锐角三角函数知识点总结与复习.doc
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1、锐角三角函数知识点总结与复习直角三角形中的边角关系锐角三角函数解直角三角形实际问题1、勾股定理:直角三角形两直角边、的平方和等于斜边的平方。 对边邻边斜边ACB2、 如下图,在RtABC中,C为直角,则A的锐角三角函数为(A可换成B):定 义表达式取值范围关 系正弦(A为锐角)余弦(A为锐角)正切(A为锐角) (倒数)余切(A为锐角) 3、任意锐角的正弦值等于它的余角的余弦值;任意锐角的余弦值等于它的余角的正弦值。 4、任意锐角的正切值等于它的余角的余切值;任意锐角的余切值等于它的余角的正切值。 5、0、30、45、60、90特殊角的三角函数值(重要)三角函数030456090011001不存
2、在不存在10 6、正弦、余弦的增减性: 当090时,sin随的增大而增大,cos随的增大而减小。7、正切、余切的增减性:当090时,tan随的增大而增大,cot随的增大而减小。一、知识性专题专题1:锐角三角函数的定义 例1 在RtABC中,ACB90,BC1,AB2,则下列结论正确的是 ( )Asin A Btan A CcosB Dtan B 分析 sinA,tan A,cos B故选D. 例2 在ABC中,C90,cosA,则tan A等于 ; 分析 在RtABC中,设AC3k,AB5k,则BC4k,由定义可知tan A分析 在RtABC中,BC3,sin A故填例3(12哈尔滨)在RtA
3、BC中,C=900,AC=4,AB=5,则sinB的值是 ;【解析】本题考查了锐角三角函数的意义解题思路:在直角三角形中,锐角的正弦等于对边比邻边,故sinB=.例4(2012内江)如图4所示,ABC的顶点是正方形网格的格点,则sinA的值为 ;CBA图4CBA图4D【解析】欲求sinA,需先寻找A所在的直角三角形,而图形中A所在的ABC并不是直角三角形,所以需要作高观察格点图形发现连接CD(如下图所示),恰好可证得CDAB,于是有sinA例5 ( 2012宁波),RtABC,C=900,AB=6,cosB=,则BC的长为 ;【解析】cosB=,又AB=6BC=4例622题图(2012贵州铜仁
4、)如图,定义:在直角三角形ABC中,锐角的邻边与对边的比叫做角的余切,记作ctan, 即ctan=,根据上述角的余切定义,解下列问题:(1)ctan30= ;(2)如图,已知tanA=,其中A为锐角,试求ctanA的值【分析】(1)可先设最小边长为一个特殊数(这样做是为了计算方便),然后在计算出其它边长,根据余切定义进而求出ctan30。(2)由tanA=,为了计算方便,可以设BC=3 AC=4根据余切定义就可以求出ctanA的值【解析】(1)设BC=1, =30AB=2由勾股定理得:AC=ctan30=(2) tanA=设BC=3 AC=4ctanA=例7(2012山东滨州)把ABC三边的长
5、度都扩大为原来的3倍,则锐角A的正弦函数值()A不变B缩小为原来的C扩大为原来的3倍D不能确定【解析】因为ABC三边的长度都扩大为原来的3倍所得的三角形与原三角形相似,所以锐角A的大小没改变,所以锐角A的正弦函数值也不变【答案】选A例8(2012湖南)观察下列等式sin30= cos60=sin45= cos=45=sin60= cos30=根据上述规律,计算sin2a+sin2(90a)=解析:根据可得出规律,即sin2a+sin2(90a)=1,继而可得出答案答案:解:由题意得,sin230+sin2(9030)=1;sin245+sin2(9045)=1;sin260+sin2(9060
6、)=1;故可得sin2a+sin2(90a)=1故答案为:1点评:此题考查了互余两角的三角函数的关系,属于规律型题目,注意根据题意总结,另外sin2a+sin2(90a)=1是个恒等式,同学们可以记住并直接运用例9 (2012山东德州)为了测量被池塘隔开的A,B两点之间的距离,根据实际情况,作出如下图形,其中,AF交BE于D,C在BD上有四位同学分别测量出以下四组数据:BC,ACB; CD,ACB,ADB;EF,DE,BD;DE,DC,BC能根据所测数据,求出A,B间距离的有哪 组ABCDEFF【解析】对于,可由公式AB=BCtanACB求出A、B两点间的距离;对于,可设AB的长为x,则BC=
7、,BD=,BD-BC=CD,可解出AB对于,易知DEFDBA,则,可求出AB的长;对于无法求得,故有、三组【点评】此题考查解直角三角形和三角形相似的性质与判定在直角三角形中至少要有已知一边和一角才能求出其他未知元素;判定两三角形相似的方法有:AA,SAS,SSS,两直角三角形相似的判定还有HL例10(2012江苏泰州18)如图,在边长相同的小正方形组成的网格中,点A、B、C、D都在这些小正方形的顶点上,AB、CD相交于点P,则tanAPD的值是 【解析】 要求tanAPD的值,只要将APD放在直角三角形中,故过B作CD的垂线,然后利用勾股定理计算出线段的长度,最后利用正切的定义计算出结果即可【
