人教版高中数学《导数》全部教案.doc

人教版高中数学全部教案
导数的背景（5月4日）
教学目标　　理解函数的增量与自变量的增量的比的极限的具体意义
教学重点　　瞬时速度、切线的斜率、边际成本
教学难点　　极限思想
教学过程
一、导入新课
1.　瞬时速度
问题1：一个小球自由下落，它在下落3秒时的速度是多少？
析：大家知道，自由落体的运动公式是（其中g是重力加速度）.
当时间增量很小时，从3秒到（3＋）秒这段时间内，小球下落的快慢变化不大.　因此，可以用这段时间内的平均速度近似地反映小球在下落3秒时的速度.
从3秒到（3＋）秒这段时间内位移的增量：

从而，.
从上式可以看出，越小，越接近29.4米/秒；当无限趋近于0时，无限趋近于29.4米/秒.　此时我们说，当趋向于0时，的极限是29.4.
当趋向于0时，平均速度的极限就是小球下降3秒时的速度，也叫做瞬时速度.
一般地，设物体的运动规律是s＝s（t），则物体在t到（t＋）这段时间内的平均速度为.　如果无限趋近于0时，无限趋近于某个常数a，就说当趋向于0时，的极限为a，这时a就是物体在时刻t的瞬时速度.
2.　切线的斜率
问题2：P（1,1）是曲线上的一点，Q是曲线上点P附近的一个点，当点Q沿曲线逐渐向点P趋近时割线PQ的斜率的变化情况.
析：设点Q的横坐标为1＋，则点Q的纵坐标为（1＋）2，点Q对于点P的纵坐标的增量（即函数的增量），
所以，割线PQ的斜率.
由此可知，当点Q沿曲线逐渐向点P接近时，变得越来越小，越来越接近2；当点Q无限接近于点P时，即无限趋近于0时，无限趋近于2.　这表明，割线PQ无限趋近于过点P且斜率为2的直线.　我们把这条直线叫做曲线在点P处的切线.　由点斜式，这条切线的方程为：.
一般地，已知函数的图象是曲线C，P（），Q（）是曲线C上的两点，当点Q沿曲线逐渐向点P接近时，割线PQ绕着点P转动.　当点Q沿着曲线无限接近点P，即趋向于0时，如果割线PQ无限趋近于一个极限位置PT，那么直线PT叫做曲线在点P处的切线.　此时，割线PQ的斜率无限趋近于切线PT的斜率k，也就是说，当趋向于0时，割线PQ的斜率的极限为k.
3.　边际成本
问题3：设成本为C，产量为q，成本与产量的函数关系式为，我们来研究当q＝50时，产量变化对成本的影响.在本问题中，成本的增量为：.
产量变化对成本的影响可用：来刻划，越小，越接近300；当无限趋近于0时，无限趋近于300，我们就说当趋向于0时，的极限是300.
我们把的极限300叫做当q＝50时的边际成本.
　　一般地，设C是成本，q是产量，成本与产量的函数关系式为C＝C（q），当产量为时，产量变化对成本的影响可用增量比刻划.　如果无限趋近于0时，无限趋近于常数A，经济学上称A为边际成本.　它表明当产量为时，增加单位产量需付出成本A（这是实际付出成本的一个近似值）.
二、小结
　　瞬时速度是平均速度当趋近于0时的极限；切线是割线的极限位置，切线的斜率是割线斜率当趋近于0时的极限；边际成本是平均成本当趋近于0时的极限.
三、练习与作业：
1.　某物体的运动方程为（位移单位：m，时间单位：s）求它在t＝2s时的速度.

2.　判断曲线在点P（1,2）处是否有切线，如果有，求出切线的方程.

3.　已知成本C与产量q的函数关系式为，求当产量q＝80时的边际成本.

4.　一球沿某一斜面自由滚下，测得滚下的垂直距离h（单位：m）与时间t（单位：s）之间的函数关系为，求t＝4s时此球在垂直方向的瞬时速度.

