浙江省湖州市2015年中考数学试卷及答案(Word版).doc

浙江省湖州市2015年中考数学试卷

一、选择题(本题有10个小题，每小题3分，共30分)
1.−5的绝对值是( )
A. −5 　 B. 5 　　　　　C. − D.
【答案】B.

考点：绝对值的意义.
2.当x=1时，代数式4−3x的值是( )
A. 1 　　 B. 2 　　　 C. 3 　　　　　　　D. 4
【答案】A.
【解析】
试题分析：把x=1代入代数式4−3x即可得原式=4-3=1.故答案选A.
考点：代数式求值.
3.4的算术平方根是( )
A. ±2 　　　B. 2 C. −2 　　　　　D.
【答案】B.
【解析】
试题分析：因，根据算术平方根的定义即可得4的算术平方根是2.故答案选B.
考点：算术平方根的定义.
4.若一个圆锥的侧面展开图是半径为18cm，圆心角为240°的扇形，则这个圆锥的底面半径长是( )
A. 6cm B. 9cm 　　　C. 12cm D. 18cm
【答案】C.
考点：弧长公式；圆锥底面圆的周长等于侧面展开扇形的弧长.
5.已知一组数据的方差是3，则这组数据的标准差是( )
A. 9 B. 3 　　 C. 　　　D.
【答案】D.
【解析】
试题分析：根据标准差的平方就是方差可得这组数据的标准差是.故答案选D.
考点：标准差的定义.
6.如图，已知在△ABC中，CD是AB边上的高线，BE平分∠ABC，交CD于点E，BC=5，DE=2，则△BCE的面积等于( )
A. 10　　　 B. 7 　　　　　C. 5 　　　　　D. 4

【答案】C.
考点：角平分线的性质；三角形的面积公式.
7.一个布袋内只装有1个黑球和2个白球，这些球除颜色外其余都相同，随机摸出一个球后放回搅匀，再随机摸出一个球，则两次摸出的球都是黑球的概率是( )
A. 　　B. 　　　C. 　　　　　 D.
【答案】D.
【解析】
试题分析：列表如下

黑
白1
白2
黑
（黑，黑）
（白1，黑）
（白2，黑）
白1
（黑，白1）
（白1，白1）
（白2，白1）
白2
（黑，白2）
（白1，白2）
（白2，白2）
由表格可知，随机摸出一个球后放回搅匀，再随机摸出一个球所以的结果有9种，两次摸出的球都是黑球的结果有1种，所以两次摸出的球都是黑球的概率是.故答案选D.
考点：用列表法求概率.
8.如图，以点O为圆心的两个圆中，大圆的弦AB切小圆于点C，OA交小圆于点D，若OD=2，tan∠OAB=，则AB的长是( )
A. 4　　　 B. 2　　　 C. 8 　　　D. 4

【答案】C.

考点：切线的性质定理；锐角三角函数；垂径定理.
9.如图，AC是矩形ABCD的对角线，⊙O是△ABC的内切圆，现将矩形ABCD按如图所示的方式折叠，使点D与点O重合，折痕为FG，点F，G分别在AD，BC上，连结OG，DG，若OG⊥DG，且☉O的半径长为1，则下列结论不成立的是( )
A. CD+DF=4 B. CD−DF=2−3 C. BC+AB=2+4 D. BC−AB=2

【答案】A.
【解析】
试题分析：如图，设⊙O与BC的切点为M,连接MO并延长MO交AD于点N,利用“AAS”易证△OMG≌△GCD,所以OM=GC=1, CD=GM=BC-BM-GC=BC-2.又因AB=CD,所以可得BC−AB=2.设AB=a，BC=b,AC=c, ⊙O的半径为r，⊙O是Rt△ABC的内切圆可得r=（a+b-c），所以c=a+b-2. 在Rt△ABC中，由勾股定理可得，整理得2ab-4a-4b+4=0，又因BC−AB=2即b=2+a，代入可得2a（2+a）-4a-4（2+a）+4=0，解得，所以，即可得BC+AB=2+4. 再设DF=x，在Rt△ONF中,FN=，OF=x，ON=,由勾股定理可得，解得，所以CD−DF=，CD+DF=.综上只有选项A错误，故答案选A.

