实际问题与二次函数-详解与练习(含答案).doc

初中数学专项训练：实际问题与二次函数（人教版）
一、利用函数求图形面积的最值问题
一、 围成图形面积的最值
1、 只围二边的矩形的面积最值问题
例1、 如图1，用长为18米的篱笆（虚线部分）和两面墙围成矩形苗圃。
（1） 设矩形的一边长为x（米），面积为y（平方米），求y关于x的函数关系式；
（2） 当x为何值时，所围成的苗圃面积最大？最大面积是多少？
分析：关键是用含x的代数式表示出矩形的长与宽。
解：（1）设矩形的长为x（米），则宽为（18- x）（米），
根据题意，得：；
又∵
（2）∵中，a= -1＜0，∴y有最大值，
即当时，
故当x=9米时，苗圃的面积最大，最大面积为81平方米。
点评：在回扣问题实际时，一定注意不要遗漏了单位。
2、 只围三边的矩形的面积最值
例2、 如图2，用长为50米的篱笆围成一个养鸡场，养鸡场的一面靠墙。问如何围，才能使养鸡场的面积最大？
分析：关键是明确问题中的变量是哪两个，并能准确布列出函数关系式
解：设养鸡场的长为x（米），面积为y（平方米），则宽为（）（米），
根据题意，得：；
又∵
∵中，a=＜0，∴y有最大值，
即当时，
故当x=25米时，养鸡场的面积最大，养鸡场最大面积为平方米。
点评：如果设养鸡场的宽为x，上述函数关系式如何变化？请读者自己完成。
3、 围成正方形的面积最值
例3、将一条长为20cm的铁丝剪成两段，并以每一段铁丝的长度为周长做成一个正方形．
(1)要使这两个正方形的面积之和等于17cm2，那么这段铁丝剪成两段后的长度分别是多少?
(2)两个正方形的面积之和可能等于12cm2吗? 若能，求出两段铁丝的长度；若不能，请说明理由．
（1）解：设剪成两段后其中一段为xcm，则另一段为（20-x）cm
由题意得：
解得：
当时，20-x=4；当时，20-x=16
答：这段铁丝剪成两段后的长度分别是16厘米、4厘米。
（2）不能
理由是：设第一个正方形的边长为xcm，则第二个正方形的边长为cm，围成两个正方形的面积为ycm2，
根据题意，得：，
∵中，a= 2＞0，∴y有最小值，
即当时，=12.5＞12,故两个正方形面积的和不可能是12cm2.

练习1、如图，正方形EFGH的顶点在边长为a的正方形ABCD的边上，若AE=x，正方形EFGH的面积为y.

(1)求出y与x之间的函数关系式；
(2)正方形EFGH有没有最大面积？若有，试确定E点位置；若没有，说明理由.

二、利用二次函数解决抛物线形建筑物问题
例题1 如图（1）是一个横断面为抛物线形状的拱桥，当水面在l时，拱顶（拱桥洞的最高点）离水面2m，水面宽4m．如图（2）建立平面直角坐标系，则抛物线的关系式是 .
图（1） 图（2）

.
【解析】
试题分析：由图中可以看出，所求抛物线的顶点在原点，对称轴为y轴，可设此函数解析式为：y=ax2，利用待定系数法求解.
试题解析：设此函数解析式为：，；
那么（2，-2）应在此函数解析式上．
则
即得，
那么．
考点：根据实际问题列二次函数关系式.

练习1
某地要建造一个圆形喷水池，在水池中央垂直于水面安装一个花形柱子OA，O恰在水面中心，安置在柱子顶端A处的喷头向外喷水，水流在各个方向上沿形状相同的抛物线路径落下，且在过OA的任一平面上，抛物线形状如图（1）所示.图（2）建立直角坐标系，水流喷出的高度y（米）与水平距离x（米）之间的关系是.请回答下列问题：

(1)柱子OA的高度是多少米？
(2)喷出的水流距水平面的最大高度是多少米？
(3)若不计其他因素，水池的半径至少要多少米才能使喷出的水流不至于落在池外？

2．一座桥如图，桥下水面宽度AB是20米，高CD是4米.要使高为3米的船通过，则其宽度须不超过多少米.

