解三角形题型总结.doc

解三角形题型分类解析

类型一：正弦定理
1、 计算问题：
例1、（2013•北京）在△ABC中，a=3，b=5，sinA=，则sinB=_________　

例2、已知ABC中，A，，则=．

例3、在锐角△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且2asinB=b．
求角A的大小；

2、三角形形状问题
例3、在中，已知分别为角A，B，C的对边，
1) 试确定形状。

2）若，试确定形状。

4）在中，已知，试判断三角形的形状。

5）已知在中，，且，试判断三角形的形状。

例4、（2016年上海）已知的三边长分别为3,5,7，则该三角形的外接圆半径等于______

类型二：余弦定理

1、 判断三角形形状：锐角、直角、钝角
在△ABC中，
若，则角是直角；
若，则角是钝角；
若，则角是锐角．
例 1、在△ABC中，若a=9,b=10,c=12,则△ABC的形状是_________。

2、 求角或者边
例2、（2016年天津高考）在△ABC中，若,BC=3， ,则AC=．

例 3、在△ABC中，已知三边长，，，求三角形的最大内角．

例 4、在△ABC中，已知a=7,b=3,c=5，求最大的角和sinC?

3、 余弦公式直接应用
例 5、：在ABC中，若，求角A．

例 6、：(2013重庆理20)在△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，
且a2＋b2＋ab＝c2.
(1)求C；

例7、设△的内角，，所对的边分别为，，. 若，则角

例8、（2016年北京高考） 在ABC中，.
（1）求 的大小；
（2）求 的最大值.

类型三：正弦、余弦定理基本应用
例1.【2015高考广东，理11】设的内角，，的对边分别为，，，若， ，，则.
例2.，则B等于。

例3.【2015高考天津，理13】在 中，内角 所对的边分别为 ，已知的面积为 ， 则的值为.

例4.在△ABC中，sin(C-A)=1 , sinB=，求sinA=。
例5.【2015高考北京，理12】在中，，，，则 ．

例6.若△的三个内角满足，则△
（A）一定是锐角三角形. （B）一定是直角三角形.
（C）一定是钝角三角形. (D)可能是锐角三角形，也可能是钝角三角形.
变：在中，若，则角的度数为
例7.△的三个内角满则A:B:C=1:2:3则a:b:c=.

例8.设的内角的对边分别为，且，,则

类型四：与正弦有关的解的个数
思路二：利用大边对大角进行筛选
例1：在△ABC中，bsinA＜a＜b，则此三角形有
A.一解B.两解 C.无解 D.不确定
例2：在中，分别根据下列条件解三角形，其中有两解的是【 】
A、，，； B、，，；
C、，，； D、，，。

例3：在中，

类型五：与有关的问题
例1：在△ABC中，sinA=2cosBsinC，则三角形为 _____________.

变：在△ABC中，已知，那么△ABC一定是。

例2:在中,角,,对应的边分别是,,.已知.
(I)求角的大小;
(II)若的面积,,求的值.

例3:△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知3acos C＝2ccos A，tan A＝，求B.

例4:在△ABC中，a, b, c分别为内角A, B, C的对边，且
（Ⅰ）求A的大小；（Ⅱ）求的最大值.

类型六：边化角，角化边
注意点:①换完第一步观察是否可以约分，能约分先约分
②怎么区分边化角还是角化边呢？若两边都是正弦首先考虑角化边，若sin,cos都存在时首先考虑边化角
例1:在△ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c，且满足csinA=acosC．
（Ⅰ）求角C的大小；

例2在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c.若3a＝2b，则的值为

例3.△ABC中，sin2A=sin2B+sin2C，则△ABC为
A. 直角三角形 B.等腰直角三角形 C.等边三角形 D.等腰三角形
例4：(2011·全国)△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，asin A＋csin C－asin C＝bsin B.
(1)求B；
(2)若A＝75°，b＝2，求a，c.

例5：（2016年四川高考）在△ABC中，角A,B,C所对的边分别是a,b,c,且.
（I）证明：；
（II）若，求.

例6：（2016年浙江高考）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c. 已知b+c=2acosB.
（I）证明：A=2B；
（II）若△ABC的面积，求角A的大小.

例7：的内角所对的边分别为.
（I）若成等差数列，证明：；
（II）若成等比数列，求的最小值.

类型七：面积问题
面积公式：
例1：设的内角所对边的长分别是，且b=3，c=1，
△ABC的面积为求cosA与a的值；

例2:在中，角的对边分别为，。
（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）求的面积.

例3：的内角，，所对的边分别为，，．向量与平行．
（I）求；
（II）若，求的面积

例4．在中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c且满足
(1)求△ABC的面积；(2)若c＝1，求a的值．

例5：（2013•浙江）在锐角△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且2asinB=b．
（Ⅰ）求角A的大小；
（Ⅱ）若a=6，b+c=8，求△ABC的面积．

例6：（2016年全国I高考）的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知
（I）求C；
（II）若的面积为，求的周长．

题型八：图形问题
例1：如图所示，货轮在海上以40 km/h的速度沿着方位角(指从正北方向顺时针转到目标方向线的水平转角)为140°的方向航行，为了确定船位，船在B点观测灯塔A的方位角为110°，航行半小时后船到达C点，观测灯塔A的方位角是65°，则货轮到达C点时，与灯塔A的距离是多少？

例2.【2015高考湖北，理13】如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到处时测得公路北侧一山顶D在西偏北的方向上，行驶600m后到达处，测得此山顶在西偏北的方向上，仰角为，则此山的高度 m.

正弦定理、余弦定理水平测试题
一、选择题
1．在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，若a2＋c2－b2＝ac，则角B的值为
A.B.C.或D.或
2．已知锐角△ABC的面积为3，BC＝4，CA＝3，则角C的大小为
A．75° B．60° C．45°D．30°
3．(2010·上海高考)若△ABC的三个内角满足sin A∶sin B∶sin C＝5∶11∶13，则△ABC
A．一定是锐角三角形B．一定是直角三角形
C．一定是钝角三角形D．可能是锐角三角形，也可能是钝角三角形
4．如果等腰三角形的周长是底边长的5倍，那么它的顶角的余弦值为
A.B.C.D.
5．(2010·湖南高考)在△ABC中，角A，B，C所对的边长分别为a，b，c，若∠C＝120°，c＝a，则(　　)
A．a＞bB．a＜bC．a＝bD．a与b大小不能确定
二、填空题
6．△ABC中，a、b、c分别是角A、B、C所对的边，已知a＝，b＝3，C＝30°，则A＝
7．(2010·山东高考)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.若a＝，b＝2，sin B＋cos B＝，则角A的大小为________．
8．已知△ABC的三个内角A，B，C成等差数列，且AB＝1，BC＝4，则边BC上的中线AD的长为________．
三、解答题
9．△ABC中，内角A、B、C的对边长分别为a、b、c.若a2－c2＝2b，且sin B＝4cos Asin C，求b.

10．在△ABC中，已知a2＋b2＝c2＋ab.
（1）求角C的大小；
（2）又若sin Asin B＝，判断△ABC的形状．

11．(2010·浙江高考)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，设S为△ABC的面积，
且S＝(a2＋b2－c2)．
（1）求角C的大小；
（2）求sin A＋sin B的最大值．

12.【2015高考新课标2，理17】（本题满分12分）
中，是上的点，平分，面积是面积的2倍．
(Ⅰ) 求；
(Ⅱ)若，，求和的长．
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