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初中数学二次函数做题技巧
I.定义与定义表达式 一般地，自变量x和因变量y之间存在如下关系： 
y=ax^2+bx+c（a，b，c为常数，a≠0，且a决定函数的开口方向，a>0时，开口方向向上，a<0时，开口方向向下,IaI还可以决定开口大小,IaI越大开口就越小,IaI越小开口就越大.）则称y为x的二次函数。二次函数表达式的右边通常为二次三项式。
  II.二次函数的三种表达式一般式：y=ax^2;+bx+c（a，b，c为常数，a≠0）顶点式：y=a(x-h)^2;+k [抛物线的顶点P（h，k）] 交点式：y=a(x-x1)(x-x2) [仅限于与x轴有交点A（x1，0）和 B（x2，0）的抛物线] 注：在3种形式的互相转化中，有如下关系: h=-b/2a k=(4ac-b^2;)/4a x1,x2=(-b±√b^2;-4ac)/2a
  III.二次函数的图像在平面直角坐标系中作出二次函数y=x²的图像，可以看出，二次函数的图像是一条抛物线。 
 IV.抛物线的性质 
 1.抛物线是轴对称图形。对称轴为直线 x = -b/2a。对称轴与抛物线唯一的交点为抛物线的顶点P。特别地，当b=0时，抛物线的对称轴是y轴（即直线x=0） 
 2.抛物线有一个顶点P，坐标为 P [ -b/2a ，(4ac-b^2;)/4a ]。当-b/2a=0时，P在y轴上；当Δ= b^2-4ac=0时，P在x轴上。 
 3.二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小。当a＞0时，抛物线向上开口；当a＜0时，抛物线向下开口。 |a|越大，则抛物线的开口越小。
 4.一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置。当a与b同号时（即ab＞0），对称轴在y轴左；当a与b异号时（即ab＜0），对称轴在y轴右。
 5.常数项c决定抛物线与y轴交点。 抛物线与y轴交于（0，c）
 6.抛物线与x轴交点个数 Δ= b^2-4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点。 Δ= b^2-4ac=0时，抛物线与x轴有1个交点。 Δ= b^2-4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点。 
 V.二次函数与一元二次方程特别地，二次函数（以下称函数）y=ax^2;+bx+c，当y=0时，二次函数为关于x的一元二次方程（以下称方程），即ax^2;+bx+c=0 此时，函数图像与x轴有无交点即方程有无实数根。函数与x轴交点的横坐标即为方程的根。
 画抛物线y＝ax2时，应先列表，再描点，最后连线。列表选取自变量x值时常以0为中心，选取便于计算、描点的整数值，描点连线时一定要用光滑曲线连接，并注意变化趋势。
  二次函数解析式的几种形式 
 (1)一般式：y＝ax2+bx+c (a,b,c为常数，a≠0).
 (2)顶点式：y＝a(x-h)2+k(a,h,k为常数，a≠0). 
 (3)两根式：y＝a(x-x1)(x-x2)，其中x1,x2是抛物线与x轴的交点的横坐标，即一元二次方程ax2+bx+c＝0的两个根，a≠0. 
 说明：(1)任何一个二次函数通过配方都可以化为顶点式y＝a(x-h)2+k，抛物线的顶点坐标是(h,k)，h＝0时，抛物线y＝ax2+k的顶点在y轴上；当k＝0时，抛物线a(x-h)2的顶点在x轴上；当h＝0且k＝0时，抛物线y＝ax2的顶点在原点如果图像经过原点，并且对称轴是y轴，则设y=ax^
2；如果对称轴是y轴，但不过原点，则设y=ax^2+k 定义与定义表达式 一般地，自变量x和因变量y之间存在如下关系： y=ax^2+bx+c （a，b，c为常数，a≠0，且a决定函数的开口方向，a>0时，开口方向向上，a<0时，开口方向向下。IaI还可以决定开口大小,IaI越大开口就越小,IaI越小开口就越大。）则称y为x的二次函数。二次函数表达式的右边通常为二次三项式。 x是自变量，y是x的函数 
  二次函数的三种表达式
 ①一般式：y=ax^2+bx+c(a,b,c为常数,a≠0) 
 ②顶点式[抛物线的顶点 P(h，k) ]：y=a(x-h)^2+k 
③交点式[仅限于与x轴有交点 A(x1,0) 和 B(x2,0) 的抛物线]：y=a(x-x1)(x-x2) 
以上3种形式可进行如下转化：
 ①一般式和顶点式的关系对于二次函数y=ax^2+bx+c，其顶点坐标为(-b/2a,(4ac-b^2)/4a)，即 h=-b/2a=(x1+x2)/2 k=(4ac-b^2)/4a 
 ②一般式和交点式的关系 x1,x2=[-b±√(b^2-4ac)]/2a(即一元二次方程求根公式)

