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中考二次函数压轴题分类汇编
一． 极值问题
1.二次函数y=ax2+bx+c的图象经过点（﹣1，4），且与直线y=﹣x+1相交于A、B两点（如图），A点在y轴上，过点B作BC⊥x轴，垂足为点C（﹣3，0）．
（1）求二次函数的表达式；
（2）点N是二次函数图象上一点（点N在AB上方），过N作NP⊥x轴，垂足为点P，交AB于点M，求MN的最大值；
（3）在（2）的条件下，点N在何位置时，BM与NC相互垂直平分？并求出所有满足条件的N点的坐标．

分析：（1）首先求得A、B的坐标，然后利用待定系数法即可求得二次函数的解析式；
（2）设M的横坐标是x，则根据M和N所在函数的解析式，即可利用x表示出M、N的坐标，利用x表示出MN的长，利用二次函数的性质求解；
（3）BM与NC互相垂直平分，即四边形BCMN是菱形，则BC=MC，据此即可列方程，求得x的值，从而得到N的坐标．
解：（1）由题设可知A（0，1），B（﹣3，），
根据题意得：，解得：，
则二次函数的解析式是：y=﹣﹣x+1；
（2）设N（x，﹣x2﹣x+1），则M、P点的坐标分别是（x，﹣x+1），（x，0）．
∴MN=PN﹣PM=﹣x2﹣x+1﹣（﹣x+1）=﹣x2﹣x=﹣（x+）2+，
则当x=﹣时，MN的最大值为；
（3）连接MN、BN、BM与NC互相垂直平分，
即四边形BCMN是菱形，由于BC∥MN，即MN=BC，且BC=MC，
即﹣x2﹣x=，且（﹣x+1）2+（x+3）2=，解得：x=1，
故当N（﹣1，4）时，MN和NC互相垂直平分．

点评：本题是待定系数法求二次函数的解析式，以及二次函数的性质、菱形的判定的综合应用，利用二次函数的性质可以解决实际问题中求最大值或最小值问题．

2.如图，抛物线y=x2+bx+c与y轴交于点C（0，﹣4），与x轴交于点A，B，且B点的坐标为（2，0）
（1）求该抛物线的解析式．
（2）若点P是AB上的一动点，过点P作PE∥AC，交BC于E，连接CP，求△PCE面积的最大值．
（3）若点D为OA的中点，点M是线段AC上一点，且△OMD为等腰三角形，求M点的坐标．

考点：二次函数综合题．
分析：（1）利用待定系数法求出抛物线的解析式；
（2）首先求出△PCE面积的表达式，然后利用二次函数的性质求出其最大值；
（3）△OMD为等腰三角形，可能有三种情形，需要分类讨论．
解答：解：（1）把点C（0，﹣4），B（2，0）分别代入y=x2+bx+c中，
得，
解得
∴该抛物线的解析式为y=x2+x﹣4．
（2）令y=0，即x2+x﹣4=0，解得x1=﹣4，x2=2，
∴A（﹣4，0），S△ABC=AB•OC=12．
设P点坐标为（x，0），则PB=2﹣x．
∵PE∥AC，
∴∠BPE=∠BAC，∠BEP=∠BCA，
∴△PBE∽△ABC，
∴，即，
化简得：S△PBE=（2﹣x）2．
S△PCE=S△PCB﹣S△PBE=PB•OC﹣S△PBE=×（2﹣x）×4﹣（2﹣x）2
=x2﹣x+
=（x+1）2+3
∴当x=﹣1时，S△PCE的最大值为3．
（3）△OMD为等腰三角形，可能有三种情形：（I）当DM=DO时，如答图①所示．
DO=DM=DA=2，
∴∠OAC=∠AMD=45°，
∴∠ADM=90°，
∴M点的坐标为（﹣2，﹣2）；

（II）当MD=MO时，如答图②所示．
过点M作MN⊥OD于点N，则点N为OD的中点，
∴DN=ON=1，AN=AD+DN=3，
又△AMN为等腰直角三角形，∴MN=AN=3，
∴M点的坐标为（﹣1，﹣3）；
（III）当OD=OM时，
∵△OAC为等腰直角三角形，
∴点O到AC的距离为×4=，即AC上的点与点O之间的最小距离为．
∵＞2，∴OD=OM的情况不存在．
综上所述，点M的坐标为（﹣2，﹣2）或（﹣1，﹣3）．