考点：矩形的性质；直角三角形内切圆的半径与三边的关系；折叠的性质；勾股定理；
10.如图，已知在平面直角坐标系xOy中，O是坐标原点，点A是函数y= (x<0)图象上一点，AO的延长线交函数y= (x>0，k是不等于0的常数)的图象于点C，点A关于y轴的对称点为A′，点C关于x轴的对称点为C′，连接CC′，交x轴于点B，连结AB，AA′，A′C′，若△ABC的面积等于6，则由线段AC，CC′，C′A′，A′A所围成的图形的面积等于( )
A. 8 　　　　B. 10 　　　　C. 3 　　　　D. 4
【答案】B.
【解析】
试题分析：如图，连接O A′,由点A和点A′关于y轴的对称可得∠AOM=∠A′OM，又因∠AOM+∠BOC=90°, ∠A′OM +∠A′OB=90°,根据等角的余角相等可得∠BOC= A′OB；又因点C与点C′关于x轴的对称，所以点A、A′、C′三点在同一直线上.设点A的坐标为（m，），直线AC经过点A，可求的直线AC的表达式为.直线AC与函数y=一个交点为点C,则可求得点C的坐标当k＜0时为（mk，），当k＞0时为（-mk，）,根据△ABC的面积等于6可得，解得.或，解得，所以y=.根据反比例函数比例系数k的几何意义和轴对称的性质可得△AO A′的面积为1，△CO C′的面积为9，所以线段AC，CC′，C′A′，A′A所围成的图形的面积等于△AO A′的面积+△CO C′的面积，即线段AC，CC′，C′A′，A′A所围成的图形的面积等于10，故答案选B.

考点：反比例函数与一次函数的综合题；反比例函数与一次函数的交点坐标；反比例函数比例系数k的几何意义和轴对称的性质.
二、填空题(本题有6小题，每小题4分，共24分)
11.计算：23×()2=_______________________________
【答案】2.

考点：有理数的运算.
12.放学后，小明骑车回家，他经过的路程s(千米)与所用时间t(分钟)的函数关系如图所示，则小明的骑车速度是_________________________千米/分钟.

【答案】0.2千米/分钟.
【解析】
试题分析：由图象可得，小明10分钟走了2千米路程，根据速度等于路程除以时间即可计算出小明的骑车速度.
考点：函数图象.
12.在“争创美丽校园，争做文明学生”示范校评比活动中，10位评委给某校的评分情况如下表所示：
评分(分)
80
85
90
95
评委人数
1
2
5
2
则这10位评委评分的平均数是_________________________分

【答案】89.
考点：平均数的计算方法.
14.如图，已知C，D是以AB为直径的半圆周上的两点，O是圆心，半径OA=2，∠COD=120°，则图中阴影部分的面积等于_____________________.

【答案】.
【解析】
试题分析：由题意可知，∠AOC+∠BOD=180°—120°=60°，图中阴影部分的面积等于.
考点：扇形的面积公式.
15.如图，已知抛物线C1：y=a1x2+b1x+c1和C2：y=a2x2+b2x+c2都经过原点，顶点分别为A，B，与x轴的另一个交点分别为M、N，如果点A与点B，点M与点N都关于原点O成中心对称，则抛物线C1和C2为姐妹抛物线，请你写出一对姐妹抛物线C1和C2，使四边形ANBM恰好是矩形，你所写的一对抛物线解析式是_______________________和_________________________

【答案】,(答案不唯一，只要符合条件即可).
【解析】
试题分析：因点A与点B，点M与点N都关于原点O成中心对称，所以把抛物线C2看成抛物线C1以点O为旋转中心旋转180°得到的，由此即可知a1，a2互为相反数，抛物线C1和C2的对称轴直线关于y轴对称，由此可得出b1=b2. 抛物线C1和C2都经过原点，可得c1=c2，设点A(m，n)，由题意可知B（-m，-n），由勾股定理可得.由图象可知MN=︱4m︱，又因四边形ANBM是矩形，所以AB=MN,即，解得，设抛物线的表达式为，任意确定m的一个值，根据确定n的值，抛物线过原点代入即可求得表达式，然后在确定另一个表达式即可.l例如，当m=1时，n=，抛物线的表达式为，把x=0，y=0代入解得a=，即，所以另一条抛物线的表达式为.
考点：旋转、矩形、二次函数综合题.
16.已知正方形ABC1D1的边长为1，延长C1D1到A1，以A1C1为边向右作正方形A1C1C2D2，延长C2D2到A2，以A2C2为边向右作正方形A2C2C3D3(如图所示)，以此类推…，若A1C1=2，且点A，D2， D3，…，D10都在同一直线上，则正方形A9C9C10D10的边长是__________________________

【答案】.
考点：正方形的性质；相似三角形的判定及性质；规律探究题.
三、简答题(本题有8小题，共66分)
17.(6分)计算：
【答案】a+b.

