高一数学集合、函数的易错题型分析.doc

集合、函数易错点
1. 已知,则集合M与P的关系是 ( A )
A. M=P B. C . P D. P
2.已知由实数组成的集合A满足:若,则.
(1)设A中含有3个元素,且求A;
(2)A 能否是仅含一个元素的单元素集,试说明理由.
[解析]：（1） ,即,, ,
（2）假设A中仅含一个元素，不妨设为a, 则,又A中只有一个元素,
即,此方程即方程无实数根 不存在这样的a.

3.设，若，求a的值
[解析]：∵ ∴ BA , 由A={0，-4}，∴B=Φ，或B={0},或B={-4}，或B={0,-4}
(1)当B=Φ时，方程无实数根，则 △= ,解得 ；
(2)当B={0}时，方程有两等根均为0，则 , 解得 ；
(3)当B={-4}时，方程有两等根均为-4，则 无解；
(4)当B={0，-4}时，方程的两根分别为0，-4，则 解得
综上所述：

4、集合，则= （ C ）
A、 B、 C、 D、
[解析]：A=R，

5、已知集合，，则 （ C ）
A、 B、 C、 D、
[解析]：
6、已知集合M＝｛x|｝，N＝｛y|y＝3x2＋1，xÎR｝，则MÇN＝ （ C ）
A、Æ B、{x|x³1} C、｛x|x>1｝ D、{x| x³1或x<0}
[解析]：M＝｛x|x>1或x£0｝，N＝｛y|y³1｝故选C
7、已知集合的集合T= ( A )
A、 B、 C、 D、
[解析]：显然S=T，

易错点
1、忽略的存在：
例题1、已知A={x|}，B={x|}，若AB，求实数m的取值范围．
【错解】AB，解得：
【分析】忽略A=的情况.
【正解】（1）A≠时，AB，解得：；
（2）A= 时，，得.综上所述，m的取值范围是（,
2、分不清四种集合：、、、的区别.
例题2、已知函数，，那么集合中元素的个数为（ ） （A） 1 （B）0 （C）1或0 （D） 1或2
【错解】：不知题意，无从下手,蒙出答案D.
【分析】：集合的代表元，决定集合的意义，这是集合语言的特征.事实上，、、、分别表示函数定义域，值域，图象上的点的坐标，和不等式的解集.
【正解】：本题中集合的含义是两个图象的交点的个数.从函数值的唯一性可知，两个集合的交中至多有一个交点.即本题选C.
3、搞不清楚是否能取得边界值：
例题3、A={x|x<－2或x>10}，B={x|x<1－m或x>1＋m}且BA，求m的范围.
【错解】因为BA，所以：.
【分析】两个不等式中是否有等号，常常搞不清楚.【正解】因为BA，所以：.
4、不注意数形结合，导致解题错误.
例题4、曲线与直线有两个不同交点的充要条件是
【错解】误将半圆认为是圆.
【分析】利用“数形结合”易于找到正确的解题思路.【正解】可得正确答案为：

5、忽略函数具有奇偶性的必要条件是：定义域关于原点对称.
例题1、函数的奇偶性为
【错解】偶函数.【分析】判断函数的奇偶性不考虑函数的定义域是否关于原点对称而导致错误.
【正解】实际上，此函数的定义域为[－1，1），正确答案为：非奇非偶函数
6、缺乏利用函数的图象和性质解题的意识：
例题2、，若时，，则x1、x2满足的条件是 ；
【错解】不知如何下手，不会利用函数图象及单调性、奇偶性等性质去解题.
【分析】可以判断出f(x)是偶函数，且在上是增函数.
【正解】由f(x)在上的图象可知答案为.
7、指、对数函数的底数为字母时，缺乏分类讨论的意识：
例3、函数当时，则a的取值范围是…（ ）
（A）（B） （C） （D）
【错解】只想到一种情况，选D
【分析】指、对数函数的底数是字母而没分类讨论.【正解】正确答案为：C
8、不理解函数的定义：
例4、函数y=f(x)的图象与一条直线x=a有交点个数是……………………………（ ）
（A）至少有一个 （B） 至多有一个 （C）必有一个 （D） 有一个或两个
【错解】选A、C或D
【分析】不理解函数的定义（函数是从非空数集A到非空数集B的映射，故定义域内的一个x值只能对应一个y值）.【正解】正确答案为：B
变式、在同一坐标系内，函数的图象关于…………………（ ）
（A） 原点对称 （B）x轴对称 （C）y轴对称 （D） 直线y=x对称
【错解】没有思路.【分析】要知道两函数的图象关于y轴对称.
【正解】的图象由的图象向左平移1个单位而得到，＝ 的图象由的图象向右平移一个单位而得到.故选C.