5.　判断曲线在（1，）处是否有切线，如果有，求出切线的方程.

6.　已知成本C与产量q的函数关系为，求当产量q＝30时的边际成本.
导数的概念（5月4日）
教学目标与要求：理解导数的概念并会运用概念求导数。
教学重点：导数的概念以及求导数
教学难点：导数的概念
教学过程：
一、导入新课：
上节我们讨论了瞬时速度、切线的斜率和边际成本。虽然它们的实际意义不同，但从函数角度来看，却是相同的，都是研究函数的增量与自变量的增量的比的极限。由此我们引出下面导数的概念。
二、新授课：
1.设函数在处附近有定义，当自变量在处有增量时，则函数相应地有增量，如果时，与的比（也叫函数的平均变化率）有极限即无限趋近于某个常数，我们把这个极限值叫做函数在处的导数，记作，即

注：1.函数应在点的附近有定义，否则导数不存在。
2.在定义导数的极限式中，趋近于0可正、可负、但不为0，而可能为0。
3.是函数对自变量在范围内的平均变化率，它的几何意义是过曲线上点（）及点）的割线斜率。
4.导数是函数在点的处瞬时变化率，它反映的函数在点处变化的快慢程度，它的几何意义是曲线上点（）处的切线的斜率。因此，如果在点可导，则曲线在点（）处的切线方程为。
5.导数是一个局部概念，它只与函数在及其附近的函数值有关，与无关。
6.在定义式中，设，则，当趋近于0时，趋近于，因此，导数的定义式可写成。
7.若极限不存在，则称函数在点处不可导。
8.若在可导，则曲线在点（）有切线存在。反之不然，若曲线在点（）有切线，函数在不一定可导，并且，若函数在不可导，曲线在点（）也可能有切线。
一般地，，其中为常数。
特别地，。
如果函数在开区间内的每点处都有导数，此时对于每一个，都对应着一个确定的导数，从而构成了一个新的函数。称这个函数为函数在开区间内的导函数，简称导数，也可记作，即
＝＝
函数在处的导数就是函数在开区间上导数在处的函数值，即＝。所以函数在处的导数也记作。
注：1.如果函数在开区间内每一点都有导数，则称函数在开区间内可导。
2.导数与导函数都称为导数，这要加以区分：求一个函数的导数，就是求导函数；求一个函数在给定点的导数，就是求导函数值。它们之间的关系是函数在点处的导数就是导函数在点的函数值。
3.求导函数时，只需将求导数式中的换成就可，即＝
4.由导数的定义可知，求函数的导数的一般方法是：
（1）.求函数的改变量。
（2）.求平均变化率。
（3）.取极限，得导数＝。
例1.求在＝－3处的导数。

例2.已知函数
（1）求。
（2）求函数在＝2处的导数。

小结：理解导数的概念并会运用概念求导数。
练习与作业：
1.求下列函数的导数：
（1）；　　　　　　　　　　　　　　　　（2）

(3) (3)

2.求函数在－1,0，1处导数。

3.求下列函数在指定点处的导数：
（1）；　　　　　　　　　　　　　　　（2）；

（3）　　　　　　　　　　　　　　（4）.

4.求下列函数的导数：
（1）　　　　　　　　　　　　　　　　　　（2）；

（3）　　　　　　　　　　　　　　　　　（4）。

5.求函数在－2,0，2处的导数。

导数的概念习题课（5月6日）
教学目标　　理解导数的有关概念，掌握导数的运算法则
教学重点　　导数的概念及求导法则
教学难点　　导数的概念
一、课前预习
1.在点处的导数是函数值的改变量＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿与相应自变量的改变量＿＿的商当＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿
2.若在开区间（a，b）内每一点都有导数，称为函数的导函数；求一个函数的导数，就是求＿＿＿＿＿；求一个函数在给定点的导数，就是求＿＿＿＿＿.函数在点处的导数就是＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿.
3.常数函数和幂函数的求导公式：　
4.导数运算法则：若＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿，则：

二、举例
例1.设函数，求：
（1）当自变量x由1变到1.1时，自变量的增量；
（2）当自变量x由1变到1.1时，函数的增量；
（3）当自变量x由1变到1.1时，函数的平均变化率；
（4）函数在x＝1处的变化率.

