勾股定理(知识点+题型分类练习).doc

勾股定理（知识点）
【知识要点】
1. 勾股定理的概念：
如果直角三角形的两直角边长分别为a，b，斜边长为c，那么 a2＋b2＝c2. 即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。

常用关系式
由三角形面积公式可得：AB·CD=AC·BC
2. 勾股定理的逆定理：
如果三角形的三边长a，b，c有下面关系：a2＋b2＝c2，那么这个三角形是直角三角形，其中为斜边。
3. 勾股数：
①满足a2＋b2＝c2的三个正整数叫做勾股数
（注意：若a，b，c、为勾股数，那么ka，kb，kc同样也是勾股数组。）
②记住常见的勾股数可以提高解题速度，如；；；；8,15,17等
③用含字母的代数式表示组勾股数：
（为正整数）；
（为正整数）
（，为正整数）
4.判断直角三角形：
（1）有一个角为90°的三角形是直角三角形。
（2）有两个角互余的三角形是直角三角形。
（3）如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形。
（4）如果三角形的三边长a、b、c满足a2+b2=c2 ，那么这个三角形是直角三角形。
（经典直角三角形：勾三、股四、弦五）
用勾股定理逆定理判断三角形是否为直角三角形的一般步骤是：
（1）确定最大边（不妨设为c）；
（2）若c2＝a2＋b2，则△ABC是以∠C为直角的三角形；
若a2＋b2＜c2，则此三角形为钝角三角形（其中c为最大边）；
若a2＋b2＞c2，则此三角形为锐角三角形（其中c为最大边）
5.直角三角形的性质
（1）直角三角形的两个锐角互余。可表示如下：∠C=90°∠A+∠B=90°
（2）在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半。
∠A=30°
可表示如下： BC =AB
∠C=90°
（3）直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。
∠ACB=90°
可表示如下： CD =AB = BD = AD
D为AB的中点
6.数轴上表示无理数
第一步：分析所有表示二次根式中被开方数可以写成哪两个有理数的和
第二步：在数轴上画出其中一个有理数，以该有理数为垂足做垂线，在垂线上标出第二个有理数的长度。连接端点和原点，以原点为圆心，端点为半径画圆，于数轴交点即为所有无理数。

勾股定理专项练习
一、基本应用
考点1：勾股定理
1.下列是勾股数的一组是（ D ）
A.4,5,6 B.5,7,12 C.12,13,15 D.21,28,35
2.△ABC中，∠A：∠B：∠C=2：1：1，a，b，c分别是∠A、∠B、∠C的对边，则下列各等式中成立的是（ ）
A.a2+b2=c2 B.a2=2b2 C.c2=2a2 D.b2=2a2
3.矩形ABCD,AB=5 cm,AC=13 cm,则这个矩形的面积为 60 cm2.
4.如图，在△ABC中，∠BAC=90º，AB=15，AC=20，AD⊥BC，垂足为D，则△ABC斜边上的高AD= 12 ．
5.已知等腰三角形底边长为10cm，腰长为13cm，则腰上的高为( C )
A.12cm B. C. D.
6.一个直角三角形的三边为三个连续偶数，则它的三边长分别为 6，8，10 ．
7.（易错题）已知直角三角形的两边x，y的长满足│x－4│+=0，则第三边的长为 5或7 .
8.若直角三角形的三边长分别为2，4，x，则x的可能值有（ ）
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
9.已知直角三角形两边长分别为3、4，则第三边长为 ．
10.已知直角三角形的两直角边之比为3：4，斜边为10，则直角三角形的两直角边的长分别为 ．
11.如图，分别以Rt △ABC三边为边向外作三个正方形，其面积分别用S1、S2、S3表示，容易得出S1、S2、S3之间有的关系式 S1+S2=S3 ．
12.（易错题）如图，已知在Rt△ABC中∠ACB=90°，AB=4，分别以AC，BC为直径作半圆，面积分别记为S1，S2，则S1+S2的值等于 2π ．
13.如图，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形边长为7cm，则正方形A，B，C，D的面积之和为 49 cm2。

第4题 第11题 第12题 第13题
14.在Rt△ABC，∠C=90°
（1）已知c=17，b=8, 求a。（a=15）
（2）已知a∶b=1∶2，c=5, 求a。（a=5）
（3）已知b=15，∠A=30°，求a，c。（a=53，c=103）