综合训练题：
1、已知函数，，那么集合中元素的个数为（ ） A. 1 B. 0 C. 1或0 D. 1或2
2、已知函数的定义域为[0，1]，值域为[1，2]，则函数的定义域和值域分别是（ ）
A. [0，1] ，[1，2] B. [2，3] ，[3，4] C. [-2，-1] ，[1，2] D. [-1，2] ，[3，4]
3、已知0＜＜1，＜-1，则函数的图象必定不经过（ ）
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
4、将函数的图象向左平移一个单位得到图象，再将向上平移一个单位得图象，作出关于直线对称的图象，则对应的函数的解析式为（ ）
A. B. C. D.
5、已知函数在其定义域上单调递减，则函数的单调减区间是（ ）
A. B. C. D.
6、函数在下面的哪个区间上是增函数（ ）
A. B. C. D.
7、设，、，且＞，则下列结论必成立的是（ ）
A. ＞ B. +＞0 C. ＜ D. ＞
8、方程和的根分别是、，则有（ ）
A. ＜ B. ＞ C. = D. 无法确定与的大小
9、若、是关于的方程（）的两个实根，则的最大值等于（ ） A. 6 B. C. 18 D. 19
10、若与在上都是减函数，对函数的单调性描述正确的是（ ）
A. 在上是增函数 B. 在上是增函数
C. 在上是减函数 D. 在上是增函数，在上是减函数
11、已知奇函数在上单调递减，且，则不等式＞0的解集是（ ）
A. B. C. D.
12、不等式≤在上恒成立，则实数的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
13、方程至少有一个负的实根的充要条件是（ ）
A. 0<≤1 B. ＜1 C.≤1 D. 0<≤1或< 0
14、在同一坐标系中，函数与（>0且≠1）的图象可能是（ ）

（A） （B） （C） （D）
15、函数是上的奇函数，满足，当∈（0，3）时，则当
∈（，）时， =（ ）
A. B. C. D.
16、函数的图象关于原点中心对称，则
A. 在上为增函数 B. 在上为减函数
C. 在上为增函数，在上为减函数 D. 在上为增函数，在上为减函数

17、且＜0，则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
18、二次函数满足，又，，若在[0，]上有最大值3，最小值1，则的取值范围是（ ）
A. B. C. D. [2,4]
19“非空集合M的元素都是集合P的元素”是假命题，则以下四个命题：⑴M的元素都不是P的元素；⑵M中有不属于P元素；⑶M中有P的元素；⑷M的元素不都是P的元素，其中真命题的个数有（ ）
（A）1个 （B）2个 （C）3个 　 （D）4个
20、使不等式成立的充分而不必要的条件是（ ）
（A） （B） （C） （D）

二、填空题：
21、函数（＞-4）的值域是____________________
22、函数的值域是________________________.
23、函数的值域是_________________________.
24、若实数满足，则=__________.
25、设定义在区间上的函数是奇函数，则实数的值是_______________________.
26、函数（<-1）的反函数是_______.
27、函数在（1，+）上是增函数，则实数的取值范围是____________________.
28、已知集合，集合，若，则实数的取值范围是_______.
29、已知函数是定义在R上的偶函数，当＜0时， 是单调递增的，则不等式＞的解集是_________________.
30、已知对任意都有意义，则实数的取值范围是______________
31、函数的定义域为，值域为，则实数的取值范围是______________________.
32、函数的值域是______.
33、对于任意，函数表示，，中的较大者，则
的最小值是____________________________.
34、已知＞1，＞＞0，若方程的解是，则方程的解是_______.
35、已知函数（≠0）在区间上的最大值为1，则实数
的值是____或.