例2.生产某种产品q个单位时成本函数为，求
（1）生产90个单位该产品时的平均成本；
（2）生产90个到100个单位该产品时，成本的平均变化率；
（3）生产90个与100个单位该产品时的边际成本各是多少.

例3.已知函数，由定义求，并求.

例4.已知函数(a,b为常数)，求.

例5.曲线上哪一点的切线与直线平行？

三、巩固练习
1.若函数，则＝＿＿＿＿＿＿
2.如果函数在点处的导数分别为：
（1）　　　　　　　　　　　　　　　（2）
（3）　　　　　　　　　　　　　　　（4），
试求函数的图象在对应点处的切线的倾斜角.
3.已知函数，求，，.

4.求下列函数的导数
（1）　　　　　（2）
（3）　　　　　（4）

四、作业
1.若存在，则＝＿＿＿＿＿
2.若，则＝＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿
3.求下列函数的导数：
（1）　　　　　　（2）
（3）　　　　　　　（4）

4.某工厂每日产品的总成本C是日产量x的函数，即，试求：
（1）当日产量为100时的平均成本；
（2）当日产量由100增加到125时，增加部分的平均成本；
（3）当日产量为100时的边际成本.

5.设电量与时间的函数关系为，求t＝3s时的电流强度.

6.设质点的运动方程是，计算从t＝2到t＝2＋之间的平均速度，并计算当＝0.1时的平均速度，再计算t＝2时的瞬时速度.

7.若曲线的切线垂直于直线，试求这条切线的方程.

8.在抛物线上，哪一点的切线处于下述位置？
（1）与x轴平行
（2）平行于第一象限角的平分线.
（3）与x轴相交成45°角

9.已知曲线上有两点A（2,0），B（1,1），求：
（1）割线AB的斜率；　　　　（2）过点A的切线的斜率；
（3）点A处的切线的方程.

10.在抛物线上依次取M（1,1），N（3,9）两点，作过这两点的割线，问：抛物线上哪一点处的切线平行于这条割线？并求这条切线的方程.

11.已知一气球的半径以10cm/s的速度增长，求半径为10cm时，该气球的体积与表面积的增长速度.

12.一长方形两边长分别用x与y表示，如果x以0.01m/s的速度减小，y边以0.02m/s的速度增加，求在x＝20m，y＝15m时，长方形面积的变化率.

13.（选做）证明：过曲线上的任何一点（）（）的切线与两坐标轴围成的三角形面积是一个常数.（提示：）
导数的应用习题课（5月8日）
教学目标　　掌握导数的几何意义，会求多项式函数的单调区间、极值、最值
教学重点　　多项式函数的单调区间、极值、最值的求法
教学难点　　多项式函数极值点的求法、多项式函数最值的应用
一、课前预习
1.设函数在某个区间内有导数，如果在这个区间内＿＿＿＿，则是这个区间内的＿＿＿＿＿；如果在这个区间内＿＿＿，则是这个区间内的＿＿＿＿＿.
2.设函数在及其附近有定义，如果的值比附近所有各点的值都大（小），则称是函数的一个＿＿＿＿＿＿.
3.如果在某个区间内有导数，则可以这样求它的极值：
（1）求导数＿＿＿＿＿；　　　　　　（2）求方程＿＿＿＿＿＿＿＿的根（可能极值点）；
（3）如果在根的左侧附近为＿，右侧附近为＿，则函数在这个根处取得极＿值；如果在根的左侧附近为＿，右侧附近为＿，则函数在这个根处取得极＿值.
4.设是定义在[a，b]上的函数，在(a，b)内有导数，可以这样求最值：
（1）求出函数在(a，b)内的可能极值点（即方程在(a，b)内的根）；
（2）比较函数值，与，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值.
二、举例
例1.确定函数的单调区间.