考点：分式的运算.
18. (6分)解不等式组
【答案】.
【解析】
试题分析：分别求出这两个不等式的解集，这两个不等式的解集的公共部分即为不等式组的解集.
试题解析：
解不等式（1）得，x＜6，
解不等式（2）得，x＞1
∴不等式组的解集是.
考点：一元一次不等式组的解法.
19. (6分)已知y是x的一次函数，当x=3时，y=1；当x=−2时，y=−4，求这个一次函数的解析式.
【答案】y=x—2.
考点：用待定系数法求函数解析式.
20.(8分)如图，已知BC是⊙O的直径，AC切⊙O于点C，AB交⊙O于点D，E为AC的中点，连结DE.
(1)若AD=DB，OC=5，求切线AC的长.
(2)求证：ED是⊙O的切线.

【答案】（1）AC=10；（2）详见解析.
试题解析：

（1）连接CD,
∵BC是⊙O的直径，
∴∠BDC=90°,即CD⊥AB,
∵AD=DB
∴AC=BC=2OC=10.
(2)连接OD,
∵∠ADC=90°,E为AC的中点，
∴DE=EC=AC, ∴∠1=∠2,
∵OD=OC, ∠3=∠4,
∵AC切⊙O于点C，∴AC⊥OC.
∴∠1+∠3=∠2+∠4,即DE⊥OD,
∴DE是⊙O的切线.
考点：圆周角定理的推论；切线的性质定理；切线的判定定理.
21.(8分)为了深化课程改革，某校积极开展校本课程建设，计划成立“文学鉴赏”、“科学实验”、“音乐舞蹈”和“手工编织”等多个社团，要求每位学生都自主选择其中一个社团，为此，随机调查了本校各年级部分学生选择社团的意向，并将调查结果绘制成如下统计图表(不完整)：
某校被调查学生选择社团意向统计表
选择意向
文学鉴赏
科学实验
音乐舞蹈
手工编织
其他
所占百分比
a
35%
b
10%
c
根据统计图表中的信息，解答下列问题：
(1)求本次调查的学生总人数及a，b，c的值.
(2)将条形统计图补充完整(温馨提示：请画在答题卷相对应的图上).
(3)若该校共有1200名学生，试估计全校选择“科学实验”社团的学生人数.

【答案】（1）200人，a=30%，b=20%，c=5%；（2）图见解析；（3）420人.
(2)补全统计图如图所示；

（3）全校选择“科学实验”社团的学生人数约为1200×35%=420(人).
考点：条形统计图；用样本估计总体.
22.(10分)某工厂计划在规定时间内生产24000个零件，若每天比原计划多生产30个零件，则在规定时间内可以多生产300个零件.
(1)求原计划每天生产的零件个数和规定的天数.
(2)为了提前完成生产任务，工厂在安排原有工人按原计划正常生产的同时，引进5组机器人生产流水线共同参与零件生产，已知每组机器人生产流水线每天生产零件的个数比20个工人原计划每天生产的零件总数还多20%，按此测算，恰好提前两天完成24000个零件的生产任务，求原计划安排的工人人数.
【答案】(1) 原计划每天生产零件2400个，规定的天数是10天；(2)原计划安排的工人人数为480人.
【解析】
试题分析：（1）设原计划每天生产零件x个，根据相等关系“原计划生产24000个零件所用时间=实际生产（24000+300）个零件所用的时间”可列方程，解出x即为原计划每天生产的零件个数，再代入即可求得规定天数；（2）设原计划安排的工人人数为y人，根据“（5组机器人生产流水线每天生产的零件个数+原计划每天生产的零件个数）×（规定天数-2）=零件总数24000个”可列方程[5×20×（1+20%）×+2400] ×(10-2)=24000，解得y的值即为原计划安排的工人人数.
试题解析：(1)解：设原计划每天生产零件x个，由题意得，
，
解得x=2400，
经检验，x=2400是原方程的根，且符合题意.
∴规定的天数为24000÷2400=10（天）.
答：原计划每天生产零件2400个，规定的天数是10天.