36、对于任意实数、，定义运算*为：*=，其中、、为常数，等式右边的运算是通常的加法和乘法运算，现已知1*2=3，2*3=4，并且有一个非零常数，使得对于任意实数，都有*=，则=____________.
37、已知函数的定义域为，则实数的取值范围是_____.
38、若函数（>0且≠1）的值域为，则实数的取值范围是_____.
39、若曲线与有且只有一个公共点，为坐标原点，则
的取值范围是________.
40、若定义在区间上的函数对上的任意个值，，…，，总满足≤，则称为上的凸函数.已知函数在区间上是“凸函数”，则在△中，的最大值是____________.
41、正实数x1，x2及函数，f (x)满足，则的最小值为 （ ） A．4 B． C．2 D．
42、已知函数，则“b > 2a”是“f (－2) < 0”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件　　　D．既不充分也不必要条件
43、一次研究性课堂上，老师给出函数，三位同学甲、乙、丙在研究此函数时分别给出命题：
甲：函数f (x)的值域为（－1，1）； 乙：若x1≠x2，则一定有f (x1)≠f (x2)；
丙：若规定对任意恒成立.
你认为上述三个命题中正确的个数有（ ）A．0个 B．1个 C．2个 D．3个

44、已知函数在区间上是增函数，则的取值范围是____；

45、直角坐标系中横坐标、纵坐标均为整数的点称为格点，如果函数f (x)的图象恰好通过k个
格点，则称函数f (x)为k阶格点函数.下列函数：①；②
③；④其中是一阶格点函数的有 .（填上
所有满足题意的序号）

46、已知二次函数为偶函数，函数f（x）的图象与直线y=x相切.
（1）求f（x）的解析式
（2）若函数上是单调减函数，求k的取值范围.
（1）∵f（x+1）为偶函数，∴恒成立，即（2a+b）x=0恒成立，∴2a+b=0∴b=－2a∴∵函数f（x）的图象与直线y=x相切，∴二次方程有两相等实数根，∴，
（2）∵，
，故k的取值范围为
48、定义在上的偶函数满足，且在上是减函数，若是锐角三角形的两个内角，则的大小关系为____ (答：)；
49、函数的图象与轴的交点个数有_______个(答：2)
50、如若函数是偶函数，则函数的对称轴方程是_____________(答：)．
51、已知函数过点作曲线的切线，求此切线的方程（答：或）。
52、已知函数在区间[－1,2 ]上是减函数，那么b＋c有最_____值_____答：大，）
53、函数处有极小值10，则a+b的值为____________（答：－7）
54、设集合，，，则________（答：）　
55、，如果，求的取值。（答：a≤0）
56、已知函数在区间上至少存在一个实数，使，求实数的取值范围。　（答：）
57、若函数的导函数为，则函数的单调递减区间是（C ）（A） （B） （C） （D）
58、定义在R上的函数，它同时满足具有下述性质：
①对任何
②对任何则 0 .
59、已知全集U=R，集合，则 （ ）
A． B． C．{（1，－2）} D．
60、若y＝3|x|(x∈[a，b])的值域为[1，9]，则a2＋b2－2a的取值范围是（　　）
A．[2，4]　 B．[4，16]　　C．[2，2]　　D．[4，12]
61、若函数内为增函数，则实数a的取值范围（A ）
A． B． C． D．
62、 (12分)设某物体一天中的温度T是时间t的函数，，其中温度的单位是，时间的单位是小时。t=0表示12:00, t取正值表示12:00点以后。若测得该物体在8:00的温度为8,12:00的温度为60,13:00的温度为58,且已知该物体的温度在8:00和16:00有相同的变化率。
（1）写出该物体的温度T关于时间t的函数关系式；
（2）该物体在10:00到14:00这段时间中（包括10:00,14:00）何时温度最高？并求出最高温度。
（1）依题意得
解得：a=1,b=0,c=－3,d=60 故T(t)=t3-3t+60
（2）=0,得：
比较T（－2）,T（－1）,T（1）,T（2）知，在10:00--14:00这段时间中，该物体在11:00和14:00的温度最高，且最高温度为62.
1
一 月
二 月
三 月
产品名称
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金额
利润
产品名称
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金额
利润
产品名称
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合 计

合 计

合 计

四 月
五 月
六 月
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金额
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合 计