15.若直角三角形的三边长分别是n+1，n+2，n+3，求n。（n=2）

16.若直角三角形两直角边的比是3：4，斜边长是20，求此直角三角形的面积。（S=96）

考点2.勾股定理逆定理
1.以下列各组线段为边长，能构成三角形的是_________，能构成直角三角形的是_________．（填序号）
①3，4，5 ② 1，3，4 ③ 4，4，6 ④ 6，8，10 ⑤ 5，7，2 ⑥ 13，5，12 ⑦ 7，25，24
2.在下列以线段a、b、c的长为三边的三角形中，不能构成直角三角形的是（　D　）
A.a=9，b=41，c=40 B.a=b=5，c= C.a∶b∶c=3∶4∶5 D.a=11，b=12，c=15
3.若一个三角形三边长的平方分别为：32，42，x2，则此三角形是直角三角形的x2的值是（ D ）
A．42 B．52 C．7 D．52或7
4.下列说法不正确的是（ B ）
A.三个角的度数之比为1∶3∶4的三角形是直角三角形B.三个角的度数之比为3∶4∶5的三角形是直角三角形
C.三边长度之比为3∶4∶5的三角形是直角三角形 D.三边长度之比为5∶12∶13的三角形是直角三角形
5.若△ABC的三边a、b、c，满足（a－b）（a2＋b2－c2）=0，则△ABC是（ C ）
A.等腰三角形 B.直角三角形 C.等腰三角形或直角三角形 D.等腰直角三角形
6.有下列说法：①若两直角边的平方和等于斜边的平方，则此三角形是直角三角形；②在△ABC中，a、b、c分别是∠A、∠B、∠C的对边，若a2+b2＞c2，则△ABC是钝角三角形；③在△ABC中，a、b、c分别是∠A、∠B、∠C的对边，若b2+c2=a2，则∠C=900；④在△ABC中，a、b、c分别是∠A、∠B、∠C的对边，∠C≠900，则a2+b2≠c2。其中正确的是（ D ）
A.①②③ B.②③④ C.②④ D.④
7.下列说法中正确的有（ ）
①如果∠A+∠B+∠C=3：4：5，则△ABC是直角三角形；②如果∠A+∠B=∠C，那么△ABC是直角三角形；③如果三角形三边之比为6：8：10，则ABC是直角三角形；④如果三边长分别是n2-1，2n，n2+1（n＞1），则△ABC是直角三角形。
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
8.若+|a-12|+(b-5)2=0,则以a、b、c为三边的三角形是 直角 三角形.
9.如果△ABC的三边a,b,c满足关系式 +（b-18）2+=0则△ABC是 三角形。
10.已知:a、b、c为△ABC的三边,且满足a2c2-b2c2=a4-b4,试判断△ABC的形状.
解:∵a2c2-b2c2=a4-b4,①
∴c2(a2-b2)=(a2+b2)(a2-b2).②
∴c2=a2+b2.③
∴△ABC是直角三角形.
问:(1)在上述解题过程中,从哪一步开始出现错误?请写出该步的代号: ③
(2)错误的原因为 除数可能为零 ;
11.已知△ABC的三边为a、b、c，且，求三角形三个内角度数的比（∠A：∠B：∠C=1:1：:2）

12.△ABC的三边a、b、c满足．试判断△ABC的形状．（直角三角形）

13.已知△ABC的三边为a、b、c，且a+b=4，ab=1，c=，试判定△ABC的形状。 （直角三角形）

14.若△ABC的三边a，b，c满足条件a2+b2+c2+338=10a+24b+26c，试判定△ABC的形状．（直角三角形）

15.一根24米绳子，折成三边为三个连续偶数的三角形，则三边长分别为多少米？此三角形的形状为？
（6；8；10；直角三角形）

16.若△ABC的三边长为a,b,c，根据下列条件判断△ABC的形状.
（1）a2+b2+c2+200=12a+16b+20c (2)a3－a2b+ab2－ac2+bc2－b3=0

考点3.数轴表示无理数（尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）
1.用圆规与尺子在数轴上作出表示的点，并补充完整作图方法

2.在数轴上画出表示的点？

3.在数轴上作出表示3-的点

考点4:勾股定理几何应用
1.如图在矩形ABCD中,M是CD中点，AB=8，AD=3．（1）求AM的长；（2）△MAB是直角三角形吗？为什么？
（AM=5；不是直角三角形）

2.如图所示，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD是AB边上高，若AD=8，BD=2，求CD．（CD=4）

3.一个长方体木箱沿斜面下滑，当木箱滑至如图位置时，AB=3m，已知木箱高BE=m，斜面坡角为30°，求木箱端点E距地面AC的高度EF。（EF=3）

4.有一块土地形状如图所示,∠B=∠D=90°,AB=20米,BC=15米,CD=7米,请计算这块地的面积.（S=234）

5.四边形ABCD中，∠B=90°，AB=3，BC=4，CD=12，AD=13，求四边形ABCD的面积。（S=36）

6.如图，在四边形ABCD中,AB=12 cm,BC=3 cm,CD=4 cm,∠C=90°(1)求BD的长;（BD=5）(2)当AD为多少时,∠ABD=90°?（AD=13）

7.农民牛伯伯承包了一块四边形水稻田ABCD，他量得边长AB=90m，BC=120m，CD=130m，DA=140m，且边AB、BC正好位于两条相互垂直的公路的拐角处，请你帮牛伯伯计算一下这块水稻田的面积。（S=13800）

