计算方法A上机实验报告.doc
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1、计算方法A上机实验报告姓名:苏福 班级:硕4020 学号:3114161019一、上机练习目的1)复习和巩固数值计算方法的基本数学模型,全面掌握运用计算机进行数值计算的具体过程及相关问题。2)利用计算机语言独立编写、调试数值计算方法程序,培养学生利用计算机和所学理论知识分析解决实际问题的能力。二、上机练习任务1)利用计算机语言编写并调试一系列数值方法计算通用程序,并能正确计算给定题目,掌握调试技能。2) 掌握文件使用编程技能,如文件的各类操作,数据格式设计、通用程序运行过程中文件输入输出运行方式设计等。3)写出上机练习报告。三、上机题目1. 共轭梯度法求解线性方程组。 (第三章)2. 三次样条
2、插值(第四章)3. 龙贝格积分(第六章)4. 四阶龙格库塔法求解常微分方程的初值问题四、上机报告题目1:共轭梯度法求解线性方程组1 算法原理共轭梯度法是把求解线性方程组的问题转化为求解一个与之等价的二次函数极小值的问题。从任意给定的初始点出发,沿一组关于矩阵共轭的方向进行线性搜索,在无舍入误差的假定下,最多迭代次(其中为矩阵的阶数),就可求得二次函数的极小值,也就求得了线性方程组的解。 定理:设是阶对称正定矩阵,则是方程组的解得充分必要条件是是二次函数的极小点,即共轭梯度法的计算公式:2. 程序框图3. MATLAB编程实现(1)编写共轭梯度法求解对称正定矩阵的线性方程组见附录(myge.m)
3、:function x=myge(A,b)输入对称正定矩阵及对应的列向量,初始向量设为0,精度取为。函数的输出即为由共轭梯度发求解的近似解。(2)编写具体算例求解(example.m):clcclear all%例题3.4.2A0=2,0,1;0,1,0;1,0,2;b0=3,1,3;myge(A0,b0);%习题3.2n=100; %矩阵阶数A=zeros(n,n);b=zeros(n,1);b(1)=-1;b(n)=-1;A(1,1)=-2;A(1,2)=1;A(n,n-1)=1;A(n,n)=-2;for i=2:n-1 A(i,i-1)=1; A(i,i)=-2; A(i,i+1)=1
4、;endmyge(A,b);算例1(课本例题3.4.2):算例2(课后习题计算实习3.2):4. 算例结果算例1:x = 1.000000000000000 1.000000000000000 1.000000000000000迭代次数:k = 2算例2(n=100):x = 0.999999999999999 1.000000000000005 0.999999999999982 1.000000000000038 0.999999999999976 1.000000000000013 1.000000000000000 1.000000000000008 0.999999999999984
5、 1.000000000000017 0.999999999999977 1.000000000000052 0.999999999999942 1.000000000000058 0.999999999999974 1.000000000000011 0.999999999999992 1.000000000000028 0.999999999999983 1.000000000000008 1.000000000000021 0.999999999999977 1.000000000000027 0.999999999999987 1.000000000000031 0.999999999
6、999966 1.000000000000043 0.999999999999985 1.000000000000019 0.999999999999993 1.000000000000022 0.999999999999990 1.000000000000019 1.000000000000006 1.000000000000004 1.000000000000011 0.999999999999996 1.000000000000022 0.999999999999991 1.000000000000026 0.999999999999996 1.000000000000018 1.000
7、000000000004 1.000000000000014 1.000000000000012 1.000000000000008 1.000000000000009 1.000000000000015 1.000000000000010 1.000000000000012 1.000000000000012 1.000000000000010 1.000000000000015 1.000000000000007 1.000000000000015 1.000000000000007 1.000000000000012 1.000000000000007 1.000000000000019
8、 1.000000000000001 1.000000000000023 0.999999999999992 1.000000000000021 0.999999999999997 1.000000000000021 0.999999999999984 1.000000000000029 0.999999999999985 1.000000000000030 0.999999999999986 1.000000000000026 0.999999999999974 1.000000000000054 0.999999999999951 1.000000000000062 0.999999999
9、999943 1.000000000000078 0.999999999999934 1.000000000000060 0.999999999999968 1.000000000000021 0.999999999999990 1.000000000000019 0.999999999999999 1.000000000000012 0.999999999999978 1.000000000000042 0.999999999999963 1.000000000000057 0.999999999999933 1.000000000000063 0.999999999999960 1.000
10、000000000034 0.999999999999974 1.000000000000025 0.999999999999969 1.000000000000054 0.999999999999955 1.000000000000022 0.999999999999988迭代次数:k =50对于n=200,400,编写的程序的计算结果显示可靠,满足精度要求。题目2: 三次样条插值1. 算法原理设在区间上给定个节点,在节点处的函数值为。若函数满足如下三条:(1) 在每个子区间上,是三次多项式;(2) ;(3) 在区间上,的二阶导数连续。则称为函数在区间上的三次样条插值函数。子区间上的的表达式
11、为:关于参数的方程组(三弯矩方程组):牛顿插值多项式:构造牛顿插值多项式首先列出差商表,进而由差商表写出牛顿插值多项式。阶差商为:零阶差商和一阶差商:2. 程序框图3. MATLAB编程实现给定函数,取等距节点。编写三次样条插值函数见附录(myspline.m):function Sx=myspline(n)输入为区间个数,输出为各区间上的三次样条插值函数。编写牛顿插值函数见附录(myNewton.m):function Nx=myNewton(n)输入为区间个数,输出为牛顿插值函数。编写main函数(main.m):clcclear allx=-1:0.001:1;y=1./(1+25*x.
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