合 计

合 计

下午13：00—17：00
B．实行不定时工作制的员工，在保证完成甲方工作任务情况下，经公司同意,可自行安排工作和休息时间。
3．1．2打卡制度
3.1.2.1公司实行上、下班指纹录入打卡制度。全体员工都必须自觉遵守工作时间，实行不定时工作制的员工不必打卡。
3.1.2.2打卡次数：一日两次，即早上上班打卡一次，下午下班打卡一次。
3.1.2.3打卡时间：打卡时间为上班到岗时间和下班离岗时间；
3.1.2.4因公外出不能打卡：因公外出不能打卡应填写《外勤登记表》,注明外出日期、事由、外勤起止时间。因公外出需事先申请，如因特殊情况不能事先申请，应在事毕到岗当日完成申请、审批手续，否则按旷工处理。因停电、卡钟（工卡）故障未打卡的员工，上班前、下班后要及时到部门考勤员处填写《未打卡补签申请表》，由直接主管签字证明当日的出勤状况，报部门经理、人力资源部批准后，月底由部门考勤员据此上报考勤。上述情况考勤由各部门或分公司和项目文员协助人力资源部进行管理。
3.1.2.5手工考勤制度
3.1.2.6手工考勤制申请：由于工作性质，员工无法正常打卡（如外围人员、出差），可由各部门提出人员名单，经主管副总批准后，报人力资源部审批备案。
3.1.2.7参与手工考勤的员工，需由其主管部门的部门考勤员(文员)或部门指定人员进行考勤管理，并于每月26日前向人力资源部递交考勤报表。
3.1.2.8参与手工考勤的员工如有请假情况发生，应遵守相关请、休假制度，如实填报相关表单。
3.1.2.9 外派员工在外派工作期间的考勤,需在外派公司打卡记录;如遇中途出差,持出差证明,出差期间的考勤在出差地所在公司打卡记录;
3.2加班管理
3.2.1定义
加班是指员工在节假日或公司规定的休息日仍照常工作的情况。
A．现场管理人员和劳务人员的加班应严格控制，各部门应按月工时标准，合理安排工作班次。部门经理要严格审批员工排班表，保证员工有效工时达到要求。凡是达到月工时标准的，应扣减员工本人的存休或工资；对超出月工时标准的，应说明理由，报主管副总和人力资源部审批。
B．因员工月薪工资中的补贴已包括延时工作补贴，所以延时工作在4小时（不含）以下的，不再另计加班工资。因工作需要，一般员工延时工作4小时至8小时可申报加班半天，超过8小时可申报加班1天。对主管(含)以上管理人员，一般情况下延时工作不计加班，因特殊情况经总经理以上领导批准的延时工作，可按以上标准计加班。
3.2.2.2员工加班应提前申请，事先填写《加班申请表》，因无法确定加班工时的，应在本次加班完成后3个工作日内补填《加班申请表》。《加班申请表》经部门经理同意，主管副总经理审核报总经理批准后有效。《加班申请表》必须事前当月内上报有效，如遇特殊情况，也必须在一周内上报至总经理批准。如未履行上述程序，视为乙方自愿加班。
3.2.2.3员工加班，也应按规定打卡，没有打卡记录的加班，公司不予承认；有打卡记录但无公司总经理批准的加班，公司不予承认加班。
3.2.2.4原则上，参加公司组织的各种培训、集体活动不计加班。
3.2.2.5加班工资的补偿：员工在排班休息日的加班，可以以倒休形式安排补休。原则上，员工加班以倒休形式补休的，公司将根据工作需要统一安排在春节前后补休。加班可按1：1的比例冲抵病、事假。
3.2.3加班的申请、审批、确认流程
3.2.3.1《加班申请表》在各部门文员处领取，加班统计周期为上月26日至本月25日。
3.2.3.2员工加班也要按规定打卡，没有打卡记录的加班，公司不予承认。各部门的考勤员(文员)负责《加班申请表》的保管及加班申报。员工加班应提前申请，事先填写《加班申请表》加班前到部门考勤员(文员)处领取《加班申请表》，《加班申请表》经项目管理中心或部门经理同意，主管副总审核，总经理签字批准后有效。填写并履行完审批手续后交由部门考勤员(文员)保管。
3.2.3.3部门考勤员（文员）负责检查、复核确认考勤记录的真实有效性并在每月27日汇总交人力资源部，逾期未交的加班记录公司不予承认。

