概率论复习题及答案-(2).doc

概率论与数理统计复习题
一．事件及其概率
1. 设 A, B, C 为三个事件，试写出下列事件的表达式：
(1) A, B, C 都不发生； (2) A, B, C 不都发生； (3) A, B, C 至少有一个发生； (4) A, B, C 至多有一个发生。
解： (1) ABC A B C
(2) ABC A B C
(3) A B C
(4) BC AC AB
2. 设 A , B为两相互独立的随机事件 , P( A) 0.4 , P( B) 0.6, 求 P(A B), P(A B), P( A | B) 。
解： P(A B) P( A) P(B) P( AB) P(A) P(B) P(A)P( B) 0.76 ；
P(A B) P( AB) P(A)P(B) 0.16, P( A| B) P( A) 0.4。
3. 设 A, B 互斥， P(A) 0.5， P(A B) 0.9 ，求 P( B), P(A B) 。
解： P(B) P(A B) P(A) 0.4, P(A B) P( A) 0.5 。
4. 设 P( A) 0.5, P(B) 0.6, P(A | B) 0.5 ，求 P(A B), P( AB) 。
解： P(AB) P(B)P(A | B) 0.3, P( A B) P( A) P(B) P( AB) 0.8,
P( A B) P( A B) P( A) P( A)B 。0. 2
5. 设 A, B, C 独立且 P( A) 0.9, P(B) 0.8, P(C ) 0.7, 求 P(A B C) 。
解： P(A B C) 1 P( A B C) 1 P( ABC ) 1 P( A) P(B)P(C ) 0.994 。
6. 袋中有 4 个黄球， 6 个白球，在袋中任取两球，求
(1) 取到两个黄球的概率；
(2) 取到一个黄球、一个白球的概率。

解： (1)

P

2
C
C
4
2
10

2
15

；(2)

P

1 1
C C
4 6
2
C
10

8
15

。
7. 从 0 ~ 9 十个数字中任意选出三个不同的数字，求三个数字中最大数为 5的概率。

解：

P

1 2
C C
1 5
3
C
10

1
12

。
1
8. 从 (0,1) 中任取两数，求两数之和小于 0.8 的概率。

解：

1
0.8 0.8
2 0.32
P 。
1
9. 甲袋中装有 5只红球， 15 只白球，乙袋中装有 4 只红球， 5 只白球，现从甲袋中任取一球放入乙袋中，
再从乙袋中任取一球，问从乙袋中取出红球的概率为多少？
解：设 A “从甲袋中取出的是红球 ”， B “从乙袋中取出的是红球 ”，则：
1 3 1 2
P( A) , P ( A ) ,P (B |A ) ,P B( A| ) ,
4 4 2 5
由全概率公式得：
17
P(B) P(A)P( B | A) P( A) P(B | A) 。
40
10. 某大卖场供应的微波炉中， 甲、乙、丙三厂产品各占 50%、40%、10%，而三厂产品的合格率分别为 95%、
85%、80%，求
(1) 买到的一台微波炉是合格品的概率；
(2) 已知买到的微波炉是合格品，则它是甲厂生产的概率为多大？
解： (1) 设 A1 ,A2 ,A3 分别表示买到的微波炉由甲、乙、丙厂生产， B 表示买到合格品，则
P( A ) 0. 5P, A( ) 0.P4 ,A ( ) P0. B1, A( | ) P 0.B9 5A, ( | P) B0. A,8 5 , ( | )
1 2 3 1 2 3
3
由全概率公式得 P( B) P( Ai ) P(B | Ai ) 0.895 ；
i 1

(2)

P( A | B)
1

P( A B) P(A )P(B | A ) 0.475 95
1 1 1
P(B) P(B) 0.895 179

。
二．一维随机变量及其数字特征
1. 已知 X 的概率密度函数 f (x)

kx 1, 0 x 2
0, else

，求

1
k, P X , EX 。
2

解：

2
1
f (x )dx (kx 1)dx 2k 2 1 k ,
0
2

1 1 9
2
P X x 1 d x ，
1
2 2 1 6
2

2 1 2
EX x x 1 dx 。
0
2 3
2. 设 X ~ B(3 , 0.1)，求 P X 2 , P{ X 1} 。

解：

2 2 3
P{ X 2} C (0.1) (0.9) 0.027, P{ X 1} 1 P{ X 0} 1 0.9 0.271。
3
3. 设三次独立随机试验中事件 A 出现的概率相同， 已知事件 A 至少出现一次的概率为
验中出现的概率 p 。