考点：分式方程的应用.

23 (10分)问题背景：已知在△ABC中，AB边上的动点D由A向B运动(与A，B不重合)，点E与点D同时出发，由点C沿BC的延长线方向运动(E不与C重合)，连结DE交AC于点F，点H是线段AF上一点
(1)初步尝试：如图1，若△ABC是等边三角形，DH⊥AC，且点D，E的运动速度相等，求证：HF=AH+CF
小王同学发现可以由以下两种思路解决此问题：
思路一：过点D作DG∥BC，交AC于点G，先证GH=AH，再证GF=CF，从而证得结论成立.
思路二：过点E作EM⊥AC，交AC的延长线于点M，先证CM=AH，再证HF=MF，从而证得结论成立.
请你任选一种思路，完整地书写本小题的证明过程(如用两种方法作答，则以第一种方法评分)
(2)类比探究：如图2，若在△ABC中，∠ABC=90°，∠ADH=∠BAC=30°，且点D，E的运动速度之比是：1，求的值.
(3)延伸拓展：如图3，若在△ABC中，AB=AC，∠ADH=∠BAC=36°，记=m，且点D、E的运动速度相等，试用含m的代数式表示 (直接写出结果，不必写解答过程).

【答案】（1）详见解析；（2）=2 ；(3) .
【解析】
试题分析：（1）（选择思路一）：过点D作DG∥BC，交AC于点G，如图1，易证△ADG是等边三角形，根据等边三角形的性质可得GD=AD=CE，GH=AH,再由平行线的性质可得∠GDF=∠CEF, ∠DGF=∠ECF,又因GD=AD=CE,根据“ASA”可证△GDF≌△CEF，由全等三角形的对应边相等可得GF=CF，所以GH+GF=AH+CF,即HF=AH+CF. （选择思路二）：过点E作EM⊥AC，交AC的延长线于点M，如图1，先证△ADH≌△CEM，由全等三角形的对应边相等可得AH=CM,DH=EM, 又因∠DHF=∠EMF=90°, ∠DFH=∠EFM,所以△DFH≌△EFM,即可得HF=MF=CM+CF=AH+CF.（2）)过点D作DG∥BC，交AC于点G，如图2, 可证AD=GD, 由题意可知，AD=CE,所以GD=CE,再证△GDF≌△CEF，由全等三角形的对应边相等可得GF=CF,所以 GH+GF=AH+CF,即HF=AH+CF,即可得=2.（3）过点D作DG∥BC，交AC于点G，如图3,可得AD=AG,DH=DG,AD=EC,所以，又因DG∥BC，可得，所以
由比例的性质可得，即,所以.
试题解析：(1)证明：方法一（选择思路一），
过点D作DG∥BC，交AC于点G，如图1，
∵△ABC是等边三角形，
∴∠ADG=∠B=60°, ∠A=60°,
∴△ADG是等边三角形，
∴GD=AD=CE,
∵DH⊥AC,GH=AH,
∵DG∥BC, ∴∠GDF=∠CEF, ∠DGF=∠ECF,
∴△GDF≌△CEF, ∴GF=CF,
∴GH+GF=AH+CF,即HF=AH+CF.

(2)过点D作DG∥BC，交AC于点G，如图2,
则∠ADG=∠B=90°,
∵∠BAC=∠ADH=30°,
∴∠HGD=∠HDG=60°,
∴AH=GH=GD,AD=GD,
由题意可知，AD=CE,
∴GD=CE,
∵DG∥BC, ∴∠GDF=∠CEF,∠DGF=∠ECF,
∴△GDF≌△CEF, ∴GF=CF,
∴GH+GF=AH+CF,即HF=AH+CF,
∴=2.
(3) .

