相似三角形经典题(含答案).doc

初三（下）相似三角形
相似三角形经典习题
例1 从下面这些三角形中，选出相似的三角形．

例2 已知：如图，ABCD中，，求与的周长的比，如果，求．

例3 如图，已知∽，求证：∽．

例4 下列命题中哪些是正确的，哪些是错误的？
（1）所有的直角三角形都相似． （2）所有的等腰三角形都相似．
（3）所有的等腰直角三角形都相似． （4）所有的等边三角形都相似．
例5 如图，D点是的边AC上的一点，过D点画线段DE，使点E在的边上，并且点D、点E和的一个顶点组成的小三角形与相似．尽可能多地画出满足条件的图形，并说明线段DE的画法．

例6 如图，一人拿着一支刻有厘米分画的小尺，站在距电线杆约30米的地方，把手臂向前伸直，小尺竖直，看到尺上约12个分画恰好遮住电线杆，已知手臂长约60厘米，求电线杆的高．

例7 如图，小明为了测量一高楼MN的高，在离N点20m的A处放了一个平面镜，小明沿NA后退到C点，正好从镜中看到楼顶M点，若m，小明的眼睛离地面的高度为1.6m，请你帮助小明计算一下楼房的高度（精确到0.1m）．

例8 格点图中的两个三角形是否是相似三角形，说明理由．

例9 根据下列各组条件，判定和是否相似，并说明理由：
（1） ．
（2）．
（3）．
例10 如图，下列每个图形中，存不存在相似的三角形，如果存在，把它们用字母表示出来，并简要说明识别的根据．

例11 已知：如图，在中，是角平分线，试利用三角形相似的关系说明．

例12 已知的三边长分别为5、12、13，与其相似的的最大边长为26，求的面积S．

例13 在一次数学活动课上，老师让同学们到操场上测量旗杆的高度，然后回来交流各自的测量方法．小芳的测量方法是：拿一根高3.5米的竹竿直立在离旗杆27米的C处（如图），然后沿BC方向走到D处，这时目测旗杆顶部A与竹竿顶部E恰好在同一直线上，又测得C、D两点的距离为3米，小芳的目高为1.5米，这样便可知道旗杆的高．你认为这种测量方法是否可行？请说明理由．

例14．如图，为了估算河的宽度，我们可以在河对岸选定一个目标作为点A，再在河的这一边选点B和C，使，然后再选点E，使，确定BC与AE的交点为D，测得米，米，米，你能求出两岸之间AB的大致距离吗？

例15．如图，为了求出海岛上的山峰AB的高度，在D和F处树立标杆DC和FE，标杆的高都是3丈，相隔1000步（1步等于5尺），并且AB、CD和EF在同一平面内，从标杆DC退后123步的G处，可看到山峰A和标杆顶端C在一直线上，从标杆FE退后127步的H处，可看到山峰A和标杆顶端E在一直线上．求山峰的高度AB及它和标杆CD的水平距离BD各是多少？（古代问题）

例16 如图，已知△ABC的边AB＝，AC＝2，BC边上的高AD＝．
（1）求BC的长；
（2）如果有一个正方形的边在AB上，另外两个顶点分别在AC，BC上，求这个正方形的面积．

相似三角形经典习题答案
例1． 解 ①、⑤、⑥相似，②、⑦相似，③、④、⑧相似
例2． 解 是平行四边形，∴，∴∽，
又，∴，∴与的周长的比是1：3．
又，∴．
例3 分析 由于∽，则，因此，如果再进一步证明，则问题得证．
证明 ∵∽，∴．
又，∴，
∴．
∵∽，∴．
在和中，∵，∴∽
例4．分析 （1）不正确，因为在直角三角形中，两个锐角的大小不确定，因此直角三角形的形状不同．
（2）也不正确，等腰三角形的顶角大小不确定，因此等腰三角形的形状也不同．
（3）正确．设有等腰直角三角形ABC和，其中，
则，
设的三边为a、b、c，的边为，
则，
∴，∴∽．
（4）也正确，如与都是等边三角形，对应角相等，对应边都成比例，因此∽．
答：（1）、（2）不正确．（3）、（4）正确．
例5．解：

