘以宽边上6个点中两个点的组合。
×= (8×7)÷(2×1)×[(6×5)÷(2×1)]
=28×15
=420
答:共有420个平行四边形。

基本训练
1.一次乒乓球比赛，最后有6名选手进入决赛，如果赛前写出冠、亚军名单，可
以写出多少种？

2.在一张纸上有9个点，没有三个点在一条直线上。通过这些点一共可以画出多少条线段？

3.第三小队共有队员12人，要选出正、副小队长各一人，选出的结果可以有多少种不同的情况？

4.六一班有40名同学，现在要选派2名同学参加国庆活动，共有多少种不同的选法？

5.小红有4件不同花色的衬衫，有3条不同样式的裙子，如果用一件衬衫和一条裙子搭配成一套，一共可以搭配成多少套？

6.学校食堂今天中午的主食有：米饭、馒头、花卷和烙饼，炒菜有：炒芹菜、炒肉片、炒三丁、炒豆角和红烧肉。张老师要买一种主食和一种炒菜作为中午饭，张老师可以有多少种不同的买法？

拓展提高
1. 用0、1、2、3、4、5、6写出没有重复数字的四位数，可以写出多少个？

2.用0、1、2、3、4写出没有重复数字的两位数、三位数和四位数，一共可以写出多少个？

3. 六一班的图书角现在有6本科技书，有8本故事书，有3本词典，小刚想借其中的一本，一共可以有多少种不同的借法？

4.有6名学生和班主任老师照相留念，分成两排，前排3人，后排4人，班主任要站在前排中间。他们一共有多少种不同的排法？

5.有7名学生毕业前照相留念，分成两排，前排3人，后排4人，张刚说：“我不站在后排的边上。”。他们一共有多少种不同的排法？

6.有1克、2克、4克、8克、16克的砝码各一个，只选用其中的两个砝码，在天平上能称出多少种不同重量的物体？

奥赛训练
1..
.
.
.
.
.
.
.
.
.
一张纸上共画有10个点，其中有3个点在一条直线上，以这些点为三角形的顶点，一共可以画出多少个三角形？

2.有1分、2分、5分、1角、5角和1元的硬币各一枚，共可以组成多少种不同币值？

第十三讲 巧求面积
知识提要
1、掌握正方形、长方形、平行四边形、三角形、梯形这些直线形图形的特征：
a
h
a
b
h
a
a
h
a
b
a

2、理解和掌握正方形、长方形、平行四边形、三角形、梯形面积公式的推导过程：　
　　　 正方形面积=边长×边长=a2，
　　 长方形面积=长×宽=ab，
　　 平行四边形面积=底×高=ah，
三角形面积=底×高÷2=
梯形面积=（上底＋下底）×高÷2=
经典例题
例1算出下面每个图形中阴影部分的面积.（已知大正方形边长10厘米，小正方形边长6厘米）
图三
图二
图一
图二
图一

分析与解：
（6＋10）×6÷2 6×6÷2 （10＋6）×10÷2
=48（平方厘米） =18(平方厘米) =80（平方厘米）

例2 小两个正方形组成下图所示的组合图形。已知大正方形的边长10厘米，小正方形的边长6厘米，求阴影部分的面积。
分析与解：
方法1：
两个正方形的面积之和减去三角形ABD与三角形BEF的面积，就得到阴影部分的面积。
102+62－（10×10÷2）－（10+6）×6÷2=38（平方厘米）。
方法2：
添加辅助线GB，三角形BDG与三角形GBF的面积之和就等于阴影部分的面积。
（10-6）×10÷2＋6×6÷2=38（厘米2）
答：阴影部分的面积是38平方厘米。
例3 用四种不同的方法，把任意一个三角形分成四个面积相等的三角形．
分析与解：
方法1：如下图1，先将BC四等分，即BD=DE=EF=EC，连结AD、AE、AF得到四个等积三角形，即△ABD、△ADE、△AEF、△AFC。