中考数学精选例题解析：一次函数（1）
知识考点：
掌握二次函数的图像和性质以及抛物线的平移规律；会确定抛物线的顶点坐标、对称轴及最值等。
精典例题：
【例1】二次函数的图像如图所示，那么、、、这四个代数式中，值为正的有（ ）
A、4个 B、3个 C、2个 D、1个
解析：∵＜1
∴＞0
答案：A
评注：由抛物线开口方向判定的符号，由对称轴的位置判定的符号，由抛物线与轴交点位置判定的符号。由抛物线与轴的交点个数判定的符号，若轴标出了1和－1，则结合函数值可判定、、的符号。
【例2】已知，≠0，把抛物线向下平移1个单位，再向左平移5个单位所得到的新抛物线的顶点是（－2，0），求原抛物线的解析式。
分析：①由可知：原抛物线的图像经过点（1，0）；②新抛物线向右平移5个单位，再向上平移1个单位即得原抛物线。
解：可设新抛物线的解析式为，则原抛物线的解析式为，又易知原抛物线过点（1，0）
∴，解得
∴原抛物线的解析式为：
评注：解这类题的关键是深刻理解平移前后两抛物线间的关系，以及所对应的解析式间的联系，并注意逆向思维的应用。
另外，还可关注抛物线的顶点发生了怎样的移动，常见的几种变动方式有：①开口反向（或旋转1800），此时顶点坐标不变，只是反号；②两抛物线关于轴对称，此时顶点关于轴对称，反号；③两抛物线关于轴对称，此时顶点关于轴对称；
探索与创新：
【问题】已知，抛物线（、是常数且不等于零）的顶点是A，如图所示，抛物线的顶点是B。
（1）判断点A是否在抛物线上，为什么？
（2）如果抛物线经过点B，①求的值；②这条抛物线与轴的两个交点和它的顶点A能否构成直角三角形？若能，求出它的值；若不能，请说明理由。
解析：（1）抛物线的顶点A（，），而当时，＝，所以点A在抛物线上。
（2）①顶点B（1，0），，∵，∴；②设抛物线与轴的另一交点为C，∴B（1，0），C（，0），由抛物线的对称性可知，△ABC为等腰直角三角形，过A作AD⊥轴于D，则AD＝BD。当点C在点B的左边时，，解得或（舍）；当点C在点B的右边时，，解得或（舍）。故。
评注：若抛物线的顶点与轴两交点构成的三角形是直角三角形时，它必是等腰直角三角形，常用其“斜边上的中线（高）等于斜边的一半”这一关系求解有关问题。
跟踪训练：
一、选择题：
1、二次函数的图像如图所示，OA＝OC，则下列结论：
①＜0；
②；
③；
④；
⑤；
⑥。其中正确的有（ ）
A、2个 B、3个 C、4个 D、5个
2、二次函数的图像向右平移3个单位，再向下平移2个单位，得到函数图像的解析式为，则与分别等于（ ）
A、6、4 B、－8、14
C、4、6 D、－8、－14
3、如图，已知△ABC中，BC＝8，BC边上的高，D为BC上一点，EF∥BC交AB于E，交AC于F（EF不过A、B），设E到BC的距离为，△DEF的面积为，那么关于的函数图像大致是（ ）

