-中考二次函数压轴试题分类汇编及答案.doc
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1、中考二次函数压轴题分类汇编一 极值问题1.二次函数y=ax2+bx+c的图象经过点(1,4),且与直线y=x+1相交于A、B两点(如图),A点在y轴上,过点B作BCx轴,垂足为点C(3,0)(1)求二次函数的表达式;(2)点N是二次函数图象上一点(点N在AB上方),过N作NPx轴,垂足为点P,交AB于点M,求MN的最大值;(3)在(2)的条件下,点N在何位置时,BM与NC相互垂直平分?并求出所有满足条件的N点的坐标分析:(1)首先求得A、B的坐标,然后利用待定系数法即可求得二次函数的解析式;(2)设M的横坐标是x,则根据M和N所在函数的解析式,即可利用x表示出M、N的坐标,利用x表示出MN的长
2、,利用二次函数的性质求解;(3)BM与NC互相垂直平分,即四边形BCMN是菱形,则BC=MC,据此即可列方程,求得x的值,从而得到N的坐标解:(1)由题设可知A(0,1),B(3,),根据题意得:,解得:,则二次函数的解析式是:y=x+1;(2)设N(x,x2x+1),则M、P点的坐标分别是(x,x+1),(x,0)MN=PNPM=x2x+1(x+1)=x2x=(x+)2+,则当x=时,MN的最大值为;(3)连接MN、BN、BM与NC互相垂直平分,即四边形BCMN是菱形,由于BCMN,即MN=BC,且BC=MC,即x2x=,且(x+1)2+(x+3)2=,解得:x=1,故当N(1,4)时,MN
3、和NC互相垂直平分点评:本题是待定系数法求二次函数的解析式,以及二次函数的性质、菱形的判定的综合应用,利用二次函数的性质可以解决实际问题中求最大值或最小值问题2.如图,抛物线y=x2+bx+c与y轴交于点C(0,4),与x轴交于点A,B,且B点的坐标为(2,0)(1)求该抛物线的解析式(2)若点P是AB上的一动点,过点P作PEAC,交BC于E,连接CP,求PCE面积的最大值(3)若点D为OA的中点,点M是线段AC上一点,且OMD为等腰三角形,求M点的坐标考点:二次函数综合题分析:(1)利用待定系数法求出抛物线的解析式;(2)首先求出PCE面积的表达式,然后利用二次函数的性质求出其最大值;(3)
4、OMD为等腰三角形,可能有三种情形,需要分类讨论解答:解:(1)把点C(0,4),B(2,0)分别代入y=x2+bx+c中,得,解得该抛物线的解析式为y=x2+x4(2)令y=0,即x2+x4=0,解得x1=4,x2=2,A(4,0),SABC=ABOC=12设P点坐标为(x,0),则PB=2xPEAC,BPE=BAC,BEP=BCA,PBEABC,即,化简得:SPBE=(2x)2SPCE=SPCBSPBE=PBOCSPBE=(2x)4(2x)2=x2x+=(x+1)2+3当x=1时,SPCE的最大值为3(3)OMD为等腰三角形,可能有三种情形:(I)当DM=DO时,如答图所示DO=DM=DA
5、=2,OAC=AMD=45,ADM=90,M点的坐标为(2,2);(II)当MD=MO时,如答图所示过点M作MNOD于点N,则点N为OD的中点,DN=ON=1,AN=AD+DN=3,又AMN为等腰直角三角形,MN=AN=3,M点的坐标为(1,3);(III)当OD=OM时,OAC为等腰直角三角形,点O到AC的距离为4=,即AC上的点与点O之间的最小距离为2,OD=OM的情况不存在综上所述,点M的坐标为(2,2)或(1,3)点评:本题是二次函数综合题,考查了二次函数的图象与性质、待定系数法、相似三角形、等腰三角形等知识点,以及分类讨论的数学思想第(2)问将面积的最值转化为二次函数的极值问题,注意
6、其中求面积表达式的方法;第(3)问重在考查分类讨论的数学思想,注意三种可能的情形需要一一分析,不能遗漏二 构成图形的问题1如图,抛物线y=ax2+bx+c(aO)与y轴交于点C(O,4),与x轴交于点A和点B,其中点A的坐标为(-2,0),抛物线的对称轴x=1与抛物线交于点D,与直线BC交于点E2-1-c-n-j-y(1)求抛物线的解析式;(2)若点F是直线BC上方的抛物线上的一个动点,是否存在点F使四边形ABFC的面积为17,若存在,求出点F的坐标;若不存在,请说明理由;(3)平行于DE的一条动直线Z与直线BC相交于点P,与抛物线相交于点Q,若以D、E、P、Q为顶点的四边形是平行四边形,求点
