奥数18面积计算.doc

第十八周 面积计算（一）

专题简析：
计算平面图形的面积时，有些问题乍一看，在已知条件与所求问题之间找不到任何联系，会使你感到无从下手。这时，如果我们能认真观察图形，分析、研究已知条件，并加以深化，再运用我们已有的基本几何知识，适当添加辅助线，搭一座连通已知条件与所求问题的小“桥”，就会使你顺利达到目的。有些平面图形的面积计算必须借助于图形本身的特征，添加一些辅助线，运用平移旋转、剪拼组合等方法，对图形进行恰当合理的变形，再经过分析推导，方能寻求出解题的途径。

例题1。
18－1
A
B
C
F
E
D
A
B
C
F
E
D
已知图18－1中，三角形ABC的面积为8平方厘米，AE＝ED，BD=BC，求阴影部分的面积。

18－1

【思路导航】阴影部分为两个三角形，但三角形AEF的面积无法直接计算。由于AE=ED,连接DF，可知S△AEF=S△EDF（等底等高），采用移补的方法，将所求阴影部分转化为求三角形BDF的面积。
因为BD=BC，所以S△BDF＝2S△DCF。又因为AE＝ED，所以S△ABF＝S△BDF＝2S△DCF。
因此，S△ABC＝5 S△DCF。由于S△ABC＝8平方厘米，所以S△DCF＝8÷5＝1.6（平方厘米），则阴影部分的面积为1.6×2＝3.2（平方厘米）。
练习1
1、 如图18－2所示，AE＝ED，BC=3BD，S△ABC＝30平方厘米。求阴影部分的面积。
2、 如图18－3所示，AE=ED，DC＝BD，S△ABC＝21平方厘米。求阴影部分的面积。
A
A
B
C
F
E
D
A
3、 如图18－4所示，DE＝AE，BD＝2DC，S△EBD＝5平方厘米。求三角形ABC的面积。

F
F
E

E

D
B
C
C
D
B

18－4
18－3
18－2

例题2。
两条对角线把梯形ABCD分割成四个三角形，如图18－5所示，已知两个三角形的面积，求另两个三角形的面积各是多少？
B
C
D
A
O

6

12

18－5

【思路导航】已知S△BOC是S△DOC的2倍，且高相等，可知：BO＝2DO；从S△ABD与S△ACD相等（等底等高）可知：S△ABO等于6，而△ABO与△AOD的高相等，底是△AOD的2倍。所以△AOD的面积为6÷2＝3。
因为S△ABD与S△ACD等底等高 所以S△ABO＝6
因为S△BOC是S△DOC的2倍 所以△ABO是△AOD的2倍
所以△AOD＝6÷2＝3。
答：△AOD的面积是3。
练习2
1、 两条对角线把梯形ABCD分割成四个三角形，（如图18－6所示），已知两个三角形的面积，求另两个三角形的面积是多少？
2、 已知AO＝OC，求梯形ABCD的面积（如图18－7所示）。
B
C
D
A
O
3、 已知三角形AOB的面积为15平方厘米，线段OB的长度为OD的3倍。求梯形ABCD的面积。（如图18－8所示）。
B
C
D
A
O

4
B
C
D
A
O

8
4

8

18－8
18－7

18－6

例题3。
D
四边形ABCD的对角线BD被E、F两点三等分，且四边形AECF的面积为15平方厘米。求四边形ABCD的面积（如图18－9所示）。

F
A

E

18－9
C
B

【思路导航】由于E、F三等分BD，所以三角形ABE、AEF、AFD是等底等高的三角形，它们的面积相等。同理，三角形BEC、CEF、CFD的面积也相等。由此可知，三角形ABD的面积是三角形AEF面积的3倍，三角形BCD的面积是三角形CEF面积的3倍，从而得出四边形ABCD的面积是四边形AECF面积的3倍。
15×3＝45（平方厘米）
答：四边形ABCD的面积为45平方厘米。
练习3
1、 四边形ABCD的对角线BD被E、F、G三点四等分，且四边形AECG的面积为15平方厘米。求四边形ABCD的面积（如图18－10）。
2、 已知四边形ABCD的对角线被E、F、G三点四等分，且阴影部分面积为15平方厘米。求四边形ABCD的面积（如图18－11所示）。
3、 如图18－12所示，求阴影部分的面积（ABCD为正方形）。
6
E
A
D
A
D
D