点评：本题是二次函数综合题，考查了二次函数的图象与性质、待定系数法、相似三角形、等腰三角形等知识点，以及分类讨论的数学思想．第（2）问将面积的最值转化为二次函数的极值问题，注意其中求面积表达式的方法；第（3）问重在考查分类讨论的数学思想，注意三种可能的情形需要一一分析，不能遗漏．　

二． 构成图形的问题
1．如图，抛物线y=ax2+bx+c（a≠O）与y轴交于点C(O，4)，与x轴交于点A和点B，其中点A的坐标为（-2,0），抛物线的对称轴x=1与抛物线交于点D，与直线BC交于点E2-1-c-n-j-y
(1)求抛物线的解析式；
(2)若点F是直线BC上方的抛物线上的一个动点，是否存在点F使四边形ABFC的面积为17，若存在，求出点F的坐标；若不存在，请说明理由；
(3)平行于DE的一条动直线Z与直线BC相交于点P，与抛物线相交于点Q，若以D、E、P、Q为顶点的四边形是平行四边形，求点P的坐标。
考点：二次函数综合题．
分析：（1）把三点坐标代入函数式，列式求得a，b，c的值，即求出解析式；
（2）设存在点K，使得四边形ABFC的面积为17，根据点K在抛物线y=-x2+2x+3上设点K的坐标为：（x，-x2+2x+3），根据S四边形ABKC=S△AOC+S梯形ONKC+S△BNK得到有关x的一元二次方程求出x即可.．
（3）将x=1代入抛物线解析式，求出y的值，确定出D坐标，将x=1代入直线BC解析式求出y的值，确定出E坐标，求出DE长，将x=m代入抛物线解析式表示出F纵坐标，将x=m代入直线BC解析式表示出P纵坐标，两纵坐标相减表示出线段PQ，由DE与QP平行，要使四边形PEDQ为平行四边形，只需DE=PQ，列出关于m的方程，求出方程的解得到m的值，检验即可．
解：(1)由抛物线经过点C(O，4)可得c=4,① ∵对称轴x= =1，∴b=-2a，②，
又抛物线过点A（一2，O）∴0=4a-2b+c，③
由①②③ 解得：a=, b=1 ,c=4． 所以抛物线的解析式是y=x+x+4
(2)假设存在满足条件的点F，如图如示，连接BF、CF、OF．
过点F分别作FH⊥x轴于H , FG⊥y轴于G．
设点F的坐标为（t, t2+t+4），其中O<t<4， 则FH=t2 +t+4 FG=t,
∴△OBF=OB.FH=×4×（t2+4t+4）=一t2+2t+8 ,S△OFC=OC.FC=×4×t=2t
∴S四边形ABFC—S△AOC+S△OBF +S△OFC=4-t2+2t+8+2t=-t2+4t+12．
令一t2+4t+12 =17，即t2-4t+5=0，则△=(一4)2-4×5=一4<0,
∴方程t2 -4t+5=0无解，故不存在满足条件的点F．
(3)设直线BC的解析式为y=kx+b（k≠O），又过点B(4,0，), C(0,4)
所以，解得：， 所以直线BC的解析式是y=一x+4．
由y=x2+4x+4=一（x一1)2+，得D（1，），
又点E在直线BC上，则点E(1，3)，于是DE=一3= .
若以D.E.P.Q为顶点的四边形是平行四边形，因为DE∥PQ，只须DE=PQ,
设点P的坐标是（m，一m+4），则点Q的坐标是（m，一t2+m+4）．
①当O<m<4时，PQ=（一t2+m+4）一（一m+4）=一m2+2m．
由一m2+2m= ，解得：m=1或3．当m=1时，线段PQ与DE重合,m=-1舍去,
∴m=-3，此时P1 (3,1)．
②当m<o或m>4时，PQ=（一m+4）一（一m2++m+4)= m2—2m,
由m2—2m=，解得m=2±，经检验适合题意，
此时P2（2+，2一），P3（2一，2+）．
综上所述，满足条件的点P有三个，分别是P1 (3,1)，P2（2+，2 -），P3（2—，2十）.