例2.设一质点的运动速度是，问：从t＝0到t＝10这段时间内，运动速度的改变情况怎样？

例3.求函数的极值.

例4.设函数在＝1与＝2处取得极值，试确定a和b的值，并问此时函数在与处是取极大值还是极小值？

例5.求函数在[－2,2]上的最大值和最小值.

例6.矩形横梁的强度与它断面的高的平方与宽的积成正比例，要将直径为d的圆木锯成强度最大的横梁，断面的宽和高应为多少？

例7.求内接于抛物线与x轴所围图形内的最大矩形的面积.

例8.某种产品的总成本C（单位：万元）是产量x（单位：万件）的函数：，试问：当生产水平为x＝10万件时，从降低单位成本角度看，继续提高产量是否得当？

三、巩固练习
1.若函数在区间[a，b]内恒有，则此函数在[a，b]上的最小值是＿＿＿＿
2.曲线的极值点是＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿
3.设函数在x＝1处取得极大值－2，则a＝＿＿＿＿.
4.求下列函数的单调区间：
（1）　　　　（2）

5.求下列函数的极值：
（1），　　　　　　　　（2），[－4,4]

6.求下列函数的最值：
（1），[－3,10]　　　　（2），[－1,4]

7.设某企业每季度生产某个产品q个单位时，总成本函数为，（其中a＞0，b＞0，c＞0），求：（1）使平均成本最小的产量（2）最小平均成本及相应的边际成本.

8.一个企业生产某种产品，每批生产q单位时的总成本为（单位：百元），可得的总收入为（单位：百元），问：每批生产该产品多少单位时，能使利润最大？最大利润是多少？

9.在曲线上找一点（），过此点作一切线，与x轴、y轴构成一个三角形，问：为何值时，此三角形面积最小？

10.已知生产某种彩色电视机的总成本函数为，通过市场调查，可以预计这种彩电的年需求量为，其中p（单位：元）是彩电售价，q（单位：台）是需求量.　试求使利润最大的销售量和销售价格.
多项式函数的导数（5月6日）
教学目的：会用导数的运算法则求简单多项式函数的导数
教学重点：导数运算法则的应用
教学难点：多项式函数的求导
一、复习引入
1、已知函数，由定义求

2、根据导数的定义求下列函数的导数：
（1）常数函数 （2）函数

二、新课讲授
1、两个常用函数的导数：

2、导数的运算法则：
如果函数有导数，那么

也就是说，两个函数的和或差的导数，等于这两个函数的导数的和或差；常数与函数的积的导数，等于常数乘函数的导数.
例1：求下列函数的导数：
（1） （2） （3）
（4） （5）为常数)
例2：已知曲线上一点，求：
（1）过点P的切线的斜率； （2）过点P的切线方程.

三、课堂小结：多项式函数求导法则的应用
四、课堂练习：1、求下列函数的导数：
（1） （2） （3） （4）
（5） （6）

2、已知曲线上有两点A（4，0），B（2，4），求：
（1）割线AB的斜率；（2）过点A处的切线的斜率；（3）点A处的切线的方程.

3、求曲线在点M（2，6）处的切线方程.