（1）如图1，若把桥看做是抛物线的一部分，建立如图坐标系.

①求抛物线的解析式；
②要使高为3米的船通过，则其宽度须不超过多少米?
（2）如图2，若把桥看做是圆的一部分.

①求圆的半径；
②要使高为3米的船通过，则其宽度须不超过多少米?

三、利用抛物线解决最大利润问题
例题1 某市政府大力扶持大学生创业．李明在政府的扶持下投资销售一种进价为每件20元的护眼台灯．销售过程中发现，每月销售量y(件)与销售单价x(元)之间的关系可近似的看做一次函数：y＝－10x＋500.
（1）设李明每月获得利润为w(元)，当销售单价定为多少元时，每月可获得最大利润？（6分）
（2）如果李明想要每月获得2 000元的利润，那么销售单价应定为多少元？（3分）
（3）物价部门规定，这种护眼台灯的销售单价不得高于32元，如果李明想要每月获得的利润不低于2 000元，那么他每月的成本最少需要多少元？(成本＝进价×销售量) （3分）
答案：（1）35；（2）30或40；（3）3600.
【解析】
试题分析：（1）由题意得，每月销售量与销售单价之间的关系可近似看作一次函数，根据利润=（定价-进价）×销售量，从而列出关系式；（2）令w=2000，然后解一元二次方程，从而求出销售单价；（3）根据函数解析式，利用一次函数的性质求出最低成本即可．
试题解析：（1）由题意得出： ，
∵，
∴当销售单价定为35元时，每月可获得最大利润．
（2）由题意，得：，
解这个方程得：x1=30，x2=40．
∴李明想要每月获得2000元的利润，销售单价应定为30元或40元．
（3）∵，∴抛物线开口向下. ∴当30≤x≤40时，W≥2000.
∵x≤32，∴当30≤x≤32时，W≥2000.
设成本为P（元），由题意，得：，
∵k=200＜0，∴P随x的增大而减小．
∴当x=32时，P最小=3600．
答：想要每月获得的利润不低于2000元，每月的成本最少为3600元．
考点：二次函数的应用．

练习1．某玩具批发商销售每只进价为40元的玩具，市场调查发现，若以每只50元的价格销售，平均每天销售90只，单价每提高1元，平均每天就少销售3只．
（1）平均每天的销售量y(只)与销售价x(元／只)之间的函数关系式为 ；
（2）求该批发商平均每天的销售利润W(元)与销售只x(元／只)之间的函数关系式；
（3）物价部门规定每只售价不得高于55元，当每只玩具的销售价为多少元时，可以获得最大利润？最大利润是多少元

2．为了落实国务院的指示精神，地方政府出台了一系列“三农”优惠政策，使农民收入大幅度增加．某农户生产经销一种农产品，已知这种产品的成本价为每千克20元，市场调查发现，该产品每天的销售量y(千克)与销售价x(元/千克)有如下关系：. 设这种产品每天的销售利润为w元.
（1）求w与x之间的函数关系式；
（2）该产品销售价定为每千克多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少元？

3．某公司营销两种产品，根据市场调研，发现如下信息：
信息1：销售种产品所获利润(万元)与所售产品(吨)之间存在二次函数关系
.当时， ；当时，．
信息2：销售种产品所获利润 (万元)与所售产品(吨)之间存在正比例函数关系．
根据以上信息，解答下列问题：(1)求二次函数解析式；
(2)该公司准备购进两种产品共10吨，请设计一个营销方案，使销售两种产品获得的利润之和最大，最大利润是多少？

4．为鼓励大学毕业生自主创业，某市政府出台了相关政策：由政府协调，本市企业按成本价提供产品给大学毕业生自主销售，成本价与出厂价之间的差价由政府承担．李明按照相关政策投资销售本市生产的一种新型节能灯．已知这种节能灯的成本价为每件10元，出厂价为每件12元，每月销售量（件）与销售单价（元）之间的关系近似满足一次函数：．
（1）李明在开始创业的第一个月将销售单价定为20元，那么政府这个月为他承担的总差价为多少元？
（2）设李明获得的利润为（元），当销售单价定为多少元时，每月可获得最大利润？
（3）物价部门规定，这种节能灯的销售单价不得高于25元．如果李明想要每月获得的利润不低于3000元，那么政府为他承担的总差价最少为多少元？