A B C D
4、若抛物线与四条直线，，，围成的正方形有公共点，则的取值范围是（ ）
A、≤≤1 B、≤≤2 C、≤≤1 D、≤≤2
5、如图，一次函数与二次函数的大致图像是（ ）

A B C D
二、填空题：
1、若抛物线的最低点在轴上，则的值为 。
2、二次函数，当时，随的增大而减小；当时，随的增大而增大。则当时，的值是 。
3、已知二次函数的图像过点（0，3），图像向左平移2个单位后的对称轴是轴，向下平移1个单位后与轴只有一个交点，则此二次函数的解析式为 。
4、已知抛物线的对称轴是，且它的最高点在直线上，则它的顶点为 ，＝ 。
三、解答题：
1、已知函数的图像过点（－1，15），设其图像与轴交于点A、B，点C在图像上，且，求点C的坐标。
2、某公司推出了一种高效环保型洗涤用品，年初上市后，公司经历了从亏损到盈利的过程。下面的二次函数图象（部分）刻画了该公司年初以来累积利润S（万元）与销售时间（月）之间的关系（即前个月的利润总和S与之间的关系）。根据图象提供的信息，解答下列问题：
（1）由已知图象上的三点坐标，求累积利润S（万元）与时间（月）之间的函数关系式；
（2）求截止到几月末公司累积利润可达到30万元；
（3）求第8个月公司所获利润是多少万元？

3、抛物线，和直线（＞0）分别交于A、B两点，已知∠AOB＝900。
（1）求过原点O，把△AOB面积两等分的直线解析式；
（2）为使直线与线段AB相交，那么值应是怎样的范围才适合？
4、如图，抛物线与轴的一个交点为A（－1，0）。
（1）求抛物线与轴的另一个交点B的坐标；
（2）D是抛物线与轴的交点，C是抛物线上的一点，且以AB为一底的梯形ABCD的面积为9，求此抛物线的解析式；
（3）E是第二象限内到轴、轴的距离的比为5∶2的点，如果点E在（2）中的抛物线上，且它与点A在此抛物线对称轴的同侧。问：在抛物线的对称轴上是否存在点P，使△APE的周长最小？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由。
参考答案
一、选择题：BCDDC
二、填空题：
1、2；2、－7；3、；4、（2，2），；
三、解答题：
1、C（，1）或（，1）、（3，－1）
2、（1）；（2）10月；（3）5.5万元
3、（1）；（2）－3≤≤0
4、（1）B（－3，0）；（2）或；
（3）在抛物线的对称轴上存在点P（－2，），使△APE的周长最小。

中考数学精选例题解析
函数与一元二次方程
知识考点：
1、理解二次函数与一元二次方程之间的关系；
2、会结合方程根的性质、一元二次方程根的判别式，判定抛物线与轴的交点情况；
3、会利用韦达定理解决有关二次函数的问题。
精典例题：
【例1】已抛物线（为实数）。
（1）为何值时，抛物线与轴有两个交点？
（2）如果抛物线与轴相交于A、B两点，与轴交于点C，且△ABC的面积为2，求该抛物线的解析式。
分析：抛物线与轴有两个交点，则对应的一元二次方程有两个不相等的实数根，将问题转化为求一元二次方程有两个不相等的实数根应满足的条件。
略解：（1）由已知有，解得且
（2）由得C（0，－1）
又∵
∴
∴或
∴或
【例2】已知抛物线。
（1）求证：不论为任何实数，抛物线与轴有两个不同的交点，且这两个点都在轴的正半轴上；
（2）设抛物线与轴交于点A，与轴交于B、C两点，当△ABC的面积为48平方单位时，求的值。
（3）在（2）的条件下，以BC为直径作⊙M，问⊙M是否经过抛物线的顶点P？
解析：（1），由，可得证。
（2）
＝