五、课堂作业
1、求下列函数的导数：
（1） （2） （3）
（4） （5） （6）
（7） （8）
（9） （10）
2、求曲线在处的切线的斜率。

3、求抛物线在处及处的切线的方程。

4、求曲线在点P（2，－3）处的切线的方程。
函数的单调性与极值（5月10日）
教学目标：正确理解利用导数判断函数的单调性的原理；
掌握利用导数判断函数单调性的方法；
教学重点：利用导数判断函数单调性；
教学难点：利用导数判断函数单调性
教学过程：
一 引入：
以前，我们用定义来判断函数的单调性.在假设x1<x2的前提下，比较f(x1)<f(x2)与的大小，在函数y=f(x)比较复杂的情况下，比较f(x1)与f(x2)的大小并不很容易.如果利用导数来判断函数的单调性就比较简单.
二 新课讲授
1 函数单调性
我们已经知道，曲线y=f(x)的切线的斜率就是函数y=f(x)的导数.从函数的图像可以看到：在区间（2，）内，切线的斜率为正，函数y=f(x)的值随着x的增大而增大，即>0时，函数y=f(x) 在区间（2，）内为增函数；在区间（，2）内，切线的斜率为负，函数y=f(x)的值随着x的增大而减小，即0时，函数y=f(x) 在区间（，2）内为减函数.
定义：一般地，设函数y=f(x) 在某个区间内有导数，如果在这个区间内>0，那么函数y=f(x) 在为这个区间内的增函数；，如果在这个区间内<0，那么函数y=f(x) 在为这个区间内的减函数。
例1 确定函数在哪个区间内是增函数，哪个区间内是减函数。

y
例2 确定函数的单调区间。
x
0
2

2 极大值与极小值
观察例2的图可以看出，函数在X=0的函数值比它附近所有各点的函数值都大，我们说f(0)是函数的一个极大值；函数在X=2的函数值比它附近所有各点的函数值都小，我们说f(0)是函数的一个极小值。
一般地，设函数y=f(x)在及其附近有定义，如果的值比附近所有各点的函数值都大，我们说f()是函数y=f(x)的一个极大值；如果的值比附近所有各点的函数值都小，我们说f()是函数y=f(x)的一个极小值。极大值与极小值统称极值。
在定义中，取得极值的点称为极值点，极值点是自变量的值，极值指的是函数值。请注意以下几点：
（ⅰ）极值是一个局部概念。由定义，极值只是某个点的函数值与它附近点的函数值比较是最大或最小。并不意味着它在函数的整个的定义域内最大或最小。
（ⅱ）函数的极值不是唯一的。即一个函数在某区间上或定义域内极大值或极小值可以不止一个。

o
a
X1
X2
X3
X4
b
a
x
y
（ⅲ）极大值与极小值之间无确定的大小关系。即一个函数的极大值未必大于极小值，如下图所示，是极大值点，是极小值点，而>。

（ⅳ）函数的极值点一定出现在区间的内部，区间的端点不能成为极值点。而使函数取得最大值、最小值的点可能在区间的内部，也可能在区间的端点。
由上图可以看出，在函数取得极值处，如果曲线有切线的话，则切线是水平的，从而有。但反过来不一定。如函数，在处，曲线的切线是水平的，但这点的函数值既不比它附近的点的函数值大，也不比它附近的点的函数值小。假设使，那么在什么情况下是的极值点呢？
o
a
X0
b
a
x
y

o
a
X0
b
a
x
y

如上左图所示，若是的极大值点，则两侧附近点的函数值必须小于。因此，的左侧附近只能是增函数，即。的右侧附近只能是减函数，即，同理，如上右图所示，若是极小值点，则在的左侧附近只能是减函数，即，在的右侧附近只能是增函数，即，从而我们得出结论：若满足，且在的两侧的导数异号，则是的极值点，是极值，并且如果在两侧满足“左正右负”，则是的极大值点，是极大值；如果在两侧满足“左负右正”，则是的极小值点，是极小值。
x
o
y
例3 求函数的极值。

三 小结
1求极值常按如下步骤：
① 确定函数的定义域；
② 求导数；
③ 求方程=0的根，这些根也称为可能极值点；
④ 检查在方程的根的左右两侧的符号，确定极值点。(最好通过列表法)
四 巩固练习
1 确定下列函数的单调区间：
（1） （2）

2 求下列函数的极值
（1） （2）

（3） （4）

五 课堂作业
1 确定下列函数的单调区间：
（1） （2）
（3） （4）

2 求下列函数的极值
（1） （2）

（3） （4）

（5） （6）
函数的极限（4月29日）

教学目标：1、使学生掌握当时函数的极限；
　　　　　2、了解：的充分必要条件是
教学重点：掌握当时函数的极限
教学难点：对“时，当时函数的极限的概念”的理解。
教学过程：
一、复习：
（1）＿＿＿＿＿;（2）
（3）
二、新课
就问题（3）展开讨论：函数当无限趋近于2时的变化趋势
当从左侧趋近于2时　　（）

