比较二次根式大小的方法.doc

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比较二次根式大小的巧妙方法
二次根式是初中数学中的基础知识，也是初中数学学习中的重点内容；而比较二次根式的大小又是二次根式知识中的难点，也是中考和数学竞赛中常见的题型，经常会考到不查表、不求二次根式的值，来比较几个不含分母的二次根式的大小的问题。尽管教材上介绍了比较二次根式大小的几种基本方法，如求近似值法、比较被开方数法等，尽管很多教辅材料中也总结了不少诸如“作差”、“做商”、“有理化”、“取倒数”、“平方”等方法，但许多学生在考试中仍显得力不从心，并不清楚到底什么时候用哪种方法最合适？解答这类题目时缺少方法与对策，以至于无从下手。下面就举例介绍几种比较二次根式大小的有效方法。
一、移动因式法
此法好学，适用。就是将根号外的正因式移入根号内，从而转化为比较被开方数的大小。
例1：比较的大小。
解：

＞
∴＞
下面几种题型较难，只适用于培优学生，一般同学不需要掌握。
二、运用平方法
两边同时平方,转化为比较幂的大小。此法的依据是：两个正数的平方是正数，平方大的数就大；两个负数的平方也是正数，平方大的数反而小。
例2：比较与的大小。
解：∵，

＞0，＞0
∴＜
三、分母有理化法
此法是先将各自的分母有理化，再进行比较。
例3：比较与的大小。
解：

∴＞
四、分子有理化法
此法是先将各自的分子有理化，再比较大小。
例4：比较与的大小
解：∵

＞
∴＞
五、求差或求商法
求差法的基本思路是：设为任意两个实数，先求出与的差，再根据“当
＜0时，＜；当时，；当＞0时，＞”来比较与的大小。
求商法的基本思路是：设为任意两个实数，先求出与的商，再根据“①同号：当＞1时，＞；＝1时，；＜1时，＜。②异号：正数大于负数” 来比较与的大小。
例5：比较的大小。
解：∵

＜
∴＜
例6：比较的大小。
解：∵＞1
∴＞
六、求倒数法
先求两数的倒数，而后再进行比较。
例7：比较的大小。
解：∵

＞
∴＜
七、运用媒介法
此法是借助中间量（定量或变量）巧妙转换达到直观比较的方法，类似于解方程中的换元法。
例8：已知，，试比较的大小。
解：设，
则，
∵＜，∴＜，即＜
八、设特定值法
如果要比较的二次根式中含有字母，为了快速比较，解答时可在许可的条件下设定特殊值来进行比较。
例9：比较 与 的大小。
解：设，则：
＝1，＝
∵＜1，∴＞
九、局部缩放法
如果要比较的二次根式一眼看不出有什么特点，又不准求近似值，可采取局部缩放法，以确定它们的取值范围，从而达到比较大小的目的。
例10：比较的大小。
解：设，
∵，7＜＜8，即7＜＜8
，8＜＜9，即8＜＜9
∴＜，即＜
例11：比较与的大小。
解：∵＞

∴＞
十、“结论”推理法
通过二次根式的不断学习，不难得出这样的结论：“＞（＞＞0）”，利用此结论也可以比较一些二次根式的大小（结论证明见文末）。
例12：比较1与的大小。
解：∵，
由＞（＞＞0）可知：
＞
即＞
又∵＞
∴＞，即1＞
总的来说，比较二次根式大小的方法不仅仅局限于以上十种，除此之外诸如移项、拆项法，类比推理法，数形结合法，数轴法，还有假设推理法等等，但不管使用哪种方法，都必须在掌握二次根式的基本性质和运算法则上进行，要根据问题的特征，二次根式的结构特点，多角度地探索思考，做到具体问题具体分析，针对不同问题采取不同的策略，另外还应多做这方面的训练，方能达到熟练而又快捷，运用自如的程度。
附：“＞（＞＞0）”的证明。
证明：∵，，
＞
∴＞（＞＞0）
【典题新练】：
1、比较与的大小；
2、比较与的大小；
3、比较与的大小；
4、比较与的大小；
5、比较与的大小；
6、比较与的大小（其中为正整数）；
7、设，，试比较它们的大小；
8、比较与的大小；

9、比较与的大小；
10、 比较与的大小；
11、比较与的大小；
12、比较的大小；
13、比较与的大小；
14、 比较与的大小；
15、若为正整数，试比较的大小；
16、比较的大小
17、比较与的大小。
【典题新练参考答案】：
1、提示：，，∴＜
2、提示：平方后再进行比较
，，
∴＞
3、提示：可利用＞（＞＞0）。

＞，即＞
4、提示：分母有理化后再进行比较。
，，＜，
∴＜
5、提示：分子有理化后再进行比较。

∵＞，∴＜，
即＜
6、提示：∵ ，
其中为正整数， ∴ ＞
故 ＜
7、提示：设，
则：，
∵　＜ 　∴＜，∴＜
8、平方后再进行比较。
，，又∵＞，∴＞
∴＜，∴＜
9、提示：∵2＜＜3，7＜＜8，∴＜5＜，∴＜
10、提示：分子有理化后再进行比较。
因为，，而＞
所以＜，故＜
11、提示：分别求其倒数后，再进行比较。
∵，
＞，∴＜
12、提示：∵，而7＜＜8，∴的整数部分为7 。同样可得
的整数部分为8，∴＜
13、提示：∵＞
∴＞
14、提示：平方后再比较大小。
∵，，
∴＜
15、提示：由偶次根式的定义得，∴＜2009，∴＜0，
∴＞0，＜0，∴＞
16、提示：由，设＞，则＞4，两边平方得：
＞16，∴＞4，这与＜＝4相矛盾，
∴假设不成立，故＜。
17、提示：可在方格纸或坐标纸上作折线图。，示例如下图：，，；。由图可知：＞，即＞