画法略．
例6．分析 本题所叙述的内容可以画出如下图那样的几何图形，即厘米米，厘米米，米，求BC．由于∽，又∽，∴，从而可以求出BC的长．
解 ，∴，∴∽．∴．
又，∴，
∴∽，∴，∴．
又厘米米，厘米米，米，∴米．即电线杆的高为6米．
例7．分析 根据物理学定律：光线的入射角等于反射角，这样，与的相似关系就明确了．
解 因为，所以∽．
所以，即．所以（m）．
说明 这是一个实际应用问题，方法看似简单，其实很巧妙，省却了使用仪器测量的麻烦．
例8．分析 这两个图如果不是画在格点中，那是无法判断的．实际上格点无形中给图形增添了条件——长度和角度．
解 在格点中，所以，
又．所以．所以∽．
说明 遇到格点的题目一定要充分发现其中的各种条件，勿使遗漏．
例9．解 （1）因为，所以∽；
（2）因为，两个三角形中只有，另外两个角都不相等，所以与不相似；
（3）因为，所以相似于．
例10．解 （1）∽ 两角相等； （2）∽ 两角相等；
（3）∽ 两角相等； （4）∽ 两边成比例夹角相等；
（5）∽两边成比例夹角相等； （6）∽ 两边成比例夹角相等．
例11．分析 有一个角是65°的等腰三角形，它的底角是72°，而BD是底角的平分线，∴，则可推出∽，进而由相似三角形对应边成比例推出线段之间的比例关系．
证明 ，∴．
又平分，∴．
∴，且∽，∴，∴，∴．
说明 （1）有两个角对应相等，那么这两个三角形相似，这是判断两个三角形相似最常用的方法，并且根据相等的角的位置，可以确定哪些边是对应边．
（2）要说明线段的乘积式，或平方式，一般都是证明比例式，，或，再根据比例的基本性质推出乘积式或平方式．
例12分析 由的三边长可以判断出为直角三角形，又因为∽，所以也是直角三角形，那么由的最大边长为26，可以求出相似比，从而求出的两条直角边长，再求得的面积．
解 设的三边依次为，，则，∴．
又∵∽，∴． ，
又，∴． ∴．
例13．分析 判断方法是否可行，应考虑利用这种方法加之我们现有的知识能否求出旗杆的高．按这种测量方法，过F作于G，交CE于H，可知∽，且GF、HF、EH可求，这样可求得AG，故旗杆AB可求．
解 这种测量方法可行．理由如下：
设旗杆高．过F作于G，交CE于H（如图）．所以∽．
因为，所以．
由∽，得，即，所以，解得（米）
所以旗杆的高为21.5米．
说明 在具体测量时，方法要现实、切实可行．
例14. 解：，
∴∽，（米），答：两岸间AB大致相距100米．
例15. 答案：米，步，（注意：．）
例16. 分析：要求BC的长，需画图来解，因AB、AC都大于高AD，那么有两种情况存在，即点D在BC上或点D在BC的延长线上，所以求BC的长时要分两种情况讨论．求正方形的面积，关键是求正方形的边长．
解：（1）如上图，由AD⊥BC，由勾股定理得BD＝3，DC＝1，所以BC＝BD＋DC＝3＋1＝4．
如下图，同理可求BD＝3，DC＝1，所以BC＝BD－CD＝3－1＝2．

（2）如下图，由题目中的图知BC＝4，且，，∴．所以△ABC是直角三角形．

由AEGF是正方形，设GF＝x，则FC＝2－x，
∵GF∥AB，∴，即． ∴，∴．
如下图，当BC＝2，AC＝2，△ABC是等腰三角形，作CP⊥AB于P，∴AP＝，

在Rt△APC中，由勾股定理得CP＝1，
∵GH∥AB，∴△CGH∽△CBA，∵，∴
因此，正方形的面积为或．
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