方法2：如下图2，先将BC二等分，分点D、连结AD，得到两个等积三角形，即△ABD与△ADC等积．然后取AC、AB中点E、F，并连结DE、DF．以而得到四个等积三角形，即△ADF、△BDF、△DCE、△ADE等积．

F
E
D
C
B
A
E
F
D
C
B
A
F
E
D
C
B
A
方法3：如下图3，先将BC四等分，即BD等于四分之一BC，连结AD，再将AD三等分，即AE=EF=FD，连结CE、CF，从而得到四个等积三角形，即△ABD、△CDF、△CEF、△ACE等积．

图1 图2 图3　
想一想：你还有其他方法吗？
从上面例题得到下面结论：
①等底等高的两个三角形面积相等．
②底在同一条直线上并且相等，该底所对的角的顶点是同一个点或在与底平行的直线上，这两个三角形面积相等．
③若两个三角形的高（或底）相等，其中一个三角形的底（或高）是另一个三角形的几倍，那么这个三角形的面积也是另一个三角形面积的几倍．

例4 如右图，在梯形ABCD中，AC与BD是对角线，其交点O，求证：△AOB与△COD面积相等．
分析与解：　
证明：∵△ABC与△DBC等底等高，
　　∴S△ABC=S△DBC
　　又∵ S△AOB=S△ABC—S△BOC
　　 S△DOC=S△DBC—S△BOC
　　∴S△AOB=S△COD．
等量减等量所得的差相等。

例5一个三角形的底长5米，如果底延长1米，那么面积就增加1.5平方米，(如图)，那么原来三角形的面积是多少平方米?
分析与解：
方法1：
已知阴影三角形的面积和底，根据三角形面积公式就能求出三角形的高，也就是原三角形的高，又知道原三角形的底，从而求出原三角形的面积。
1．5×2÷1=3（米）
5×3÷2=7.5（平方米）
答：原来三角形的面积是7.5平方米。
方法2：
已知原三角形的底是阴影三角形的底的5倍，所以原三角形的面积就是阴影三角形面积的5倍。
1．5×5=7.5（平方米）
例6如右图，已知在△ABC中，BE=3AE，CD=2AD．若△ADE的面积为1平方厘米．求三角形ABC的面积．
分析与解：
方法1：连结BD，在△ABD中
　　∵ BE=3AE，
　　∴ S△ABD=4S△ADE=4（平方厘米）．
　　在△ABC中，∵CD=2AD，
　　∴ S△ABC=3S△ABD=3×4=12（平方厘米）．
方法2：连结CE，如右图所示，在△ACE中，
∵ CD=2AD，
　　∴ S△ACE=3S△ADE=3（平方厘米）．
　　在△ABC中，∵BE=3AE
　　∴ S△ABC=4S△ACE
　　 =4×3=12（平方厘米）．

例7 如右图，ABCD为平行四边形，EF平行AC，如果△ADE的面积为4平方厘米．求三角形CDF的面积
分析与解：　
解：连结AF、CE，∴S△ADE=S△ACE；S△CDF=S△ACF；
又∵AC与EF平行，∴S△ACE=S△ACF；
　　 ∴ S△ADE=S△CDF=4（平方厘米）

例8 如右图，在平行四边形ABCD中，直线CF交AB于E，交DA延长线于F，若S△ADE=1，求△BEF的面积．
分析与解：
解：连结AC，∵AB//CD，∴S△ADE=S△ACE
　　又∵AD//BC，∴S△ACF=S△ABF
　　而 S△ACF=S△ACE+S△AEF，S△ABF=S△BEF+S△AEF
　　∴ S△ACE=S△BEF ∴S△BEF=S△ADE=1．

基本训练
1．选择题（有且只有一个正确答案）：
（1）如下左图，在△ABC中，D是BC中点，E是AD中点，连结BE、CE，那么与△ABE等积的三角形一共有______个．
　 （A）0个 （B）1个
　　（C）2个 （D）3个 　

（2）如上右图，在平行四边形ABCD中，EF平行AC，连结BE、AE、CF、BF那么与△BEC等积的三角形一共有______个．
　　（A）0个 （B）1个
　　（C）2个 （D）3个