5．某文具店销售一种进价为10元/个的签字笔，物价部门规定这种签字笔的售价不得高于14元/个，根据以往经验：以12元/个的价格销售，平均每周销售签字笔100个；若每个签字笔的销售价格每提高1元，则平均每周少销售签字笔10个. 设销售价为x元/个.
（1）该文具店这种签字笔平均每周的销售量为 个（用含x的式子表示）；
（2）求该文具店这种签字笔平均每周的销售利润w（元）与销售价x（元/个）之间的函数关系式；
（3）当x取何值时，该文具店这种签字笔平均每周的销售利润最大？最大利润是多少元？

6．一汽车租赁公司拥有某种型号的汽车100辆．公司在经营中发现每辆车的月租金x(元)与每月租出的车辆数(y)有如下关系：
x
3000
3200
3500
4000
y
100
96
90
80
（1）观察表格，用所学过的一次函数、反比例函数或二次函数的有关知识求出每月租出的车辆数y（辆）与每辆车的月租金x（元）之间的关系式.
（2）已知租出的车每辆每月需要维护费150元，未租出的车每辆每月需要维护费50元．用含x（x≥3000）的代数式填表:
租出的车辆数

未租出的车辆数

租出每辆车的月收益

所有未租出的车辆每月的维护费

（3）若你是该公司的经理，你会将每辆车的月租金定为多少元，才能使公司获得最大月收益？请求出公司的最大月收益是多少元．

四、 利用二次函数解决动点问题
例1如图8，如图9，在平行四边形ABCD中，AD=4 cm，∠A=60°，BD⊥AD. 一动点P从A出发，以每秒1 cm的速度沿A→B→C的路线匀速运动，过点P作直线PM，使PM⊥AD .
(1) 当点P运动2秒时，设直线PM与AD相交于点E，求△APE的面积；

(2) 当点P运动2秒时，另一动点Q也从A出发沿A→B→C的路线运动，且在AB上以每秒1 cm的速度匀速运动，在BC上以每秒2 cm的速度匀速运动. 过Q作直线QN，使QN∥PM. 设点Q运动的时间为t秒(0≤t≤10)，直线PM与QN截平行四边形ABCD所得图形的面积为S cm2 .

① 求S关于t的函数关系式；

② 求S的最大值.

解：(1) 当点P运动2秒时，AP=2 cm，由∠A=60°，知AE=1，PE=.∴ SΔAPE=.

(2) ① 当0≤t≤6时，点P与点Q都在AB上运动，设PM与AD交于点G，QN与AD交于点F，则AQ=t，AF=，QF=，AP=t+2，AG=1+，PG=.
∴ 此时两平行线截平行四边形ABCD的面积为S=.
当6≤t≤8时，点P在BC上运动，点Q仍在AB上运动. 设PM与DC交于点G，QN与AD交于点F，则AQ=t，AF=，DF=4-，QF=，BP=t-6，CP=10-t，PG=，
而BD=，故此时两平行线截平行四边形ABCD的面积为S=.

当8≤t≤10时，点P和点Q都在BC上运动. 设PM与DC交于点G，QN与DC交于点F，则CQ=20-2t，QF=(20-2t)，CP=10-t，PG=.
∴ 此时两平行线截平行四边形ABCD的面积为S=.
故S关于t的函数关系式为
②当0≤t≤6时，S的最大值为
当6≤t≤8时，S的最大值为
当8≤t≤10时，S的最大值为
所以当t=8时，S有最大值为 .