37
64

，求 A 在一次试
解：三次试验中 A 出现的次数 X ~ B (3, p) ，由题意：
2
37 1 0 0 3 3
P{ X 1} 1 P X 0 1 C3 p (1 p) 1 (1 p) p 。
64 4
1000
, x 1000
11. 某种灯管的寿命 X （单位：小时）的概率密度函数为 2
f ( x) x

，
0, else
(1) 求 P{ X 1500} ；
(2) 任取 5只灯管，求其中至少有 2 只寿命大于 1500 的概率。

解： (1)

1000 2
P{ X 1500} dx
2
1500 x
3

；

(2) 设5 只灯管中寿命大于 1500 的个数为 Y ，则

2
Y ~ B 5, ，故
3
5 4
1 2 1 232
P{Y 2} 1 P{Y 0} P{Y 1} 1 5 。
3 3 3 243
12. 设 X ~ B(n, p), EX 1.6, DX 1.28, 求 n, p 。
解： EX np 1.6, DX np (1 p) 1.28 n 8, p 0.2。
13. 设 X ~ (2) ，求

2
P{ X 2}, E(X 2X 3)。

解：

2
P{ X 2} 1 3e ，
2
2 2
E(X 2X 3) E( X ) 2EX 3 EX DX 2EX 3 4 2 4 3 7 。
14. 设 X ~ U [ 1,6 ] ，求 P 4 X 2 。

解：

1
f (x) 7
0,

, 1 x 6
else

，

1 3
2 1 2
P 4 X 2 f ( x)dx 0dx dx 。
4 1
4 7
7
15. 设 X 服从 ( 1,5 ) 上的均匀分布，求方程

2 1 0
t Xt 有实根的概率。

解：

1
f (x) 6
0,
, 1 x 5
else

，

5 1 1
2
P{ 0} P{ X 4 0} dx 。
2
6 2
16. 设 X ~ U [1,3] ，求 EX , DX , E

1
X

。

解：

1
2
(3 1) 1 , 1 x 3 1 1 1 1
3
EX 2, DX , f (x) 2 , E dx ln3
12 3 X x 2 2
1
0, else

。
3
17. 设某机器生产的螺丝长度 X ~ N (10.05,0.0036) 。规定长度在范围 10.05 0.12内为合格，求螺丝不合
格的概率。
解：螺丝合格的概率为

P 10.05 0.12 X 10 .05 0 .12 P

0 .12
0.9 06

X

4. 05
0 .06

0 .12
0 .06
(2) ( 2) 2 (2) 1 0.9544
故螺丝不合格的概率为 1 0.9544 0.0456 。
5. 设 X ~ N (0,4) ，Y 2X 3000 ，求 EY 、 DY 及Y 的分布。
解： EY 2EX 3000 3000, DY 4DX 16, Y ~ N (3000,16) 。
6. 设 X 与Y 独立，且 X ~ N (1,1) , Y ~ N (1,3), 求 E(2 X Y), D(2 X Y)。
解： E(2X Y) 2EX EY 1, D(2 X Y) 4DX DY 7 。
7. 设

1
X ~ (4), Y ~ B 4, , 0.6, 求 D(3 X 2Y) 。
XY
2
解： (3 2 ) 9 4 12 25.6
D X Y DX DY DX DY 。
XY
8. 设 X ~ U [ 1,2 ] ，求 Y X 的概率密度函数。
解： F ( y) P Y y P{ X y}
Y
(1) 当 y 0时， FY ( y) 0；
1 2 y
(2) 当 0 y 1时， F ( y) dx y ；
Y 3
y 3

(3) 当1 y 2 时，

1 1 y 1
y
FY ( y) 0dx dx ；
y 1 3
3
(4) 当 y 2时， FY ( y) 1；

故

F (y)
Y

0, y 0
2
3

y, 0 y 1

y

3

1
, 1 y 2

，

2
3
, 0 y 1
1
f (y) F ( y) , 1 y 2
Y Y
3
0, else

。
1, y 2
三．二维随机变量及其数字特征
1. 已知 (X,Y) 的联合分布律为：
4

Y
X

1 1 2
5 0.1 0.4 0
5 0.2 a 0.2
(1) 求 a ；
(2) 求 P X 0,Y 1 , P{Y 1| X 5} ；
(3) 求 X ,Y 的边缘分布律；
(4) 求 XY ；
(5) 判断 X ,Y 是否独立。
解： (1) a 0.1;
(2) 0.3, 0.2 ；
(3) X : 0.5, 0.5; Y : 0.3, 0.5, 0.2；
(4) EX 0, EY 0.6, E( XY) 0 cov( X,Y) 0, XY 0 ；