（3）如下左图，在梯形ABCD中，共有八个三角形，其中面积相等的三角形共有______对．
　　（A）0对 （B）1对
　　（C）2对 （D）3对

（4）如上右图，是一个长方形花坛，阴影部分是草地，空地是四块同样的菱形，那么草地与空地面积之比是______．
　　（A）1∶1 （B）1∶1.1
　　（C）1∶1.2 （D）1∶1.4

2．填空题：
（1）如下左图，A、B两点是长方形长和宽的中点，那么阴影部分面积占长方形面积的______．

（2）如上右图，平行四边形ABCD的面积是40平方厘米，图中阴影部分的面积是______．
（3）如下左图，正方形ABCD的面积为1平方厘米，S△BEG∶S△CEG=2∶1，S△CFG∶S△DFG=1∶1，那么这四个小三角形面积之和______．

（4）如上右图，在△ABC中，EF平行BC，AB=3AE，那么三角形甲、乙、丙面积的连比是______．

拓展提高
1.如图1，在边长为6厘米的正方形内有一个三角形BEF，已知线段AE=3厘米，DF=2厘米，求阴影部分的面积是多少？

2.左下图是一块长方形草地，长方形的长是160米，宽是102米。中间有两条道路，一条是长方形，一条是平行四边形，那么有草部分的面积等于多少平方米？

3.如图，梯形的下底为8厘米，高为4厘米。阴影部分面积是多少平方厘米？

A
G
E
D
C
B
F
4.如图，四边形ABCD是长方形，A、D、E、F在同一条直线上。AB＝7，BC＝5，DG＝3。求DE的长。

5.如图，正方形ABCD与长方形AEFG重叠放在一起，已知AB=4厘米，BE=3厘米，AE=5厘米。请你计算出长方形AEFG的面积。

A
E
C
D
B
6.如图，三角形ABC的面积是144平方厘米，BD＝18厘米，DC＝6厘米，AE＝10厘米，EC＝5厘米。求三角形ADE的面积。

奥赛训练
1.如右图，把四边形ABCD改成一个等积的三角形。

第十四讲 用等量代换求面积
知识提要
一个量可以用它的等量来代替；被减数和减数都增加（或减少）同一个数，它们的差不变。前者是等量公理，后者是减法的差不变性质。这两个性质在解几何题时有很重要的作用，它能将求一个图形的面积转化为求另一个图形的面积，或将两个图形的面积差转化为另两个图形的面积差，从而使隐蔽的关系明朗化，找到解题思路。
经典例题
例1两个相同的直角三角形如下图所示（单位：厘米）重叠在一起，求阴影部分的面积。
分析与解：
阴影部分是一个高为3厘米的直角梯形，然而它的上底与下底都不知道，因而不能直接求出它的面积。因为三角形ABC与三角形DEF完全相同，都减去三角形DOC后，根据差不变性质，差应相等，即阴影部分与直角梯形OEFC面积相等，所以求阴影部分的面积就转化为求直角梯形OEFC的面积。直角梯形OEFC的下底和高已知,所以求出上底即可。
上底OC：10-3=7（厘米），面积：（7+10）×2÷2=17（平方厘米）。
　　 答：阴影部分的面积是17平方厘米。

例2在右图中，平行四边形ABCD的边BC长10厘米，直角三角形ECB的直角边EC长8厘米。已知阴影部分的总面积比三角形EFG的面积大10厘米2，求平行四边形ABCD的面积。
分析与解：
因为阴影部分比三角形EFG的面积大10厘米2，都加上梯形FGCB后，根据差不变性质，所得的两个新图形的面积差不变，即平行四边行ABCD比直角三角形ECB的面积大10厘米2，所以平行四边形ABCD的面积等于：
　　10×8÷2+10=50（平方厘米）。
答： 平行四边形ABCD的面积是50平方厘米。