点评：此题考查了二次函数综合题，涉及的知识有：坐标与图形性质，一次函数与坐标轴的交点，抛物线与坐标轴的交点，平行四边形的判定，以及待定系数法求函数解析式，熟练掌握待定系数法是解本题第二问的关键．本题逻辑思维性强，需要耐心和细心，是道好题．

2．如图，三角形ABC是以BC为底边的等腰三角形，点A、C分别是一次函数y=x+3的图象与y轴的交点，点B在二次函数的图象上，且该二次函数图象上存在一点D使四边形ABCD能构成平行四边形．
（1）试求b，c的值，并写出该二次函数表达式；
（2）动点P从A到D，同时动点Q从C到A都以每秒1个单位的速度运动，问：
①当P运动到何处时，有PQ⊥AC？
②当P运动到何处时，四边形PDCQ的面积最小？此时四边形PDCQ的面积是多少？

考点：
二次函数综合题．3338333
分析：
（1）根据一次函数解析式求出点A、点C坐标，再由△ABC是等腰三角形可求出点B坐标，根据平行四边形的性性质求出点D坐标，利用待定系数法可求出b、c的值，继而得出二次函数表达式．
（2）①设点P运动了t秒时，PQ⊥AC，此时AP=t，CQ=t，AQ=5﹣t，再由△APQ∽△CAO，利用对应边成比例可求出t的值，继而确定点P的位置；
②只需使△APQ的面积最大，就能满足四边形PDCQ的面积最小，设△APQ底边AP上的高为h，作QH⊥AD于点H，由△AQH∽CAO，利用对应边成比例得出h的表达式，继而表示出△APQ的面积表达式，利用配方法求出最大值，即可得出四边形PDCQ的最小值，也可确定点P的位置．
解答：
解：（1）由y=﹣x+3，令x=0，得y=3，所以点A（0，3）；令y=0，得x=4，所以点C（4，0），
∵△ABC是以BC为底边的等腰三角形，∴B点坐标为（﹣4，0），又∵四边形ABCD是平行四边形，
∴D点坐标为（8，3），
将点B（﹣4，0）、点D（8，3）代入二次函数y=x2+bx+c，可得，
解得：，
故该二次函数解析式为：y=x2﹣x﹣3．
（2）①设点P运动了t秒时，PQ⊥AC，此时AP=t，CQ=t，AQ=5﹣t，
∵PQ⊥AC，∴△APQ∽△CAO，∴=，即=，
解得：t=．
即当点P运动到距离A点个单位长度处，有PQ⊥AC．
②∵S四边形PDCQ+S△APQ=S△ACD，且S△ACD=×8×3=12，
∴当△APQ的面积最大时，四边形PDCQ的面积最小，
当动点P运动t秒时，AP=t，CQ=t，AQ=5﹣t，
设△APQ底边AP上的高为h，作QH⊥AD于点H，由△AQH∽CAO可得：=，
解得：h=（5﹣t），∴S△APQ=t×（5﹣t）=（﹣t2+5t）=﹣（t﹣）2+，
∴当t=时，S△APQ达到最大值，此时S四边形PDCQ=12﹣=，
故当点P运动到距离点A个单位处时，四边形PDCQ面积最小，最小值为．

三． 翻转问题
1．已知关于x的一元二次方程x2+2x+=0有两个不相等的实数根，k为正整数．
（1）求k的值；
（2）当次方程有一根为零时，直线y=x+2与关于x的二次函数y=x2+2x+的图象交于A、B两点，若M是线段AB上的一个动点，过点M作MN⊥x轴，交二次函数的图象于点N，求线段MN的最大值及此时点M的坐标；
（3）将（2）中的二次函数图象x轴下方的部分沿x轴翻折到x轴上方，图象的其余部分保持不变，翻折后的图象与原图象x轴上方的部分组成一个“W”形状的新图象，若直线y=x+b与该新图象恰好有三个公共点，求b的值．
考点：
二次函数综合题．.
分析：
（1）先根据一元二次方程根的情况利用判别式与0的关系可以求出k的值；
（2）利用m先表示出M与N的坐标，再根据两点间的距离公式表示出MN的长度，根据二次函数的极值即可求出MN的最大长度和M的坐标；
（3）根据图象的特点，分两种情况讨论，分别求出b的值即可．
解答：
解：（1）∵关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根．
∴．
∴k﹣1＜2．
∴k＜3．
∵k为正整数，
∴k为1，2．
（2）把x=0代入方程得k=1，
此时二次函数为y=x2+2x，
此时直线y=x+2与二次函数y=x2+2x的交点为A（﹣2，0），B（1，3）
由题意可设M（m，m+2），其中﹣2＜m＜1，
则N（m，m2+2m），
MN=m+2﹣（m2+2m）=﹣m2﹣m+2=﹣．
∴当m=﹣时，MN的长度最大值为．
此时点M的坐标为．