(5)

18. 0.4
19. 0.1

，不独立。
0.10 已知 (X,Y) 的联合分布律为：

X
Y

1 0 2

0 a

1
9

1
6

1

1
9

b

1
3
且 X 与Y 相互独立，求：
(1) a,b 的值；
(2) P{ XY 0} ；
(3) X, Y 的边缘分布律；
(4) EX , EY, DX , DY ；
(5) Z XY 的分布律。
1 1

解： (1)

a 1 2
9 6 ,
a b
1 1 18 9
b
9 3

;
5

(2)

4 5
P{ XY 0} 1 P{ XY 0} 1 ；
9 9

(3)

1 1 1 1 2
X : , , ; Y : , ；
6 3 2 3 3

(4)

5 13 53 2 2 2
2 2 2 2 2 2
EX , EX , DX EX (EX ) , EY , EY , DY EY (EY) ；
6 6 36 3 3 9

(5)

1 5 1
P{ Z 1} , P{ Z 0} , P{Z 2} 。
9 9 3
20. 已知 ( X ,Y) 的概率密度函数为

f (x, y)

c(x y), 0 x 2,0 y 1
0, else
，求：
(1) 常数 c；
(2) 关于变量 X 的边缘概率密度函数 fX ( x) ；
(3) E( X Y) 。

解： (1)

2 1 2
1 1
f (x, y )dxdy dx c(x y )dy c x dx 2c c 3c 1 c ；
0 0 0
2 3

(2)

1 1 1
1
(x y) dy x , 0 x 2
f (x) f (x, y)dy 3 3 2
0
X
0, else

；

(3)

1 16
2 1
2
E( X Y) ( x y) f (x, y) dxdy dx ( x y) dy 。
0 0 9
3
21. 设 (X ,Y) 的概率密度函数为： f ( x, y)

Axy, 0 x 1,0 y x
0, else

，
(1) 求 A ；
(2) 求 ( ), ( )
f x f y ；
X Y
(3) 判断 X ,Y 是否独立；

(4) 求

1
P Y , P X Y 1 ；
2
(5) 求 cov( X ,Y) 。

解：(1)

1 x A
dx Axydy 1 A 8 ；
0 0 8

(2)

f (x) f (x, y )dy
X

x
0

3
8xydy 4x , 0 x 1

，
0, else
6

f (y) f (x, y )dx
Y

1 2
8 xydx 4 y(1 y ), 0 y 1
y

；
0, else
(3) f (x, y) fX (x) fY (y) X, Y 不独立；

(4)

1 15
1
3
P X 4x dx ，
1
2 16
2

1/2 1 y
1
P X Y 1 dy 8 xydx ；
0 y
6

(5)

4 8 4 4
EX , EY , E( XY) , cov( X ,Y) E(XY) E(X )E(Y) 。
5 15 9 225
四．中心极限定理
22. 某种电器元件的寿命服从指数分布 E(0.01) （单位：小时） ，现随机抽取 16只，求其寿命之和大于 1920
小时的概率。
16

解：设第 i 只电器元件的寿命为 X (i 1,2, ,16), 则 E(X ) 100, D(X ) 10000。令
i i i

X X ，
i
i 1
则 EX 1600, DX 160000 。由中心极限定理得
X 1600 1920 1600
P X 1920 P 0.8 1 (0.8) 0.2119。
160000 400
23. 生产灯泡的合格率为 0.8，记10000 个灯泡中合格灯泡数为 X ，求
(1) E( X )与 D(X ) ；
(2) 合格灯泡数在 7960 ~ 8040 之间的概率。
解： (1) X ~ B(10000,0,8), E(X ) 10000 0.8 8000, D(X ) 10000 0.8 0.2 1600 ；
(2) 由中心极限定理得

P 7960 X 8040 p

7960
40

8000 X

8000
40

8040

8000
40

(1)

(

1)
2 (1) 1 0 .6826 。
24. 有一批建筑房屋用的木柱， 其中 80% 的长度不小于 3m ，现从这批木柱中随机地取 100根，问至少有 30
根短于 3m 的概率是多少？
解：设这 100根木柱中短于 3m 的个数为 X ，则
X ~ B(100,0.2), EX 100 0.2 20, DX 100 0.2 0.8 16 ；