例3在下图中，AB=8厘米，CD=4厘米，BC=6厘米，三角形AFB比三角形EFD的面积大18厘米2。求ED的长。
分析与解：
求ED的长，需求出EC的长；求EC的长，需求出直角三角形ECB的面积。因为三角形AFB比三角形EFD的面积大18厘米2，这两个三角形都加上四边形FDCB后，其差不变，所以梯形ABCD比三角形ECB的面积大18厘米2。也就是说，只要求出梯形ABCD的面积，就能依次求出三角形ECB的面积和EC的长，从而求出ED的长。
　　梯形ABCD面积：（8+4）×6÷2=36（厘米2） 三角形ECB面积：36-18=18（厘米2）
　　EC：18×2÷6=6（厘米） ED：6-4=2（厘米） 答：ED长2厘米。
例4如下图，ABCD是7×4的长方形，DEFG是10×2的长方形，求三角形BCO与三角形EFO的面积之差。
分析与解：
直接求出三角形BCO与三角形EFO的面积之差，不太容易做到。如果利用差不变性质，将所求面积之差转化为另外两个图形的面积之差，而这两个图形的面积之差容易求出，那么问题就解决了。
方法1：连结B，E（见下左图）。三角形BCO与三角形EFO都加上三角形BEO，则原来的问题转化为求三角形BEC与三角形BEF的面积之差。
S△BEC：4×（10－7）÷2=6
S△BEF：2×（10－7）÷2=3 差：6－3=3

图1 图2 图3 图4
　 方法2：连结C，F（见上右图）。三角形BCO与三角形EFO都加上三角形CFO，则原来的问题转化为求三角形BCF与三角形ECF的面积之差。
S△BCF：4×（10－7）÷2=6
S△ECF：2×（10－7）÷2=3 差：6－3=3
方法3：延长BC交GF于H（见左下图）。三角形BCO与三角形EFO都加上梯形COFH，则原来的问题转化为求三角形BHF与矩形CEFH的面积之差。
S△BHF：（4+2）×（10－7）÷2=9
矩形：2×（10－7）=6 差：9－6=3
方法4：延长AB，FE交于H（见上右图）。三角形BCO与三角形EFO都加上梯形BHEO，则原来的问题转化为求矩形BHEC与直角三角形BHF的面积之差。
矩形：4×（10－7）=12
S△BHF：（10－7）×（4+2）÷2=9 差：12－9=3

例6左下图是由大、小两个正方形组成的，小正方形的边长是4厘米，求三角形ABC的面积。
分析与解：　
这道题似乎缺少大正方形的边长这个条件，实际上本题的结果与大正方形的边长没关系。连结AD（见上右图），可以看出，三角形ABD与三角形ACD的底都等于小正方形的边长，高都等于大正方形的边长，所以面积相等。因为三角形AFD是三角形ABD与三角形ACD的公共部分，所以去掉这个公共部分，根据差不变性质，剩下的两个部分，即三角形ABF与三角形FCD面积仍然相等。根据等量代换，求三角形ABC的面积等于求三角形BCD的面积。
4×4÷2=8（厘米2）答：三角形ABC的面积是8平方厘米。
基本训练
1.如右图（单位：厘米）是两个相同的直角梯形重叠在一起，
求阴影部分的面积。

2.在右图的三角形中，D，E分别是所在边的中点，求四边形ADFE的面积。

3.图中，矩形ABCD的边AB为4厘米，BC为6厘米， 三角形ABF比三角形EDF的面积大9厘米2，求ED的长。

4.如图中，CA=AB=4厘米，三角形ABE比三角形CDE的面积大2厘米2，求CD的长。

A
F
E
D
C
B
5.如图，平行四边形ABCD的面积是120平方厘米，BE＝3AE，BF＝2DF。求三角形DEF的面积。

拓展提高
A
O
D
C
B
1.如图，ABCD是梯形，对角线AC和BD相交于O，三角形ABD的面积是12平方厘米，三角形ADB的面积比三角形COD的面积少15平方厘米。求梯形ABCD的面积。