8.如图所示的一块地，AD=12m，CD=9m，∠ADC=90°，AB=39m，BC=36m，求这块地的面积．

（二）、实际应用：
1. 梯子滑动问题：
1.一架长2.5的梯子，斜立在一竖起的墙上，梯子底端距离墙底0.7（如图），如果梯子的顶端沿墙下滑0.4，那么梯子底端将向左滑动 0.8 米
2.如图，一个长为10米的梯子，斜靠在墙面上，梯子的顶端距地面的垂直距离为8米，如果梯子的顶端下滑1米，那么，梯子底端的滑动距离 51-1 米
3.小明想知道学校旗杆的高度，他发现旗杆上的绳子垂到地面上还多1 m，当他把绳子的下端拉开5米后，发现绳子下端刚好触到地面，试问旗杆的高度为 12 米
4.如图，一根12米高的电线杆两侧各用15米的铁丝固定，两个固定点之间的距离是 18 。

第1题 第2题 第4题
5.如图，一个3米长的梯子AB，斜着靠在竖直的墙AO上，这时AO的距离为2.5米．
①求梯子的底端B距墙角O多少米？（1.66）②如果梯的顶端A沿墙下滑0.5米至C算一算，底端滑动的距离近似值（结果保留两位小数）．（0.58）

6.如图所示，梯子AB靠在墙上，梯子的底端A到墙根O 的距离为2m，梯子的顶端B到地面的距离为7m．现将梯子的底端A向外移动到A′,使梯子的底端A′到墙根O的距离为3m，同时梯子的顶端B下降到B′，那么BB′也等于1m吗?（不等于1，小于1）

2. 爬行距离最短问题：
1.如图，正方体盒子的棱长为2，AB中点为M，一只蚂蚁从点M沿正方体的表面爬到点，蚂蚁爬行的最短距离是（ B ）
A. B. C. D.
2.如图，一块砖宽AN=5㎝，长ND=10㎝，CD上的点F距地面的高FD=8㎝，地面上A处的一只蚂蚁到F处吃食，要爬行的最短路线是 17 cm
3.如图，是一个三级台阶，它的每一级的长、宽、高分别为20dm、3dm、2dm，A和B是这个台阶两相对的端点，A点有一只昆虫想到B点去吃可口的食物，则昆虫沿着台阶爬到B点的最短路程是 25 分米？
4.一只蚂蚁从长、宽都是3，高是8的长方体纸箱的A点沿纸箱爬到B点，那么它所爬行的最短路线的长是 10 .
5.在一个长为2米，宽为1米的矩形草地上，如图堆放着一根长方体的木块，它的棱长和场地宽AD平行且>AD，木块的正视图是边长为0.2米的正方形，求一只蚂蚁从点A处，到达C处需要走的最短路 2.6 ．

第1题 第2题 第3题 第4题 第5题
3.方向问题：
1.一座垂直于两岸的桥长15米,一艘小船自桥北头出发,向正南方向驶去,因水流原因,到达南岸后,发现已偏离桥南头9米,则小船实际行驶了___3___米.
2.一职工下班后以50米/分的速度骑自行车沿着东西马路向东走了5.6分,又沿南北马路向南走了19.2分到家,则他的家离公司距离为（ D ）
A.100m B.500m C.1 240m D.1 000m
3.有一次，小明坐着轮船由A点出发沿正东方向AN航行，在A点望湖中小岛M，测得∠MAN＝30°，当他到B点时，测得∠MBN＝45°，AB＝100米，你能算出AM的长吗？（x=50+503）

4.“远航”号、“海天”号轮船同时离开港口，各自沿一固定方向航行，“远航”号每小时航行16海里，“海天”号每小时航行12海里，它们离开港口一个半小时后相距30海里．如果知道“远航”号沿东北方向航行，能知道“海天”号沿哪个方向航行吗？（西北方向）

5.一轮船在大海中航行，它先向正北方向航行8 km，接着，它又掉头向正东方向航行15千米．
⑴ 此时轮船离开出发点多少km? （17km）
⑵ 若轮船每航行1km，需耗油0.4升，那么在此过程中轮船共耗油多少升?（9.2km）

6.甲、乙两船上午11时同时从港口A出发,甲船以每小时20海里的速度向东北方向航行,乙船以每小时15海里的速度向东南方向航行,求下午1时两船之间的距离.（50海里）

4.折叠问题：
1.如图，在长方形ABCD中，将△ABC沿AC对折至△AEC位置，CE与AD交于点F。
（1）试说明：AF=FC；（2）如果AB=3，BC=4，求AF的长

2.如图，正方形ABCD中，E是BC边上的中点，F是AB上一点，且，那么△DEF是直角三角形吗？为什么？

3.如图，矩形纸片ABCD的长AD=9㎝，宽AB=3㎝，将其折叠，使点D与点B重合，那么折叠后DE的长是多少？（DE=5，EF=10）

4.如图，矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，如果将该矩形沿对角线BD折叠，那么图中阴影部分的面积是多少？
E
C′
A
B
C
D

5.利用勾股定理测量长度
1.如图，水池中离岸边D点1.5米的C处，直立长着一根芦苇，出水部分BC的长是0.5米，把芦苇拉到岸边，它的顶端B恰好落到D点，并求水池的深度AC.（S=7516）

2.有一个小朋友拿着一根竹竿要通过一个长方形的门，如果把竹竿竖放就比门高出1尺，斜放就恰好等于门的对角线长，已知门宽4尺．求竹竿高与门高．（门高7.5；竿高8.5）
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