同济大学第六版高等数学上册课后答案全集.doc
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1、 高等数学第六版上册课后习题答案 第一章 习题1-1 1. 设A=(-, -5)(5, +), B=-10, 3), 写出AB, AB, AB及A(AB)的表达式. 解 AB=(-, 3)(5, +), AB=-10, -5), AB=(-, -10)(5, +), A(AB)=-10, -5). 2. 设A、B是任意两个集合, 证明对偶律: (AB)C=AC BC . 证明 因为 x(AB)CxAB xA或xB xAC或xBC xAC BC, 所以 (AB)C=AC BC . 3. 设映射f : X Y, AX, BX . 证明 (1)f(AB)=f(A)f(B); (2)f(AB)f(A)
2、f(B). 证明 因为 yf(AB)$xAB, 使f(x)=y (因为xA或xB) yf(A)或yf(B) yf(A)f(B), 所以 f(AB)=f(A)f(B). (2)因为 yf(AB)$xAB, 使f(x)=y(因为xA且xB) yf(A)且yf(B) y f(A)f(B),所以 f(AB)f(A)f(B). 4. 设映射f : XY, 若存在一个映射g: YX, 使, , 其中IX、IY分别是X、Y上的恒等映射, 即对于每一个xX, 有IX x=x; 对于每一个yY, 有IY y=y. 证明: f是双射, 且g是f的逆映射: g=f -1. 证明 因为对于任意的yY, 有x=g(y)
3、X, 且f(x)=fg(y)=Iy y=y, 即Y中任意元素都是X中某元素的像, 所以f为X到Y的满射. 又因为对于任意的x1x2, 必有f(x1)f(x2), 否则若f(x1)=f(x2)g f(x1)=gf(x2) x1=x2. 因此f既是单射, 又是满射, 即f是双射. 对于映射g: YX, 因为对每个yY, 有g(y)=xX, 且满足f(x)=fg(y)=Iy y=y, 按逆映射的定义, g是f的逆映射. 5. 设映射f : XY, AX . 证明: (1)f -1(f(A)A; (2)当f是单射时, 有f -1(f(A)=A . 证明 (1)因为xA f(x)=yf(A) f -1(
4、y)=xf -1(f(A), 所以 f -1(f(A)A. (2)由(1)知f -1(f(A)A. 另一方面, 对于任意的xf -1(f(A)存在yf(A), 使f -1(y)=xf(x)=y . 因为yf(A)且f是单射, 所以xA. 这就证明了f -1(f(A)A. 因此f -1(f(A)=A . 6. 求下列函数的自然定义域: (1); 解 由3x+20得. 函数的定义域为. (2); 解 由1-x20得x1. 函数的定义域为(-, -1)(-1, 1)(1, +). (3); 解 由x0且1-x20得函数的定义域D=-1, 0)(0, 1. (4); 解 由4-x20得 |x|0得函数
5、的定义域D=(-1, +). (10). 解 由x0得函数的定义域D=(-, 0)(0, +). 7. 下列各题中, 函数f(x)和g(x)是否相同?为什么? (1)f(x)=lg x2, g(x)=2lg x; (2) f(x)=x, g(x)=; (3),. (4)f(x)=1, g(x)=sec2x-tan2x . 解 (1)不同. 因为定义域不同. (2)不同. 因为对应法则不同, x0, 1-x20. 因为当x1x2时, , 所以函数在区间(-, 1)内是单调增加的. (2)对于任意的x1, x2(0, +), 当x1x2时, 有 , 所以函数y=x+ln x在区间(0, +)内是单