8、答案】作BMCD,DNAB垂足分别为M、N,则BM=DM=,易得:DN=,设PM=x,则PD=-x,由DNPBMP,得:,即,PN=x,由DN2+PN2=PD2,得:+x2=(-x)2,解得:x1=,x2=(舍去),tanAPD=2例11. (2011江苏苏州)如图,在四边形ABCD中,E、F分別是AB、AD的中点,若EF=2,BC=5,CD=3,则tanC等于 分析:根据三角形的中位线定理即可求得BD的长,然后根据勾股定理的逆定理即可证得BCD是直角三角形,然后根据正切函数的定义即可求解解答:解:连接BDE、F分別是AB、AD的中点BD=2EF=4BC=5,CD=3BCD是直角三角形tanC
9、= 例12(2011山东日照)在RtABC中,C=90,把A的邻边与对边的比叫做A的余切,记作cotA=则下列关系式中不成立的是()AtanAcotA=1BsinA=tanAcosA CcosA=cotAsinADtan2A+cot2A=1解答:解:根据锐角三角函数的定义,得A、tanAcotA=1,关系式成立;B、sinA=,tanAcosA=,关系式成立;C、cosA=,cotAsinA=,关系式成立;D、tan2A+cot2A=()2+()21,关系式不成立故选D点评:本题考查了同角三角函数的关系(1)平方关系:sin2A+cos2A=1 (2)正余弦与正切之间的关系(积的关系):一个角
10、的正切值等于这个角的正弦与余弦的比,即tanA=或sinA=tanAcosA(3)正切之间的关系:tanAtanB=1例13(2011贵港)如图所示,在ABC中,C=90,AD是BC边上的中线,BD=4,AD=2,则tanCAD的值是 解答:解:AD是BC边上的中线,BD=4,CD=BD=4,在RtACD中,AC=2,tanCAD=2故选A例14(2011烟台)如果ABC中,sinA=cosB=,则下列最确切的结论是( )A. ABC是直角三角形 B. ABC是等腰三角形C. ABC是等腰直角三角形D. ABC是锐角三角形解:sinA=cosB=,A=B=45,ABC是等腰直角三角形故选C例1
11、5(2011四川)如图所示,在数轴上点A所表示的数x的范围是()A、B、C、D、解答:故选D同步练习1(2011甘肃)如图,A、B、C三点在正方形网格线的交点处,若将ACB绕着点A逆时针旋转得到ACB,则tanB的值为 ABCCB解答:解:过C点作CDAB,垂足为D根据旋转性质可知,B=B在RtBCD中,tanB= CD:BD= ,tanB=tanB= 2 (2011甘肃兰州)点M(sin60,cos60)关于x轴对称的点的坐标是 解:sin60= ,cos60= ,点M(,)点P(m,n)关于x轴对称点的坐标P(m,-n),M关于x轴的对称点的坐标是(,)故选B3(2011广东)已知:45A
12、90,则下列各式成立的是()A、sinA=cosAB、sinAcosAC、sinAtanAD、sinAcosA解答:解:45A90,根据sin45=cos45,sinA随角度的增大而增大,cosA随角度的增大而减小,当A45时,sinAcosA,故选:B4、(2011宜昌)教学用直角三角板,边AC=30cm,C=90,tanBAC=,则边BC的长为 cm解:在直角三角形ABC中,根据三角函数定义可知:tanBAC=,又AC=30cm,tanBAC=,则BC=ACtanBAC=30=10cm故选C5、 (2011福建莆田)如图,在矩形ABCD中,点E在AB边上,沿CE折叠矩形ABCD,使点B落在
13、AD边上的点F处,若AB=4,BC=5,则tanAFE的值为 解答:解:四边形ABCD是矩形,A=B=D=90,CD=AB=4,AD=BC=5,由题意得:EFC=B=90,CF=BC=5,AFE+DFC=90,DFC+FCD=90,DCF=AFE,在RtDCF中,CF=5,CD=4,DF=3,tanAFE=tanDCF= = 6、(2012连云港)小明在学习“锐角三角函数”中发现,将如图所示的矩形纸片ABCD沿过点B的直线折叠,使点A落在BC上的点E处,还原后,再沿过点E的直线折叠,使点A落在BC上的点F处,这样就可以求出67.5的角的正切值是 【答案】设AB=x,则BE=x,在直角三角形AB