7、P的坐标。考点:二次函数综合题分析:(1)把三点坐标代入函数式,列式求得a,b,c的值,即求出解析式;(2)设存在点K,使得四边形ABFC的面积为17,根据点K在抛物线y=-x2+2x+3上设点K的坐标为:(x,-x2+2x+3),根据S四边形ABKC=SAOC+S梯形ONKC+SBNK得到有关x的一元二次方程求出x即可.(3)将x=1代入抛物线解析式,求出y的值,确定出D坐标,将x=1代入直线BC解析式求出y的值,确定出E坐标,求出DE长,将x=m代入抛物线解析式表示出F纵坐标,将x=m代入直线BC解析式表示出P纵坐标,两纵坐标相减表示出线段PQ,由DE与QP平行,要使四边形PEDQ为平行四
8、边形,只需DE=PQ,列出关于m的方程,求出方程的解得到m的值,检验即可解:(1)由抛物线经过点C(O,4)可得c=4, 对称轴x= =1,b=-2a, 又抛物线过点A(一2,O)0=4a-2b+c, 由 解得:a=, b=1 ,c=4 所以抛物线的解析式是y=x+x+4(2)假设存在满足条件的点F,如图如示,连接BF、CF、OF过点F分别作FHx轴于H , FGy轴于G设点F的坐标为(t, t2+t+4),其中Ot4, 则FH=t2 +t+4 FG=t, OBF=OB.FH=4(t2+4t+4)=一t2+2t+8 ,SOFC=OC.FC=4t=2tS四边形ABFCSAOC+SOBF +SOF
9、C=4-t2+2t+8+2t=-t2+4t+12令一t2+4t+12 =17,即t2-4t+5=0,则=(一4)2-45=一40,方程t2 -4t+5=0无解,故不存在满足条件的点F (3)设直线BC的解析式为y=kx+b(kO),又过点B(4,0,), C(0,4)所以,解得:, 所以直线BC的解析式是y=一x+4 由y=x2+4x+4=一(x一1)2+,得D(1,), 又点E在直线BC上,则点E(1,3),于是DE=一3= .若以D.E.P.Q为顶点的四边形是平行四边形,因为DEPQ,只须DE=PQ,设点P的坐标是(m,一m+4),则点Q的坐标是(m,一t2+m+4)当Om4时,PQ=(一
10、t2+m+4)一(一m+4)=一m2+2m 由一m2+2m= ,解得:m=1或3当m=1时,线段PQ与DE重合,m=-1舍去,m=-3,此时P1 (3,1) 当m4时,PQ=(一m+4)一(一m2+m+4)= m22m,由m22m=,解得m=2,经检验适合题意,此时P2(2+,2一),P3(2一,2+)综上所述,满足条件的点P有三个,分别是P1 (3,1),P2(2+,2 -),P3(2,2十).点评:此题考查了二次函数综合题,涉及的知识有:坐标与图形性质,一次函数与坐标轴的交点,抛物线与坐标轴的交点,平行四边形的判定,以及待定系数法求函数解析式,熟练掌握待定系数法是解本题第二问的关键本题逻辑
11、思维性强,需要耐心和细心,是道好题2如图,三角形ABC是以BC为底边的等腰三角形,点A、C分别是一次函数y=x+3的图象与y轴的交点,点B在二次函数的图象上,且该二次函数图象上存在一点D使四边形ABCD能构成平行四边形(1)试求b,c的值,并写出该二次函数表达式;(2)动点P从A到D,同时动点Q从C到A都以每秒1个单位的速度运动,问:当P运动到何处时,有PQAC?当P运动到何处时,四边形PDCQ的面积最小?此时四边形PDCQ的面积是多少?考点:二次函数综合题3338333分析:(1)根据一次函数解析式求出点A、点C坐标,再由ABC是等腰三角形可求出点B坐标,根据平行四边形的性性质求出点D坐标,
12、利用待定系数法可求出b、c的值,继而得出二次函数表达式(2)设点P运动了t秒时,PQAC,此时AP=t,CQ=t,AQ=5t,再由APQCAO,利用对应边成比例可求出t的值,继而确定点P的位置;只需使APQ的面积最大,就能满足四边形PDCQ的面积最小,设APQ底边AP上的高为h,作QHAD于点H,由AQHCAO,利用对应边成比例得出h的表达式,继而表示出APQ的面积表达式,利用配方法求出最大值,即可得出四边形PDCQ的最小值,也可确定点P的位置解答:解:(1)由y=x+3,令x=0,得y=3,所以点A(0,3);令y=0,得x=4,所以点C(4,0),ABC是以BC为底边的等腰三角形,B点坐标
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