初中数学专项训练：实际问题与二次函数
参考答案
一、1
（1）y=2x2-2ax+a2 (2) 有.当点E是AB的中点时，面积最大.
【解析】本题考查了二次函数的应用.
（1）先由AAS证明△AEF≌△DHE，得出AE=DH=x米，AF=DE=（a-x）米，再根据勾股定理，求出EF2，即可得到S与x之间的函数关系式；
（2）先将（1）中求得的函数关系式运用配方法写成顶点式，再根据二次函数的性质即可求解．
解：∵四边形ABCD是边长为a米的正方形，
∴∠A=∠D=90°，AD= a米．
∵四边形EFGH为正方形，
∴∠FEH=90°，EF=EH．
在△AEF与△DHE中，
∵∠A=∠D，∠AEF=∠DHE=90°-∠DEH，EF=EH

∴△AEF≌△DHE（AAS），
∴AE=DH=x米，AF=DE=（a-x）米，
∴y=EF2=AE2+AF2=x2+（a-x）2=2x2-2ax+ a2，
即y=2x2-2ax+ a2；
（2）∵y=2x2-2ax+ a2=2（x-）2+，
∴当x=时，S有最大值．
故当点E是AB的中点时，面积最大．

二、 练习1
（1） （2） （3）
【解析】本题考查了二次函数的应用.
（1）本题需先根据已知条件把x=0代入抛物线的解析式，从而得出y的值，即可求出答案．
（2）通过抛物线的顶点坐标求得
（3）本题需先根据已知条件把y=0代入抛物线求出所要求的式子，再得出x的值，即可求出答案．
解：（1）把x=0代入抛物线的解析式
得：y=，即柱子OA的高度是
（2）由题意得：当x=时，y=,即水流距水平面的最大高度
（3）把y=0代入抛物线
得：=0，解得，x1=(舍去，不合题意)，x2=
故水池的半径至少要米才能使喷出的水流不至于落在池外
2．（1）①；②10；（2）①14.5；②．
【解析】
试题分析：（1）①利用待定系数法求函数解析式即可；②根据题意得出y=3时，求出x的值即可；
（2）①构造直角三角形利用BW2=BC2+CW2，求出即可；
②在RT△WGF中，由题可知，WF=14.5，WG=14.5﹣1=13.5，根据勾股定理知：GF2=WF2﹣WG2，求出即可．
试题解析：（1）①设抛物线解析式为：，∵桥下水面宽度AB是20米，高CD是4米，∴A（﹣10，0），B（10，0），D（0，4），∴，解得：，∴抛物线解析式为：；
②∵要使高为3米的船通过，∴，则，解得：，∴EF=10米；
（2）①设圆半径r米，圆心为W，∵BW2=BC2+CW2，∴，解得：；
②在RT△WGF中，由题可知，WF=14.5，WG=14.5﹣1=13.5，根据勾股定理知：GF2=WF2﹣WG2，即GF2=14.52﹣13.52=28，所以GF=，此时宽度EF=米．