由中心极限定理得

X EX 30 20
P X 30 P 2.5 1 (2.5) 0.0062
。
DX 16
25. 某单位设置一电话总机，共有 200 架电话分机。设每个电话分机是否使用外线通话相互独立，设每时刻
每个分机有 0.05 的概率要使用外线通话。 问总机至少需要多少外线才能以不低于 0.9的概率保证每个分
7
机要使用外线时可供使用 ?
解：设至少需要 k 条外线。使用外线的分机数 X ~ B(200,0.05) ，
EX 200 0.05 10, DX 200 0.05 0.95 9.5 。
由中心极限定理得：

P X k P

X EX k 10 k 10
DX 9.5 9.5

26.

k

10
0.11

9. k 13.9452 。
五．抽样分布
2. 从一批零件中抽取 6个样本，测得其直径为 1.5,2,2.3,1.7,2.5,1.8 ，求

2
x, s 。

解：

6 6
1 1
2 2
x x 1.9667, s (x x) 0.1427 。
i i
6 5
i 1 i 1
3. 设 X1, X2 是来自正态总体 N (0,9) 的简单随机样本，已知

2
Y a(X1 X ) 服从
2

2

分布，求 a。

解：

2
X X X X 1
1 2 1 2 2
X X ~ N (0,18) ~ N (0,1) ~ (1) a 。
1 2
18 18
18
4. 总体 X ~ N (72,100) ，
(1) 对容量 n 50 的样本，求样本均值 X 大于 70 的概率；
(2) 为使 X 大于 70 的概率不小于 0.95 ，样本容量至少应为多少？

解： (1)

70 72
X ~ N 72,2 , P( X 70) 1 1 ( 2) ( 2) 0.92；
2

(2)

100 70 72 n n
X ~ N 72, , P(X 70) 1 1 0.95
n n 5 5
100 /

n
5

1.645 67.65
n 。
5. 设

X1,X2, ,X10 取自正态总体 N (0,0.09) ，求

10
2
P X 1.44 。
i
i 1
n

2
(
X
)
i
i 1 n
2
解：由于 ~ ( )
2

，故

10
2 2
P{ Xi 1.44} P{ (10) 16} 0.1。
i 1
8
27. 设 X1, X2, , Xn 来自总体

2
X ~ N( , )，

2
S 为样本方差，求

ES DS 。 2, 2
2, 2

解：

2 2 2
(n 1)S
2 2 2 2
~ (n 1), E( S ) E (n 1) (n 1) ,
2
n 1 n 1

2 4 4
2
2 2
D(S ) D (n 1) 2(n 1)
2
n 1 (n 1) n 1

。
六．参数估计
0.12 设随机变量 X ~ B(n, p) ，其中 n已知。 X 为样本均值 , 求 p 的矩估计量。

解： EX np X p? X
n

。
1
, x 1
0.13 设总体 X 的概率密度函数为： f (x) 1
，其中 是未知参数，求 的矩估计量。
0, else

解：

1 ? 2 1
EX X X 。
2
0.14 设总体 X 的分布律为
X 1 2 3
P 1 2
现有样本： 1,1,1, 3,1, 2, 3, 2, 2,1, 2, 2, 3,1,1, 2，求 的矩估计值与最大似然估计值。

解： (1)

3 X
?
EX 2 3(1 2 ) 3 3 X ，将
3

7
x 代入得
4

?

5
12

；
(2) 似然函数 L P{ X1 1, X2 1, , X16 2}
7 6 3
P{ X 1} P{ X 1} P{ X 2} (1 2 )
1 2 16

对数似然函数 ln L 13ln 3ln(1 2 ) ，令

ln L 13 6
1 2

0

，得

?

13
23

。
0.15 设总体 X 的概率密度函数为

f (x)

x x 1, 0 1
1, 0 1
。
0, else
现测得 X 的8 个数据： 0.6, 0.4, 0.8, 0.6, 0.8, 0.7, 0.6, 0.6 ，求 的矩估计值和最大似然估计值。

解： (1)

1
1
E( X ) xf ( x)dx x x dx ，令 E(X ) X ，得
0
1
X 0.6375
? 1.76
；
1 X 1 0.6375
9

(2) 似然函数

1
n n n
1 n
L f ( x ) x x ，对数似然函数
i i i
i 1 i 1 i 1

n
ln L n ln ( 1) ln x ，令
i
i 1

ln L n

n
i 1

ln x 0 ，得
i

n 8
? 2.13
n
3.7626
ln x
i
i 1
。
2
0.16 设轴承内环的锻压零件的平均高度 X 服从正态分布 N( ,0.4 ) 。现在从中抽取 20 只内环，其平均高度
x 32.3 毫米，求内环平均高度的置信度为 95% 的置信区间。