考点：等边三角形的判定及性质；全等三角形的判定及性质；平行线的性质；比例的性质.
24.面直角坐标系xOy中，O为坐标原点，线段AB的两个端点A(0，2)，B(1，0)分别在y轴和x轴的正半轴上，点C为线段AB的中点，现将线段BA绕点B按顺时针方向旋转90°得到线段BD，抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)经过点D.
(1)如图1，若该抛物线经过原点O，且a=.
①求点D的坐标及该抛物线的解析式.
②连结CD，问：在抛物线上是否存在点P，使得∠POB与∠BCD互余？若存在，请求出所有满足条件的点P的坐标，若不存在，请说明理由.
(2)如图2，若该抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)经过点E(1，1)，点Q在抛物线上，且满足∠QOB与∠BCD互余，若符合条件的Q点的个数是4个，请直接写出a的取值范围.

【答案】(1) ①D（3，1），；②在抛物线上存在点,使得∠POB与∠BCD互余.（2）a的取值范围是.
【解析】
试题分析：(1) ①过点D作DF⊥x轴于点F,可证△AOB≌△BFD，即可求得D点的坐标，把a=，点D的坐标代入抛物线即可求抛物线的解析式. ②由C、D两点的纵坐标都为1可知CD∥x轴，所以∠BCD=∠ABO,又因∠BAO与∠BCD互余，若要使得∠POB与∠BCD互余，则需满足∠POB=∠BAO, 设点P的坐标为（x，）.分两种情况：第一种情况，当点P在x轴上方时，过点P作PG⊥x轴于点G,由tan∠POB=tan∠BAO=可得，解得x的值后代入求得的值即可得点P的坐标. 第一种情况，当点P在x轴下方时，利用同样的方法可求点P的坐标.（2）抛物线y=ax2+bx+c过点E、D，代入可得，解得，所以，分两种情况：
①当抛物线y=ax2+bx+c开口向下时，满足∠QOB与∠BCD互余且符合条件的Q点的个数是4个，点Q在x轴的上、下方各有两个，点Q在x轴的上方时，直线OQ与抛物线y=ax2+bx+c有两个交点，抛物线y=ax2+bx+c与x轴的交点必须在x轴的正半轴上，与y轴的交点在y轴的负半轴，所以3a+1＜0，解得a＜，当a＜符合条件的点Q有两个, 点Q在x轴的上方时，直线OQ与抛物线y=ax2+bx+c有两个交点，符合条件的点Q有两个.所以当a＜，抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)经过点E(1，1)，点Q在抛物线上，且满足∠QOB与∠BCD互余，若符合条件的Q点的个数是4个；②当抛物线y=ax2+bx+c开口向上时，满足∠QOB与∠BCD互余且符合条件的Q点的个数是4个，点Q在x轴的上、下方各有两个，当点Q在x轴的上方时，直线OQ与抛物线y=ax2+bx+c有两个交点，符合条件的点Q有两个. 当点Q在x轴的下方时，直线OQ必须与抛物线y=ax2+bx+c有两个交点，符合条件的点Q才有两个.由题意可求的直线OQ的解析式为，直线OQ与抛物线y=ax2+bx+c由两个交点，所以，方程有两个不相等的实数根所以△=，即，画出二次函数图象并观察可得的解集为或（不合题意舍去），所以当，在x轴的下方符合条件的点Q有两个.所以当，抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)经过点E(1，1)，点Q在抛物线上，且满足∠QOB与∠BCD互余，若符合条件的Q点的个数是4个.
综上，当a＜或时，抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)经过点E(1，1)，点Q在抛物线上，且满足∠QOB与∠BCD互余，符合条件的Q点的个数是4个.
试题解析：解：(1) ①过点D作DF⊥x轴于点F,如图所示.
∵∠DBF+∠ABO=90°,
∠BAO+∠ABO=90°,
∴∠DBF=∠BAO,
又∵∠AOB=∠BFD=90°,AB=BD,
∴△AOB≌△BFD,
∴DF=BO=1,BF=AO=2,
∴D点的坐标是（3，1），
根据题意得，，
∴，∴该抛物线的解析式为.

（Ⅰ）当点P在x轴的上方时，过点P作PG⊥x轴于点G,
则tan∠POB=tan∠BAO，即,
∴，解得，
∴，
∴点P的坐标是.

(2)a的取值范围是.
考点：二次函数综合题.

试题和解析 均来源网络 仅供参考