（3）当y=x+b过点A时，直线与新图象有3个公共点（如图2所示），
把A（﹣2，0）代入y=x+b得b=1，
当y=x+b与新图象的封闭部分有一个公共点时，直线与新图象有3个公共点．
由于新图象的封闭部分与原图象的封闭部分关于x轴对称，所以其解析式为y=﹣x2﹣2x
∴有一组解，此时有两个相等的实数根，
则所以b=，
综上所述b=1或b=．

点评：
本题是二次函数综合题型，主要考查了根的判别式的应用，还考查了两函数图象的交点问题，难点在于（3）求出直线与抛物线有3个交点的情况，根据题意分类讨论，并且作出图形更利于解决问题．

四．平移和取值问题
1．在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=ax2+bx+2过B（﹣2，6），C（2，2）两点．
（1）试求抛物线的解析式；
（2）记抛物线顶点为D，求△BCD的面积；
（3）若直线y=﹣x向上平移b个单位所得的直线与抛物线段BDC（包括端点B、C）部分有两个交点，求b的取值范围．

解：（1）由题意解得，∴抛物线解析式为y=x2﹣x+2．
（2）∵y=x2﹣x+2=（x﹣1）2+．
∴顶点坐标（1，），
∵直线BC为y=﹣x+4，∴对称轴与BC的交点H（1，3），
∴S△BDC=S△BDH+S△DHC=•3+•1=3．
（3）由消去y得到x2﹣x+4﹣2b=0，
当△=0时，直线与抛物线相切，1﹣4（4﹣2b）=0，∴b=，
当直线y=﹣x+b经过点C时，b=3，
当直线y=﹣x+b经过点B时，b=5，
∵直线y=﹣x向上平移b个单位所得的直线与抛物线段BDC（包括端点B、C）部分有两个交点，
∴＜b≤3．　
2.如图，抛物线关于直线对称，与坐标轴交于三点，且,点在抛物线上，直线是一次函数的图象，点是坐标原点.
（1）求抛物线的解析式；
（2）若直线平分四边形的面积，求的值.
（3）把抛物线向左平移1个单位，再向下平移2个单位，所得抛物线与直线交于两点，问在轴正半轴上是否存在一定点，使得不论取何值，直线与总是关于轴对称？若存在，求出点坐标；若不存在，请说明理由.