解：

2

已知，置信区间为

X z , X z
n n
2 2

。将 x 32. 3, 0. 4, n 20, z0. 025 1. 96 代入，
得所求置信区间为 (32.125, 32.475)。
0.17 为了估计一批钢索所能承受的平均张应力 ( 单位： 千克力 / 平方米 ) ，从中随机地选取了 10 个样品作实验 ,
由实验所得数据算得： x 6720, s 220，设钢索所能承受的张应力服从正态分布 , 试在置信水平 95%
下求这批钢索所能承受的平均张应力的置信区间。

解：

2

未知，置信区间为

S S
X t (n 1), X t (n 1)
n n
2 2

。

将

x 6720, s 220, n 10, t (9) 2.2622代入，得所求置信区间为 (6562.6, 6877.4) 。
10.
0.18 冷铜丝的折断力服从正态分布，从一批铜丝中任取 10 根，测试折断力，得数据为
578，572，570，568，572，570，570，596，584，572
求： (1) 样本均值和样本方差； (2) 方差的置信区间（ 0.05 ）。

解： (1)

10 10
1 1
2 2
x x 575.2, s (x x) 75.73 ；
i i
10 9
i 1 i 1

(2) 未知，置信区间为

2 2
(n 1)s (n 1)s 9 75.73 9 75.73
, , (35.83, 252.40)
2 2
(n 1) (n 1) 19.0228 2.7004
1
2 2

。
七．假设检验
6. 某糖厂用自动打包机装糖，已知每袋糖的重量 ( 单位：千克 ) 服从正态总体分布 N( , 4 ) ，今随机地抽
查了 9 袋，称出它们的重量如下：
50 ，48，49，52，51，47，49，50，50
问在显著性水平 0.05下能否认为袋装糖的平均重量为 50 千克？

解：由题意需检验 H 0 : 50, H1 : 50 。

2

已知，拒绝域为

X
0
U z
/ n
2

1.646

，将
x 49.5556, 50, 2, n 9代入，得 U 0.6667 。未落入拒绝域中，故接受 H 0 ，即可以认
0
10
为袋装糖的平均重量为 50千克。
28. 某批矿砂的 5 个样本的含金量为：
0.19 , 3.27, 3.24, 3.26, 3.24
设测定值总体服从正态分布，问在显著性水平 0.1 下能否认为这批矿砂的金含量的均值为 3.25？

解：由题意需检验

2
H0 : 3.25,H1 : 3.25。
未知，拒绝域为

X
0
T t (n 1) 2.1318
，
S / n
2

将

x 3.252, 3.25, s 0.013,n 5代入得 T 0.344 。未落入拒绝域中，故接受 H 0 ，即可以认
0
为这批矿砂的含金量的均值为 3.25 。
29. 某种螺丝的直径 X ~ N( ,64) ，先从一批螺丝中抽取 10 个测量其直径，其样本均值 x 575.2 ，方差
2 68.16
s 。问能否认为这批螺丝直径的方差仍为 64 （ 0.05 ）？

解：由题意需检验

2 2
H0 : 64, H1 : 64。 未知，拒绝域为

2
(n 1)S
2 2
2 1
0 2

(n 1) 2.7或

2 2
2

(n 1) 19。将

2 2
n 10, s 68.16, 64 代入得
0

2 9.585。未落入拒绝域中， 故接受

H ，
0
即可以认为这批螺丝直径的方差仍为 64 。
30. 某厂生产的电池的寿命长期以来服从方差

2 5000 的正态分布。 现从一批产品中随机抽取 26 个电池，

测 得其寿命 的样本 方差

2 9200
s ，问 能否推 断这批电 池寿命 的波动 性较以 前有显 著的增大
（ 0.02 ）？

解：由题意需检验

2 2
H H 。 未知，拒绝域为
0 : 5000, 1 : 5000

2
(n 1)S
2 2 2
(n 1) (25) 41.566。将
0.02
2
0

2
n 26, s 9200代入得

2 46，落入拒绝域

中，故拒绝

H ，即能推断这批电池寿命的波动性较以前有显著增大。
0
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