1.1
1.3
1.5
1.7
1.9
1.99
1.999
1.9999

2
y=x2
1.21

当从右侧趋近于2时　　（）

2.9
2.7
2.5
2.3
2.1
2.01
2.001
2.0001

2
y=x2
8.41.
7.29

1
2
O
X
YHY
1
。
发现
我们再继续看
当无限趋近于1（）时的变化趋势；
函数的极限有概念：当自变量无限趋近于（）时，如果函数无限趋近于一个常数A，就说当趋向时，函数的极限是A，记作。
特别地，；

三、例题
求下列函数在X＝0处的极限
（1）　　（2）　　　　（3）　

四、小结：函数极限存在的条件；如何求函数的极限。
五、练习及作业：
1、对于函数填写下表，并画出函数的图象，观察当无限趋近于1时的变化趋势，说出当时函数的极限

0.1
0.9
0.99
0.999
0.9999
0.99999

1
y=2X＋1

1.5
1.1
1.01
1.001
1.0001
1.00001

1
y=2X＋1

2、对于函数填写下表，并画出函数的图象，观察当无限趋近于3时的变化趋势，说出当时函数的极限

2.9
2.99
2.999
2.9999
2.99999
2.999999

3
y=X2－1

3.1
3.01
3.001
3.0001
3.00001
3.000001

3
y=X2－1

3　　　　　　　

　　　（）　　
函数的最大与最小值（5月8日）
教学目标：1、使学生掌握可导函数在闭区间上所有点（包括端点）处的函数中的最大（或最小）值；
　　　　　2、使学生掌握用导数求函数的极值及最值的方法
教学重点：掌握用导数求函数的极值及最值的方法
教学难点：提高“用导数求函数的极值及最值”的应用能力
一、复习：
1、；2、
3、求y=x3—27x的 极值。

二、新课
y
x
X2
o
a
X3
b
x1
在某些问题中，往往关心的是函数在一个定义区间上，哪个值最大，哪个值最小
观察下面一个定义在区间上的函数的图象

发现图中____________是极小值，_________是极大值，在区间上的函数
的最大值是______，最小值是_______

在区间 上求函数 的最大值与最小值 的步骤：
1、函数 在内有导数 ；
2、求函数 在内的极值
3、将函数在内的极值与比较，其中最大的一个为最大值 ，最小的一个为最小值
三、例1、求函数在区间上的最大值与最小值。
解：先求导数，得
令＝0即解得
导数的正负以及，如下表

X
－2
（－2，－1）
－1
（－1，0）
0
（0，1）
1
（1，2）
2
y/

0
＋
0
－
0
＋

y
13

4

5

4

13

从上表知，当时，函数有最大值13，当时，函数有最小值4
在日常生活中，常常会遇到什么条件下可以使材料最省，时间最少，效率最高等问题，这往往可以归结为求函数的最大值或最小值问题。
例2　用边长为60CM的正方形铁皮做一个无盖的水箱，先在四个角分别截去一个小正方形，然后把四边翻转90°角，再焊接而成，问水箱底边的长取多少时，水箱容积最大，最大容积是多少？

例3、已知某商品生产成本C与产量P的函数关系为C＝100＋4P，价格R与产量P的函数关系为R＝25－0.125P，求产量P为何值时，利润L最大。

四、小结：
1、闭区间上的连续函数一定有最值；开区间内的可导函数
不一定有最值，若有唯一的极值，则此极值必是函数的最值。
2、函数在其定义区间上的最大值、最小值最多各有一个，而函数的极值可能不止一个，也可能没有一个。
3、在解决实际应用问题中，关键在于建立数学模型和目标函数；如果函数在区间内只有一个极值点，那么根据实际意义判断是最大值还是最小值即可，不必再与端点的函数值进行比较。

