二倍角公式复习--题型分类.doc

高一数学教案 必修4 三角恒等变换（第7课时） 郭锐
三角恒等变形补充 二倍角降次 升次
知识回顾：
二倍角公式：
， ，
，，
⑴二倍角公式的作用在于用单角的三角函数来表达二倍角的三角函数，它适用于二倍角与单角的三角函数之间的互化问题．
⑵二倍角公式不局限于是的二倍的形式，尤其是“倍角”的意义是相对的
⑶二倍角公式是从两角和的三角函数公式中，取两角相等时推导出，记忆时可联想相应角的公式．
⑷ 公式，，，成立的条件是：公式成立的条件是．其他
⑸熟悉“倍角”与“二次”的关系（降次——扩角，升次——缩角）
⑹特别注意公式的三角表达形式，且要善于变形：
这两个形式今后常用
方法、技巧篇
化简：三角函数式的化简是对给定的三角函数式，利用诱导公式、三角函数的基本公
式、同角三角函数关系等进行适当的等价变换，化为较为简单的形式．它是三角恒等变换里最重要的应用之一，也是高考常见题型．

【例1】 ．
分析：解的过程中反复使用二倍角公式，要注意凡是二倍角关系的余弦函数的连乘积问题，可采用类似方法解之．
解：原式
．

【例2】若，化简：．
分析：根据本题的结构特点，可重复使用公式，达到去根号的目的，这是解决此类问题的常规思路．
解：
原式

【例3】化简：．
分析：本题关键在于使被开方式变为完全平方式，以便脱掉根号，应自然联系到“”的代换问题，由于原式为算术平方根，因此在去根号时，应注意角的范围对三角函数值符号的影响．
解：原式

① 当时，，原式．
② 当时，，原式．
求值：解决这类问题的一般规律是恰当的应用诱导公式、三角函数公式合理的进行角的变换，并利用和角、差角、二倍角公式使其转化为特殊角的三角函数值的求解问题．

【例4】 ．
解析：首先采用“切化弦”，然后逆用差角公式与倍角公式化向同角（特殊角）．

原式

条件求值：解决这类问题的一般规律是将所给的三角函数式（条件）根据问题的需要进行变形，使其转为为所求函数式需要的条件，也可将所求的三角函数式经过适当的变形后再利用条件．

【例5】若，则 ．
解析：角的拆分——如何将要求的角用已知角表示．
．
【例6】已知，求的值．
解析：拆角变换仍然是本题的核心，观察发现，这是本题的突破口，由此推得的值．

【练习】已知，，求的值．
解析：，，

【例7】已知，且，求的值．
解析：拆角变换仍然是本题的核心，观察发现，这是本题的突破口，由此推得，进而求得，再利用二倍角公式求得的值．

，，
，即．
又，

恒等式证明：通过三角恒等变换，消除三角等式两端的差异，证明的基本思路是化繁为简，左右归一或变更论证．
【例8】求证：．
解析：观察被证等式，左边角为与，右边为，等式左边为余弦．正切且为分式，于是应从切化弦入手，利用倍角公式化为，再化为．
左边右边
所以，原等式成立．

【练习】已知，且，，
求证：．
解析：，

，得
两边同除得
方法梳理：常用方法为化弦法、化切法、拆项拆角法、常数代换法等等，要熟练掌握基本公式，善于从中选择巧妙的简捷方法
函数的性质及最值问题：一般是先利用和差倍半公式，对三角函数式通过恰当的三角变换化为单一三角函数的形式，从而研究等价转化后的函数的性质．

【例9】求函数的最小正周期和最小值，并写出该函数在上的单调的增区间．
解析：

故函数的最小正周期为；
当且仅当，即，函数有最小值为；
函数在上的单调增区间为和．
补充习题
一、选择题
1．(2011福建厦门模拟)已知tan α＝－，则tan的值为(　　)．[来源:w
A．－7 B．7 C．－ D．
2．(2011北京东城模拟)已知sin θ＝，sin θ－cos θ＞1，则sin 2θ＝(　　)．
A．－ B．－ C．－ D．
3.已知为第二象限角,,则（　　）
A． B． C． D．
4.若sinθ－cosθ=－,且π<θ<2π,则cos2θ等于（ ）
A. B.－ C.± D.－

5．cos275°+cos215°+cos75°cos15°的值等于（ ）
A. B. C. D.1+
6．(2010年大同模拟)函数f(x)＝sin2(x＋)－sin2(x－)是(　　)
A．周期为2π的奇函数 B．周期为2π的偶函数
C．周期为π的奇函数 D．周期为π的偶函数
7.若,则（　　）
A． B． C． D．
二、填空题[来源:]
1. 已知<α<π，3sin2α＝2cosα，则cos(α－π)＝________．－
2．设α是第二象限的角，tan α＝－，且sin<cos，则cos＝________.－
三、解答题
18．设函数f(x)＝2cos2x＋2sin xcos x－1(x∈R)
(1)化简函数f(x)的表达式，并求函数f(x)的最小正周期；
(2)若x∈，求函数f(x)的最大值与最小值．
解：(1)∵f(x)＝2cos2x＋2sin xcos x－1＝cos 2x＋sin 2x＝2sin，
∴函数f(x)的最小正周期T＝π.
(2)∵0≤x≤，∴≤2x＋≤，
∴－≤sin≤1，
∴－1≤2sin≤2，
∴当2x＋＝，
即x＝时，f(x)min＝－1；当2x＋＝，即x＝时，f(x)max＝2.[来源:]

徐州市第一中学数学组 第 7页（共7页）