6、调增加的. 10. 设 f(x)为定义在(-l, l)内的奇函数, 若f(x)在(0, l)内单调增加, 证明f(x)在(-l, 0)内也单调增加. 证明 对于x1, x2(-l, 0)且x1-x2. 因为f(x)在(0, l)内单调增加且为奇函数, 所以f(-x2)f(-x1), -f(x2)f(x1), 这就证明了对于x1, x2(-l, 0), 有f(x1)0); 解 由0x+a1得-ax1-a, 所以函数f(x+a)的定义域为-a, 1-a. (4) f(x+a)+f(x-a)(a0). 解 由0x+a1且0x-a1得: 当时, ax1-a; 当时, 无解. 因此当时函数的定义域为a,
7、 1-a, 当时函数无意义. 18. 设, g(x)=ex Error! No bookmark name given., 求fg(x)和gf(x), 并作出这两个函数的图形. 解 , 即. , 即. 19. 已知水渠的横断面为等腰梯形, 斜角j=40(图1-37). 当过水断面ABCD的面积为定值S0时, 求湿周L(L=AB+BC+CD)与水深h之间的函数关系式, 并指明其定义域. 图1-37 解 , 又从得, 所以. 自变量h的取值范围应由不等式组h0, 确定, 定义域为. 20. 收敛音机每台售价为90元, 成本为60元. 厂方为鼓励销售商大量采购, 决定凡是订购量超过100台以上的,
8、每多订购1台, 售价就降低1分, 但最低价为每台75元. (1)将每台的实际售价p表示为订购量x的函数; (2)将厂方所获的利润P表示成订购量x的函数; (3)某一商行订购了1000台, 厂方可获利润多少? 解 (1)当0x100时, p=90. 令0.01(x0-100)=90-75, 得x0=1600. 因此当x1600时, p=75. 当100xN时, xn与其极限之差的绝对值小于正数e , 当e =0.001时, 求出数N. 解 . . e 0, 要使|x n-0|N, 有|xn-0|0, $, 当nN时, 有, 所以. (2); 分析 要使, 只须, 即. 证明 因为e0, $, 当
9、nN时, 有, 所以. (3); 分析 要使, 只须. 证明 因为e0, $, 当nN时, 有, 所以. (4). 分析 要使|0.99 9-1|, 只须0, $, 当nN时, 有|0.99 9-1|0, $NN, 当nN时, 有, 从而|un|-|a|un-a|0, $NN, 当nN时, 有. 从而当nN时, 有 , 所以. 6. 对于数列xn, 若x2k-1a(k), x2k a(k ), 证明: xna(n). 证明 因为x2k-1a(k), x2k a(k ), 所以e0, $K1, 当2k-12K1-1时, 有| x2k-1-a|2K2时, 有|x2k-a|N, 就有|xn-a|e
10、. 因此xna (n).习题1-3 1. 根据函数极限的定义证明: (1); 分析 因为 |(3x-1)-8|=|3x-9|=3|x-3|, 所以要使|(3x-1)-8|0, $, 当0|x-3|d时, 有 |(3x-1)-8|e , 所以. (2); 分析 因为 |(5x+2)-12|=|5x-10|=5|x-2|, 所以要使|(5x+2)-12|0, $, 当0|x-2|d时, 有 |(5x+2)-12|0, $, 当0|x-(-2)|0, $, 当时, 有 , 所以. 2. 根据函数极限的定义证明: (1); 分析 因为 , 所以要使, 只须, 即. 证明 因为e 0, $, 当|x|X
11、时, 有 , 所以. (2). 分析 因为 . 所以要使, 只须, 即. 证明 因为e0, $, 当xX时, 有 , 所以. 3. 当x2时, y=x24. 问d等于多少, 使当|x-2|d时, |y-4|0.001? 解 由于当x2时, |x-2|0, 故可设|x-2|1, 即1x3. 要使 |x2-4|=|x+2|x-2|5|x-2|0.001, 只要. 取d=0.0002, 则当0|x-2|d时, 就有|x2-4|X时, |y-1|0.01? 解 要使, 只要, 故. 5. 证明函数f(x)=|x|当x0时极限为零. 证明 因为 |f(x)-0|=|x|-0|=|x|=|x-0|, 所以
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