五、练习及作业：：
1、函数在区间上的最大值与最小值

2、求函数在区间上的最大值与最小值。

3、求函数在区间上的最大值与最小值。

4、求函数在区间上的最大值与最小值。

5、给出下面四个命题
（1）函数在区间上的最大值为10，最小值为－
（2）函数（2＜X＜4）上的最大值为17，最小值为1　
（3）函数（－3＜X＜3）上的最大值为16　，　最小值为－16
（4）函数（－2＜X＜2）上　无　最大值　也无　最小值。
其中正确的命题有＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿

6、把长度为L CM的线段分成四段，围成一个矩形，问怎样分法，所围成矩形的面积最大。

7、把长度为L CM的线段分成二段，围成一个正方形，问怎样分法，所围成正方形的面积最小。

8、某商品一件的成本为30元，在某段时间内，若以每件X元出售，可以卖出(200-X)件，应该如何定价才能使利润L最大？

9、在曲线Y=1—X2(X0，Y0)上找一点了()，过此点作一切线，与X、Y轴构成一个三角形，问X0为何值时，此三角形面积最小？

10、要设计一个容积为V的圆柱形水池，已知底的单位面积造价是侧面的单位面积造价的一半，问：如何设计水池的底半径和高，才能使总造价最少？(提示：)
函数极限的运算法则（4月30日）
教学目标：掌握函数极限的运算法则，并会求简单的函数的极限
教学重点：运用函数极限的运算法则求极限
教学难点：函数极限法则的运用
教学过程：
一、引入：
一些简单函数可从变化趋势找出它们的极限，如.若求极限的函数比较复杂，就要分析已知函数是由哪些简单函数经过怎样的运算结合而成的，已知函数的极限与这些简单函数的极限有什么关系，这样就能把复杂函数的极限计算转化为简单函数的极限的计算.
二 、新课讲授
对于函数极限有如下的运算法则：
如果，那么

也就是说，如果两个函数都有极限，那么这两个函数的和、差、积、商组成的函数极限，分别等于这两个函数的极限的和、差、积、商（作为除数的函数的极限不能为0）.
说明：当C是常数，n是正整数时，

这些法则对于的情况仍然适用.
三 典例剖析
例1 求

例2 求

例3 求
分析：当时，分母的极限是0，不能直接运用上面的极限运用法则.注意函数在定义域内，可以将分子、分母约去公因式后变成，由此即可求出函数的极限.

例4 求
分析：当时，分子、分母都没有极限，不能直接运用上面的商的极限运算法则.如果分子、分母都除以，所得到的分子、分母都有极限，就可以用商的极限运用法则计算。

总结：

例5 求
分析：同例4一样，不能直接用法则求极限. 如果分子、分母都除以，就可以运用法则计算了。

四 课堂练习（利用函数的极限法则求下列函数极限）
（1）； （2）

（3）； （4）

（5） （6）

（7） （8）

五 小结
1 有限个函数的和（或积）的极限等于这些函数的和（或积）；
2 函数的运算法则成立的前提条件是函数的极限存在，在进行极限运算时，要特别注意这一点.
3 两个（或几个）函数的极限至少有一个不存在时，他们的和、差、积、商的极限不一定不存在.
4 在求几个函数的和（或积）的极限时，一般要化简，再求极限.
六 作业（求下列极限）
（1） （2） （3）

（4） （5） （6）

（7） （8） （9）

（10） （11） （12）

（13） （14） （15）

（16） （17） （18）
极 限 的 概 念（4月27日）
教学目的：理解数列和函数极限的概念；
教学重点：会判断一些简单数列和函数的极限；
教学难点：数列和函数极限的理解
教学过程：
一、实例引入：
例：战国时代哲学家庄周所著的《庄子·天下篇》引用过一句话：“一尺之棰，日取其半，万世不竭。”也就是说一根长为一尺的木棒，每天截去一半，这样的过程可以无限制地进行下去。（1）求第天剩余的木棒长度(尺)，并分析变化趋势；（2）求前天截下的木棒的总长度(尺)，并分析变化趋势。