下午13：00—17：00
度。全体员工都必须自觉遵守工作时间，实行不定时工作制的员工不必打卡。
3.1.2.2打卡次数：一日两次，即早上上班打卡一次，下午下班打卡一次。
3.1.2.3打卡时间：打卡时间为上班到岗时间和下班离岗时间；
3.1.2.4因公外出不能打卡：因公外出不能打卡应填写《外勤登记表》,注明外出日期、事由、外勤起止时间。因公外出需事先申请，如因特殊情况不能事先申请，应在事毕到岗当日完成申请、审批手续，否则按旷工处理。因停电、卡钟（工卡）故障未打卡的员工，上班前、下班后要及时到部门考勤员处填写《未打卡补签申请表》，由直接主管签字证明当日的出勤状况，报部门经理、人力资源部批准后，月底由部门考勤员据此上报考勤。上述情况考勤由各部门或分公司和项目文员协助人力资源部进行管理。
3.1.2.5手工考勤制度
3.1.2.6手工考勤制申请：由于工作性质，员工无法正常打卡（如外围人员、出差），可由各部门提出人员名单，经主管副总批准后，报人力资源部审批备案。
3.1.2.7参与手工考勤的员工，需由其主管部门的部门考勤员(文员)或部门指定人员进行考勤管理，并于每月26日前向人力资源部递交考勤报表。
3.1.2.8参与手工考勤的员工如有请假情况发生，应遵守相关请、休假制度，如实填报相关表单。
3.1.2.9 外派员工在外派工作期间的考勤,需在外派公司打卡记录;如遇中途出差,持出差证明,出差期间的考勤在出差地所在公司打卡记录;
3.2加班管理
3.2.1定义
加班是指员工在节假日或公司规定的休息日仍照常工作的情况。
A．现场管理人员和劳务人员的加班应严格控制，各部门应按月工时标准，合理安排工作班次。部门经理要严格审批员工排班表，保证员工有效工时达到要求。凡是达到月工时标准的，应扣减员工本人的存休或工资；对超出月工时标准的，应说明理由，报主管副总和人力资源部审批。
B．因员工月薪工资中的补贴已包括延时工作补贴，所以延时工作在4小时（不含）以下的，不再另计加班工资。因工作需要，一般员工延时工作4小时至8小时可申报加班半天，超过8小时可申报加班1天。对主管(含)以上管理人员，一般情况下延时工作不计加班，因特殊情况经总经理以上领导批准的延时工作，可按以上标准计加班。
3.2.2.2员工加班应提前申请，事先填写《加班申请表》，因无法确定加班工时的，应在本次加班完成后3个工作日内补填《加班申请表》。《加班申请表》经部门经理同意，主管副总经理审核报总经理批准后有效。《加班申请表》必须事前当月内上报有效，如遇特殊情况，也必须在一周内上报至总经理批准。如未履行上述程序，视为乙方自愿加班。
3.2.2.3员工加班，也应按规定打卡，没有打卡记录的加班，公司不予承认；有打卡记录但无公司总经理批准的加班，公司不予承认加班。
3.2.2.4原则上，参加公司组织的各种培训、集体活动不计加班。
3.2.2.5加班工资的补偿：员工在排班休息日的加班，可以以倒休形式安排补休。原则上，员工加班以倒休形式补休的，公司将根据工作需要统一安排在春节前后补休。加班可按1：1的比例冲抵病、事假。
3.2.3加班的申请、审批、确认流程
3.2.3.1《加班申请表》在各部门文员处领取，加班统计周期为上月26日至本月25日。
3.2.3.2员工加班也要按规定打卡，没有打卡记录的加班，公司不予承认。各部门的考勤员(文员)负责《加班申请表》的保管及加班申报。员工加班应提前申请，事先填写《加班申请表》加班前到部门考勤员(文员)处领取《加班申请表》，《加班申请表》经项目管理中心或部门经理同意，主管副总审核，总经理签字批准后有效。填写并履行完审批手续后交由部门考勤员(文员)保管。
3.2.3.3部门考勤员（文员）负责检查、复核确认考勤记录的真实有效性并在每月27日汇总交人力资源部，逾期未交的加班记录公司不予承认。

从群体上看，中专 毕业生的劣势是阅历较少、知识层次相对不高;优势是学校专业设置大多贴近市场实际、贴近一线需要，且中专毕业生年青、肯吃苦、可塑性强。从个体来说，每位毕业生的优势与长项又各不相同，如有相当一部分毕业生动手操作能力较好;有些学生非常上进，上学期间还同时参加了职业资格考试或自学考试。所以，在实事求是，不弄虚作假的前提下，要特别注意扬长避短，从而在竞争中取得优势，打动聘任者。没有重点和章法的写作易使文章显得头绪不清、条理紊乱。
非常热爱市场销售工作，有着十分饱满的创业激情。在××××两年从事现磨现煮的咖啡市场销售工作中积累了大量的实践经验和客户资源。与省内主要的二百多家咖啡店铺经销商建立了十分密切的联系，并在行业中拥有广泛的业务关系。在去年某省的咖啡博览会上为公司首次签定了海外的定单。能团结自己的同事一起取得优异的销售业绩。