A
O
F
E
D
C
B
2.如图，四边形ABCD是边长12厘米的正方形，E、F分别 是BC和CD的中点，DE和BF相交于O。求四边形ABOD的面积。

奥赛训练
1.如图，△ABC中，AD：DB=2：1，BE：EC=3：1，CF：FA=4：1，那么△DEF是△ABC的面积的几分之几？
C
E
F
D
B
A

第十五讲 用长方形图巧解题
知识提要
用长方形图来表示数量关系，可以使抽象的数量更加形象、具体，可以帮助我们分析解答应用题，这一讲我们就来学习画长方形图解应用题的方法。

经典例题
1、用长方形图巧计算
例1计算：1999×2105-1993×2108
分析与解：
计算时如果硬算就会感到比较复杂，但如果我们把它放在一个长方形图中，就会使计算简便。

从图中可知：两个长方形的面积差就等于两个涂色部分的小长方形面积的差。
所以：1999×2105-1993×2108
=（1999-1993）×2105-（2108-2105）×1993
=6×2105-3×1993
=12630-5979
=6651

例2计算：
分析与解：
计算时可引用正方形图来分析：
=1-=

2、画长方形图解“平均数”问题
例3甲种糖每千克8.8元，乙种糖每千克7.2元，用5千克甲种糖与多少千克乙种糖混合后，能使混合糖每千克8.2元？
分析与解：
我们画两个长方形来表示甲、乙两种糖的数量、单价和总价。
在上图长方形ABED中，AB表示甲种糖有5千克，AD表示甲种糖的单价是8.8元，它的面积表示甲种糖的总价；长方形BCGF中，BC表示乙种糖的千克数，CG表示乙种糖每千克7.2元，它的面积表示乙种糖的总价。AH、CJ表示两种糖平均后单价8.2元。在平均过程中，甲种糖多出的价钱补给了乙种糖，所以长方形DEIH与IJGF的面积是相等的。
经过平均，甲种糖单价由8.8元变为8.2元降低了0.6元，所以长方形DEIH的宽是0.6，它的长是5，因此面积是3。
长方形IJGF的面积为3，宽为8.2－7.2=1，所以长BC为3÷1=3。
即5千克甲种糖与3千克乙种糖混合后，混合糖每千克8.2元。

例4某校有60名学生参加区里举行的数学竞赛，平均分是63分，其中参赛的男选手平均成绩为60分，女同学平均成绩为70分，那么该校参赛的男同学比女同学多多少人？
分析与解：
画长方形图来表示题目中的数量关系（如右图）。
长方形ABCD的长AB表示共有60人参赛，宽AD表示所有参赛同学的平均成绩63分，它的面积表示所有参赛选手的总分。长方形AEFG表示所有参赛女生的总分，长方形EBJI表示所有参赛男生的总分，这两个长方形的面积和应该也表示全体参赛同学的总分，即与长方形ABCD的面积相等。图中空白部分是它们公有的，所以阴影长方形（1）、（2）面积相等。
长方形（1）、（2）面积相等，它们宽GD：HI=（70－63）：（63－60）=7：3，它们长AE：EB=3：7，AB长为10份，10份为60人，每份为60÷10=6（人），男生比女生多7－3=4份，所以男生比女生多6×4=24（人）。
答：参赛的男同学比女同学多24人。

3、画长方形图解“盈亏问题”
例5数学奥林匹克学校招收了一批新生，准备把这批新生编成几个班。若每班55人，则还可以再招30名新生；若每班50人，则还可以再招10名新生。请问现在招了多少名新生？
分析与解：
若每班55人，则还可以再招30名新生，说明最后一个班只有55－30=25（人）。
若每班50人，则还可以再招10名新生，说明最后一个班只有50－10=40（人）。

如下图长方形ABEF来表示按每班50人，排满若干班的人数，而长方形BCDE表示剩下的40人，这两个长方形的面积之和表示这批新生的总人数；长方形ABHG表示按每班55人，排满若干班的人数，而长方形BEIJ表示剩下的25人，它们的面积之和也表示这批新生的总人数。因为新生的总人数是固定的，所以图中两个阴影长方形的面积相等。
长方形JCDI表示40－25=15（人）；
长方形FEHG也表示15人，它的宽为55－50=5（人），所以长为15÷5=3。
即可以排满共有3个班。
所以共有50×3＋40=190（人）。
答：现在招了190名新生。