观察以上两个数列都具有这样的特点：当项数无限增大时，数列的项无限趋近于某个常数A（即无限趋近于0）。无限趋近于常数A，意指“可以任意地靠近A，希望它有多近就有多近，只要充分大，就能达到我们所希望的那么近。”即“动点到A的距离可以任意小。
二、新课讲授
1、数列极限的定义：
一般地，如果当项数无限增大时，无穷数列的项无限趋近于某个常数A（即无限趋近于0），那么就说数列的极限是A，记作

注：①上式读作“当趋向于无穷大时，的极限等于A”。“∞”表示“趋向于无穷大”，即无限增大的意思。有时也记作当∞时，A
②引例中的两个数列的极限可分别表示为_____________________，____________________
③思考：是否所有的无穷数列都有极限？
例1：判断下列数列是否有极限，若有，写出极限；若没有，说明理由
（1）1，，，…，，… ；（2），，，…，，…；

（3）－2，－2，－2，…，－2，…；（4）－0.1，0.01，－0.001，…，，…；
（5）－1,1，－1，…，，…；

注：几个重要极限：
（1） （2）（C是常数）
（3）无穷等比数列（）的极限是0，即 ：
2、当时函数的极限
O
y
x
（1） 画出函数的图像，观察当自变量取正值且无限增大时，函数值的变化情况：函数值无限趋近于0，这时就说，当趋向于正无穷大时，函数
的极限是0，记作：
一般地，当自变量取正值且无限增大时，如果函数
的值无限趋近于一个常数A，就说当趋向于正无穷大时，函数的极限是A，记作：
也可以记作，当时，
（2）从图中还可以看出，当自变量取负值而无限增大时，函数的值无限趋近于0，这时就说，当趋向于负无穷大时，函数的极限是0，记作：
一般地，当自变量取负值而无限增大时，如果函数的值无限趋近于一个常数A，就说当趋向于负无穷大时，函数的极限是A，记作：
也可以记作，当时，
（3）从上面的讨论可以知道，当自变量的绝对值无限增大时，函数的值都无限趋近于0，这时就说，当趋向于无穷大时，函数的极限是0，记作
一般地，当自变量的绝对值无限增大时，如果函数的值无限趋近于一个常数A，就说当趋向于无穷大时，函数的极限是A，记作：
也可以记作，当时，
特例：对于函数（是常数），当自变量的绝对值无限增大时，函数的值保持不变，所以当趋向于无穷大时，函数的极限就是，即

例2：判断下列函数的极限：
（1） （2）
（3） （4）

三、课堂小结
1、数列的极限
2、当时函数的极限
四、练习与作业
1、判断下列数列是否有极限，若有，写出极限
（1）1，，，…，，… ；（2）7，7，7，…，7，…；
（3）；
（4）2，4，6，8，…，2n，…；
（5）0.1，0.01，0.001，…，，…；
（6）0，…，，…；
（7）…，，…；
（8）…，，…；
（9）－2,　0，－2，…，,…，
2、判断下列函数的极限：
（1） （2）
（3） （4）
（5） （6）
（7） （8）
补充：3、如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，M、N分别是AB、PC的中点。（1）求证：MN⊥AB；
（2）若平面PCD与平面ABCD所成的二面角为θ，
能否确定θ，使得MN是异面直线AB与PC的公垂线？
若可以确定，试求θ的值；若不能，说明理由。

数列极限的运算法则（5月3日）
教学目标：掌握数列极限的运算法则，并会求简单的数列极限的极限。
教学重点：运用数列极限的运算法则求极限
教学难点：数列极限法则的运用
教学过程：
一、复习引入：
函数极限的运算法则：如果则＿＿＿
＿＿＿＿，＿＿＿＿（B）
二、新授课：
数列极限的运算法则与函数极限的运算法则类似：
如果那么

推广：上面法则可以推广到有限多个数列的情况。例如，若，，有极限，则：
特别地，如果C是常数，那么
二.例题：
例1.已知，求

例2.求下列极限：
（1）；