又∵
∴
解得或（舍去）
∴
（3），顶点（5，－9），
∵
∴⊙M不经过抛物线的顶点P。
评注：二次函数与二次方程有着深刻的内在联系，因此，善于促成二次函数问题与二次方程问题的相互转化，是解相关问题的常用技巧。
探索与创新：
【问题】如图，抛物线，其中、、分别是△ABC的∠A、∠B、∠C的对边。
（1）求证：该抛物线与轴必有两个交点；
（2）设有直线与抛物线交于点E、F，与轴交于点M，抛物线与轴交于点N，若抛物线的对称轴为，△MNE与△MNF的面积之比为5∶1，求证：△ABC是等边三角形；
（2）当时，设抛物线与轴交于点P、Q，问是否存在过P、Q两点且与轴相切的圆？若存在这样的圆，求出圆心的坐标；若不存在，请说明理由。
解析：（1）
∵，
∴
（2）由得
由得：
设E（，），F（，），那么：，
由∶＝5∶1得：
∴或
由知应舍去。
由解得
∴，即
∴ 或（舍去）
∴
∴△ABC是等边三角形。
（3），即
∴或（舍去）
∴，此时抛物线的对称轴是，与轴的两交点坐标为P（，0），Q（，0）
设过P、Q两点的圆与轴的切点坐标为（0，），由切割线定理有：
∴
故所求圆的圆心坐标为（2，－1）或（2，1）
评注：本题（1）（2）问与函数图像无关，而第（3）问需要用前两问的结论，解题时千万要认真分析前因后果。同时，如果后一问的解答需要前一问的结论时，尽管前一问没有解答出来，倘能会用前一题的结论来解答后一问题，也是得分的一种策略。
跟踪训练：
一、选择题：
1、已知抛物线与轴两交点在轴同侧，它们的距离的平方等于，则的值为（ ）
A、－2 B、12 C、24 D、－2或24
2、已知二次函数（≠0）与一次函数（≠0）的图像交于点A（－2，4），B（8，2），如图所示，则能使成立的的取值范围是（ ）
A、 B、 C、 D、或

3、如图，抛物线与两坐标轴的交点分别是A、B、E，且△ABE是等腰直角三角形，AE＝BE，则下列关系：①；②；③；④其中正确的有（ ）
A、4个 B、3个 C、2个 D、1个
4、设函数的图像如图所示，它与轴交于A、B两点，线段OA与OB的比为1∶3，则的值为（ ）
A、或2 B、 C、1 D、2
二、填空题：
1、已知抛物线与轴交于两点A（，0），B（，0），且，则＝ 。
2、抛物线与轴的两交点坐标分别是A（，0），B（，0），且，则的值为 。
3、若抛物线交轴于A、B两点，交轴于点C，且∠ACB＝900，则＝ 。
4、已知二次函数与轴交点的横坐标为、，则对于下列结论：①当时，；②当时，；③方程＝0有两个不相等的实数根、；④，；⑤，其中所有正确的结论是 （只填写顺号）。
三、解答题：
1、已知二次函数（≠0）的图像过点E（2，3），对称轴为，它的图像与轴交于两点A（，0），B（，0），且，。
（1）求这个二次函数的解析式；
（2）在（1）中抛物线上是否存在点P，使△POA的面积等于△EOB的面积？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由。
2、已知抛物线与轴交于点A（，0），B（，0）两点，与轴交于点C，且，，若点A关于轴的对称点是点D。
（1）求过点C、B、D的抛物线解析式；
（2）若P是（1）中所求抛物线的顶点，H是这条抛物线上异于点C的另一点，且△HBD与△CBD的面积相等，求直线PH的解析式；
3、已知抛物线交轴于点A（，0），B（，0）两点，交轴于点C，且，。
（1）求抛物线的解析式；
（2）在轴的下方是否存在着抛物线上的点，使∠APB为锐角、钝角，若存在，求出P点的横坐标的范围；若不存在，请说明理由。
参考答案
一、选择题：CDBD
二、填空题：
1、2；2、；3、3；4、①③④
三、解答题：
1、（1）；（2）存在，P（，－9）或（，－9）
2、（1）；（2）
3、（1）；（2）当时∠APB为锐角，当或时∠APB为钝角。

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