考点：1．二次函数的应用；2．垂径定理的应用．
三、1．(1）y=-3x+240；(2)w=-3x2+360x-9600；(3)定价为55元时，可以获得最大利润是1125元.
【解析】
试题分析：（1）根据题意知销售量y(只)与销售价x(元／只)之间的函数关系式为y=90-3（x-50）=-3x+240；
(2)根据“总利润=每件商品的利润×销售量”可知w=（x-40）y=（x-40）（-3x+240）=-3x2+360x-9600；
(3)求获得最大利润，也就是求函数w=-3x2+360x-9600的最大值.
试题解析：( 1）y=90-3（x-50）即y=-3x+240；
（2）w=（x-40）y=（x-40）（-3x+240）=-3x2+360x-9600；
(3)当x≤60，y随x的增大而减小，
当x=55时，w最大=1125
所以定价为55元时，可以获得最大利润是1125元.
考点：（1）一次函数；（2）二次函数．
2．（1）；（2）该产品销售价定为每千克30元时，每天销售利润最大，最大销售利润200元.
【解析】
试题分析：（1）根据销售额=销售量×销售价单x，列出函数关系式；（2）用配方法将（2）的函数关系式变形，利用二次函数的性质求最大值.
试题解析：（1）由题意得：，
∴w与x的函数关系式为：.
（2），
∵﹣2＜0，∴当x=30时，w有最大值．w最大值为200.
答：该产品销售价定为每千克30元时，每天销售利润最大，最大销售利润200元.
考点：1.二次函数的应用；2.由实际问题列函数关系式；3.二次函数的最值.
3．见解析
【解析】
试题分析：（1）因为当x=1时，y=1.4；当x=3时，y=3.6，代入
得 解得 ，所以，二次函数解析式为y=-0.1x2+1.5x；
（2）设购进A产品m吨，购进B产品（10-m）吨，销售A、B两种产品获得的利润之和为W元，根据题意可列函数关系式为：W=-0.1m2+1.5m+0.3（10-m）=-0.1m2+1.2m+3=-0.1（m-6）2+6.6，因为-0.1＜0，根据二次函数的性质知当m=6时，W有最大值6.6，
试题解析：（1）∵当x=1时，y=1.4；当x=3时，y=3.6，
∴
解得 ，
所以，二次函数解析式为y=-0.1x2+1.5x； 3分
（2）设购进A产品m吨，购进B产品（10-m）吨，销售A、B两种产品获得的利润之和为W元，
则W=-0.1m2+1.5m+0.3（10-m）=-0.1m2+1.2m+3=-0.1（m-6）2+6.6，
∵-0.1＜0，
∴当m=6时，W有最大值6.6，
∴购进A产品6吨，购进B产品4吨，销售A、B两种产品获得的利润之和最大，最大利润是6.6万元．
考点：1.待定系数法求解析式.2.二次函数性质.
4．（1）政府这个月为他承担的总差价为600元；（2）当销售单价定为30元时，每月可获得最大利润4000；（3）销售单价定为25元时，政府每个月为他承担的总差价最少为500元.
【解析】
试题分析：（1）根据每月销售量（件）与销售单价（元）之间的关系可求得每月销售量，又由单价和成本间关系得到每件节能灯的差价，则可得到总差价.（2）求每月可获得最大利润，即为求该二次函数的最大值，将二次函数配方法，可得该函数的最大值.（3）同时满足，根据函数图象的性质知道，随的增大而减小，当时，该函数有最大值时，有最小值500.
试题解析：（1）当时，，，
∴政府这个月为他承担的总差价为600元。
（2）依题意得，，
，
∴当时，有最大值4000.
∴当销售单价定为30元时，每月可获得最大利润4000．
（3）由题意得：，
解得：，.
，抛物线开口向下，
∴结合图象可知：当时，.
又，∴当时，w≥3000.
设政府每个月为他承担的总差价为元，.
，随的增大而减小.
∴当时，有最小值500.
∴销售单价定为25元时，政府每个月为他承担的总差价最少为500元.

【考点】1.二次函数的性质；2.二次函数的图象；3.二次函数的综合应用.
5．（1）（220－10x）；（2）（３）当x=14时，该文具店这种签字笔平均每周的销售利润最大是320元．
【解析】
试题分析：用含的式子表示文具店这种签字笔平均每周的销售量为（220－10x）个，列出函数关系式，再运用二次函数的性质解决问题，由题意可知所以x=1４时，最大为320.
试题解析：（1）（220－10x）；
（2） 3分
5分

6分
∵抛物线的开口向下，在对称轴直线x=16的左侧，随的增大而增大.8分
由题意可知， 9分
∴当x=14时，最大为320.
∴当x=14时，该文具店这种签字笔平均每周的销售利润最大是320元.
考点：１．根据实际问题列函数关系式．　２．二次函数的性质．
6．解：（1）由表格数据可知y与x是一次函数关系，设其解析式为，
将（3000，100），（3200，96）代入得，解得： 。
∴。
将（3500，90），（4000，80）代入检验，适合。
∴y与x间的函数关系是。
（2）填表如下：
租出的车辆数

未租出的车辆数

租出每辆车的月收益

所有未租出的车辆每月的维护费

（3）设租赁公司获得的月收益为W元，依题意可得：

当x=4050时，Wmax=307050，
∴当每辆车的月租金为4050元时，公司获得最大月收益307050元
【解析】
试题分析：（1）判断出y与x的函数关系为一次函数关系，再根据待定系数法求出函数解析式。
（2）根据题意可用代数式求出出租车的辆数和未出租车的辆数即可。
（3）租出的车的利润减去未租出车的维护费，即为公司最大月收益。

试卷第13页，总13页