14、E中,用勾股定理求出AE=EF=x,于是BF=(+1)x.在直角三角形ABF中,tanFAB=+1=tan67.5.选B。7、(2012福州)如图15,已知ABC,AB=AC=1,A=36,ABC的平分线BD交AC于点D,则AD的长是 ,cosA的值是 .(结果保留根号)解析:由已知条件,可知BDC、ADB是等腰三角形,且DA=DB=BC,可证BDCABC,则有,设BC=x,则DC=1-x,因此,解方程得,(不合题意,舍去),即AD=;又cosA=答案:8、(2012南京)如图,将45的AOB按下面的方式放置在一把刻度尺上:顶点O与尺下沿的端点重合,OA与尺下沿重合.OB与尺上沿的交点B在尺上
15、的读书恰为2厘米,若按相同的方式将37的AOC放置在该刻度尺上,则OC与尺上沿的交点C在尺上的读数为 厘米.(结果精确到0.1厘米,参考数据sin3700.60,cos3700.80,tan3700.75)解析:由于AOB=45,B点读书为2厘米,则直尺的宽为2厘米,解直角三角形得点C的读数为2tan37020.752.7厘米.答案:2.79、(2012湖南张家界)黄岩岛是我国南海上的一个岛屿,其平面图如图甲所示,小明据此构造出该岛的一个数学模型如图乙所示,其中A=D=90,AB=BC=15千米,CD=千米,请据此解答如下问题:(1) 求该岛的周长和面积(结果保留整数,参考数据1.414 )(
16、2) 求ACD的余弦值.ACBD【解答】(1)结AC,AB=BC=15千米,B=90,BAC=ACB=45,AC=15千米. 又D=90,AD=12(千米)周长=AB+BC+CD+DA=30+3+12=30+4.242+20.78455(千米).面积=SABC+SADC=1515+123=+18157(平方千米).(2)cosACD=.10、(2012甘肃兰州)在建筑楼梯时,设计者要考虑楼梯的安全程度。如图(1),虚线为楼梯的倾斜度,斜度线与地面的夹角为倾角,一般情况下,倾角越小,楼梯的安全程度越高;如图(2),设计者为了提高楼梯的安全程度,要把楼梯的倾角减至,这样楼梯占用地板的长度由d1增加
17、到d2 ,已知d1=4米,楼梯占用地板的长度增加了多少米?(计算结果精确到0.01米。参考数据:tan40=0.839,tan36=0.727)第22题图d2解析:根据在RtACB中,AB=d1tan1=4tan40,在RtADB中,AB=d2tan2=d2tan36,即可得出d2的值,进而求出楼梯占用地板增加的长度解:由题意可知可得,ACB=1,ADB=2在RtACB中,AB=d1tan1=4tan40,在RtADB中,AB=d2tan2=d2tan36,得4tan40=d2tan36,d2=4.616,d2-d1=4.616-4=0.6160.62,答:楼梯占用地板的长度增加了0.62米1
18、1、(2012贵州)为促进我市经济的快速发展,加快道路建设,某高速公路建设工程中需修隧道AB,如图,在山外一点C测得BC距离为200m,CAB=54,CBA=30,求隧道AB的长(参考数据:sin540.81,cos540.59,tan541.38,1.73,精确到个位)解析:首先过点C作CDAB于D,然后在RtBCD中,利用三角函数的知识,求得BD,CD的长,继而在RtACD中,利用CAB的正切求得AD的长,继而求得答案答案:解:过点C作CDAB于DBC=200m,CBA=30,在RtBCD中,CD=BC=100m,BD=BCcos30=200=100173(m),CAB=54,在RtACD
19、中,AD=74(m),AB=AD+BD=173+74=247(m)答:隧道AB的长为247m12、 (2011新疆建设兵团)如图,在ABC中,A90(1)用尺规作图的方法,作出ABC绕点A逆时针旋转45后的图形AB1C1(保留作图痕迹);(2)若AB3,BC5,求tanAB1C1 解答:解:(1)作CAB的平分线,在平分线上截取AB1AB,作C1AAB1,在AC1上截取AC1AC,如图所示即是所求(2)AB3,BC5,AC4,AB13,AC14,tanAB1C1 专题2 特殊角的三角函数值 例1(2012,湖北孝感)计算:cos245+tan30sin60=_【答案】1 例2(2012陕西)计
20、算:【解析】原式【答案】 例3(2012广安)计算:cos45o+ ;解析: = 例4 计算|3|2cos 45(1)0 解:原式3212 例5 计算(1)2007cos 60 解:原式3(1)312 例6 计算|(cos 60tan 30)0 解:原式1十231 例7 计算(3.14)0|1tan 60|.解:原式811210. 例8(2012呼和浩特)计算:【解析】三角函数、绝对值、乘方【答案】例9(2011天水)计算:sin230+tan44tan46+sin260= 分析:根据特殊角的三角函数值计算tanAtan(90A)=1解答:解:原式=+1+=2故答案为2例10(2011莱芜)若
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