合理分配自我介绍的时间前文说过，自我介绍一般也就持续1—3分钟，所以应聘者得合理分配时间。常规安排是：第一段用于表述个人基本情况，中段重点谈自己的工作经历或社会实践经验，最后展望下自己的职位理想。但如果自我介绍被要求在1分钟完成，应聘者就要有所侧重，突出最有料的一点。在实践中，有些应聘者试图在短短的时间内吐露自己的全部经历，而有些应聘者则是三言两语就完成了自我介绍，这些都是不明智的做法。

突出和应聘职位相关的信息自我介绍的内容不宜太多的停留在诸如姓名、教育经历等部分上，因为面试官可以在应聘者的简历上一目了然地看到这些内容。应聘者应该在自我介绍时选择一至两项跟自己所应聘的职位相关的经历和成绩作简述，以证明自己确实有能力胜任所应聘的工作职位。一个让人更有机会在面试中出彩的方法是在做一段自我介绍后适当停顿。比如在“我曾在大学期间组织过有2000人参与的大型校园活动”之后的停顿可能会引导面试官去问“那是什么样的活动呢？”，这样做的目的是为面试的深入打下基础。

一切以事实说话在证明自己确实有能力胜任所 应聘的工作职位时，应聘者可以使用一些小技巧，如介绍自己做过的项目或参与过的活动来验证某种能力，也可以适当地引用老师、同学、同事等第三方的言论来支持自己的描述。而这一切的前提是以事实为基础，因为自吹自擂一般是很难逃过面试官的眼睛的，一旦被发现掺假，基本预示着应聘者将被无情“秒杀”。2×××年5月—至今： 担任某咖啡茶品配送服务部的市场部业务员。主要负责与经销商签定经销合同、办理产品的包装、运输、保险、货款结算、售后产品跟踪、市场反馈以及开拓新的销售渠道等。负责公司新业务员的培训，在实际工作中具体指导和协调业务员的销售工作，并多次受到公司的表扬。

一叶落便知秋意浓，即使江南的绿色褪色之期晚了几许，南飞的大雁也会在天空一会儿排成一字，一会儿排成人字，秋天真的来了，中秋真的来了，国庆真的来了。

　　秋天，是一个丰硕的季节，它孕育着收获。

　　节日，是一个相聚的守候，它意味着团圆。

　　在这个萧瑟的天空下，节日只会提醒游子该回家了，看看久别的故土，看看年迈的父母，看看自己的过往；但是现实的境遇却让我们无法脱身，我们只能思念、感叹，每逢佳节倍思亲。

　　年年岁岁花相似，岁岁年年人不同。转眼，我们已经长大，离开了父母亲人，离开了学校师生，离开了书生意气的轻狂，开始学会一个人的生活，向大人的方向一步步的跟进。岁月在流逝，阅历随之增长，思乡之情越发疯狂的蔓延，就连睡梦呓语都是方言的味道。看的故事多了，心中对母爱、对父爱、对乡情有了更为独特的情愫，每逢佳节便撩动我多愁善感的心，思亲之情犹如海浪澎湃着我难以平静。

　　慈母手中线，游子身上衣。多少年过去了，我一直穿着母亲手工制作的鞋垫，从春花到秋实，从寒来至暑往，走完四季的轮回；从儿时母亲手工做的棉鞋到现在自己买的运动鞋，鞋垫陪我走完了懵懂的青春。去年的一天，母亲打电话问我穿多大的鞋，她说再给我做十双。我疑惑的问母亲为什么要做那么多，我穿不完。母亲说她眼睛看不清楚了，这是最后一次给我做鞋垫了，多做几双，多穿几年。听到这里我不禁留下了眼泪，瞬间感觉母亲已经老了，而我却远在千里之外不能尽孝。月有阴晴圆缺，人有悲欢离合，家乡发生了很多的事，电话成了我与亲人的寄托，虽然电话中父母的声音没有太大的变化，但是我脑中总会浮现他们日益憔悴的容颜。