答案：（1）因为抛物线关于直线x=1对称，AB=4，所以A(-1，0),B(3，0),
由点D(2，1.5)在抛物线上，所以，所以3a+3b=1.5,即a+b=0.5,
又，即b=-2a,代入上式解得a=-0.5,b=1,从而c=1.5,所以.
（2）由（1）知，令x=0,得c(0,1.5),所以CD//AB,
令kx-2=1.5,得l与CD的交点F()，
令kx-2=0，得l与x轴的交点E()，
根据S四边形OEFC=S四边形EBDF得：OE+CF=DF+BE,
即：
（3）由（1）知
所以把抛物线向左平移1个单位，再向下平移2个单位，所得抛物线的解析式为
假设在y轴上存在一点P(0，t)，t＞0，使直线PM与PN关于y轴对称，过点M、N分别向y轴作垂线MM1、NN1，垂足分别为M1、N1，因为∠MPO=∠NPO,所以Rt△MPM1∽Rt△NPN1,
所以,………………(1)
不妨设M(xM,yM)在点N(xN,yN)的左侧，因为P点在y轴正半轴上，
则（1）式变为,又yM =k xM-2, yN=k xN-2,
所以（t+2）(xM +xN)=2k xM xN,……(2)
把y=kx-2(k≠0)代入中，整理得x2+2kx-4=0,
所以xM +xN=-2k, xM xN=-4,代入（2）得t=2,符合条件，
故在y轴上存在一点P（0,2），使直线PM与PN总是关于y轴对称.
考点：本题是一道与二次函数相关的压轴题，综合考查了考查了二次函数解析式的确定，函数图象交点及图形面积的求法，三角形的相似，函数图象的平移，一元二次方程的解法等知识，难度较大.
点评：本题是一道集一元二次方程、二次函数解析式的求法、相似三角形的条件与性质以及质点运动问题、分类讨论思想于一体的综合题，能够较好地考查了同学们灵活应用所学知识，解决实际问题的能力。问题设计富有梯度、由易到难层层推进，既考查了知识掌握，也考查了方法的灵活应用和数学思想的形成。
五．相似图形问题
1．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=mx2﹣8mx+4m+2（m＞0）与y轴的交点为A，与x轴的交点分别为B（x1，0），C（x2，0），且x2﹣x1=4，直线AD∥x轴，在x轴上有一动点E（t，0）过点E作平行于y轴的直线l与抛物线、直线AD的交点分别为P、Q．
（1）求抛物线的解析式；
（2）当0＜t≤8时，求△APC面积的最大值；
（3）当t＞2时，是否存在点P，使以A、P、Q为顶点的三角形与△AOB相似？若存在，求出此时t的值；若不存在，请说明理由．

考点：
二次函数综合题．菁优网版权所有
分析：
（1）认真审题，直接根据题意列出方程组，求出B，C两点的坐标，进而可求出抛物线的解析式；
（2）分0＜t＜6时和6≤t≤8时两种情况进行讨论，据此即可求出三角形的最大值；
（3）分2＜t≤6时和t＞6时两种情况进行讨论，再根据三角形相似的条件，即可得解．
解答：
解：（1）由题意知x1、x2是方程mx2﹣8mx+4m+2=0的两根，
∴x1+x2=8，
由
解得：
∴B（2，0）、C（6，0）
则4m﹣16m+4m+2=0，
解得：m=，
∴该抛物线解析式为：y=；
（2）可求得A（0，3）
设直线AC的解析式为：y=kx+b，
∵
∴
∴直线AC的解析式为：y=﹣x+3，
要构成△APC，显然t≠6，分两种情况讨论：
①当0＜t＜6时，设直线l与AC交点为F，则：F（t，﹣），
∵P（t，），∴PF=，
∴S△APC=S△APF+S△CPF
=
=
=，
此时最大值为：，
②当6≤t≤8时，设直线l与AC交点为M，则：M（t，﹣），
∵P（t，），∴PM=，
∴S△APC=S△APF﹣S△CPF=
=
=，
当t=8时，取最大值，最大值为：12，
综上可知，当0＜t≤8时，△APC面积的最大值为12；
（3）如图，连接AB，则△AOB中，∠AOB=90°，AO=3，BO=2，
Q（t，3），P（t，），
①当2＜t≤6时，AQ=t，PQ=，
若：△AOB∽△AQP，则：，
即：，
∴t=0（舍），或t=，
若△AOB∽△PQA，则：，
即：，
∴t=0（舍）或t=2（舍），
②当t＞6时，AQ′=t，PQ′=，
若：△AOB∽△AQP，则：，
即：，
∴t=0（舍），或t=，
若△AOB∽△PQA，则：，
即：，
∴t=0（舍）或t=14，
∴t=或t=或t=14．

点评：
本题主要考查了抛物线解析式的求法，以及利用配方法等知识点求最值的问题，还考查了三角形相似的问题，是一道二次函数与几何问题结合紧密的题目，要注意认真总结．

2．如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过平移
得到抛物线，其对称轴与两段抛物线弧所围成
的阴影部分的面积为（ ）．
A． B． C． D．

【解析】依据平移的定义及抛物线的对称性可得：
区域D的面积=区域C的面积=区域B的面积，
∴阴影面积=区域A的面积加上区域D的面积=正方形的面积4．