E
G
A

4
F

·
F
G

C
B
C
B
E
C
B

18－12
18－11
18－10

例题4。
B
A
D
C
O
如图18－13所示，BO＝2DO，阴影部分的面积是4平方厘米。那么，梯形ABCD的面积是多少平方厘米？

E

18－13

【思路导航】因为BO＝2DO，取BO中点E，连接AE。根据三角形等底等高面积相等的性质，可知S△DBC＝S△CDA；S△COB＝S△DOA＝4，类推可得每个三角形的面积。所以，
S△CDO＝4÷2＝2（平方厘米） S△DAB＝4×3＝12平方厘米
S梯形ABCD＝12+4+2＝18（平方厘米）
答：梯形ABCD的面积是18平方厘米。
练习4
1、 如图18－14所示，阴影部分面积是4平方厘米，OC＝2AO。求梯形面积。
2、 已知OC＝2AO，S△BOC＝14平方厘米。求梯形的面积（如图18－15所示）。
D
3、 已知S△AOB＝6平方厘米。OC＝3AO，求梯形的面积（如图18－16所示）。
O
A
D
A
B
A
D
C
O

O

18－16
C
B
18－15
18－14
C
B

例题5。
如图18－17所示，长方形ADEF的面积是16，三角形ADB的面积是3，三角形ACF的面积是4，求三角形ABC的面积。
A
F
F
A

C
C

E

D
E
D
B

18－17

【思路导航】连接AE。仔细观察添加辅助线AE后，使问题可有如下解法。
由图上看出：三角形ADE的面积等于长方形面积的一半（16÷2）＝8。用8减去3得到三角形ABE的面积为5。同理，用8减去4得到三角形AEC的面积也为4。因此可知三角形AEC与三角形ACF等底等高，C为EF的中点，而三角形ABE与三角形BEC等底，高是三角形BEC的2倍，三角形BEC的面积为5÷2＝2.5，所以，三角形ABC的面积为16－3－4－2.5＝6.5。
练习5
1、 如图18－18所示，长方形ABCD的面积是20平方厘米，三角形ADF的面积为5平方厘米，三角形ABE的面积为7平方厘米，求三角形AEF的面积。
2、 如图18－19所示，长方形ABCD的面积为20平方厘米，S△ABE＝4平方厘米，S△AFD＝6平方厘米，求三角形AEF的面积。
3、 如图18－20所示，长方形ABCD的面积为24平方厘米，三角形ABE、AFD的面积均为4平方厘米，求三角形AEF的面积。
A
D
D
C
B
A
F
D
A

F

F

C
C

E
B
E
18－19
B
E

18－20
18－18

答案：
练1
1、 30÷5×2＝12平方厘米
2、 21÷7×3＝9平方厘米
3、 5×3÷＝22平方厘米
练2
1、 4÷2＝2 8÷2＝4
2、 8×2＝16 16+8×2+4＝36
3、 15×3＝45 15+5+15+45＝80
练3
1、 15×2＝30平方厘米
2、 15×4＝60平方厘米
3、 6×6÷2－6×4÷2＝6平方厘米 6×2÷4＝3平方厘米
（6+3）×6÷2＝27平方厘米
练4
1、 4×2＝8平方厘米 8×2＝16平方厘米
16+8+8+4＝36平方厘米
2、 14÷2＝7平方厘米 7÷2＝3.5平方厘米
14+7+7+3.5＝31.5平方厘米
3、 6×（3+1）＝24 6÷3＝2 24+6+2＝32
练5
1、 20÷2－7＝3 3×＝1.5 20－7－5－1.5＝6.5
2、 20÷2＝10 （10－4）×＝2 20－6－4－2＝7
3、 24÷2＝12平方厘米 （12－4）×（1－）＝5平方厘米
24－4－4－5＝10平方厘米