例6解放军某部赶往长江干堤支援抗洪。计划每辆汽车乘30人，剩下3人随意搭乘在某辆车上。但由于另有紧急任务，调走了一辆汽车，这样只好改为每辆汽车乘坐34人，剩下5人随意搭乘在各辆车上。请问原来有多少辆汽车？共派出多少名解放军战士去抗洪？
分析与解：
画长方形图来表示数量之间的关系。图中长方形ADGJ的面积表示每车30人，坐满原有车的人数，DEFG表示剩下的3人，两个长方形的面积之和表示总人数；长方形ABLK的面积表示每车34人，坐满现有车的人数，BCHI表示剩下的5人，它们的面积之和也表示总人数；由于总人数没变，所以两个面积之和是相等的，除去它们共有的空白部分，两块阴影的面积也是相等的。
长方形BEFI的面积表示33人，从中减去5人，就是CEFH表示的人数为33－5=28（人）。长方形JILK的面积也表示28人，它的宽为34－30=4，长为28÷4=7。即表示有7辆汽车。
解放军战士有：34×7＋5=243（人） 答：共派出243名解放军战士。
4、画长方形图解“鸡兔同笼”问题
例7“希望小学”100名师生参加植树活动，共植树175棵，教师每人植4棵树，学生每两人植3棵树。参加植树的教师和学生各有多少人？
分析与解：
根据图意我们可以画长方形图来表示数量关系，如下图：AB表示教师人数，BC表示学生人数，AC表示一共有100人；AD表示教师每人植树4棵，CG表示学生每人植树棵数，因为每两人植3棵，所以每人植1.5棵；两个长方形的面积之和表示共植树175棵。

如图1，假设师、生每人都植树1.5棵，延长GF交AD边于H，，长方形ACGH的面积表示假设每人都植树1.5棵时，100人植树棵数。
长方形ACGH表示植树1.5×100=150（棵）
长方形DEFH表示教师多植树175－150=25（棵）
教师有25÷（4－1.5）=10（人） 学生有100－10=90（人）。

基本训练
1.计算：1234×5678－1233×5679

2.某班级一次考试的平均分是80分，其中及格人数是不及格人数的5倍，及格同学的平均分是85分，那么不及格同学的平均分是多少？

3.在一个停车场上，现有的车辆数恰好是24，其中汽车有4个轮子，摩托车有3个轮子，这些车共有86个轮子，那么，三轮摩托车有多少辆？

4.有一些糖，如果每人分5块则余10块；如果现有的人数增加到原来的1.5倍，那么每人分4块则少2块。这些糖共有多少块？

5.水果店运来橘子、苹果和梨一共80箱，共重1164千克。每箱橘子重12千克，每箱苹果重16千克，每箱梨重14千克，已知苹果和梨的箱数相同。运来橘子、苹果和梨各多少箱？

6.A、B两地相距650千米，某车从A第开往B地，共行了14小时。已知在平原上每小时行55千米，在山区每小时行40千米。汽车在平原和山区各行了几小时？

拓展提高
1.某校五年级举行英语竞赛，所有参赛同学的平均成绩是80分，已知男同学的平均成绩是77分，女同学的平均成绩是85分，已知参赛的男同学比女同学多25人，求该校五年级共有多少名学生参加了英语竞赛？

2.学校规定早晨7:30到校，小刚从家出来时，看看剩下的时间，心里计算了一下：若每分钟走60米，要迟到5分钟；若每分钟走90米，能提前5分钟。他想按时到校，请你帮他计算一下，每分钟要走多少米？

3.一只螃蟹有10只脚，蜻蜓有6只脚，2对翅膀；螳螂有6只脚，1对翅膀。现在有螃蟹、蜻蜓、螳螂共37只，合计有脚250只，翅膀32对。求螃蟹、蜻蜓、螳螂各有多少只？

奥赛训练
1.小明每天早晨6：50从家出