六年级奥数一圆柱与圆锥.doc

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六年级奥数一：圆柱与圆锥
例1 ：如右图所示，圆锥形容器中装有5升水，水面高度正好是圆锥高度的一半，这个容器还能装多少升水?

例2 ：用一块长60厘米、宽40厘米的铁皮做圆柱形水桶的侧面，另找一块铁皮做底。这样做成的铁桶的容积最大是多少?(精确到1厘米3)

例3： 有一种饮料瓶的瓶身呈圆柱形(不包括瓶颈)，容积是30分米3。现在瓶中装有一些饮料，正放时饮料高度为20厘米，倒放时空余部分的高度为5厘米(见右图)。问：瓶内现有饮料多少立方分米?

例4：有A.B两个圆柱形容器，最初在容器A里装有2升水，容器B是空的。现在往两个容器中以每分钟0.4升的流量注入水，4分钟后，两个容器的水面高度相等。设B的底面半径为5厘米，那么A的底面直径是多少厘米？

例5：将一个圆柱体木块沿上下底面圆心切成四块，表面积增加48平方厘米；若将这个圆柱体切成三块小圆柱体，表面积增加50.24平方厘米。现在把这个圆柱体木块削成一个最大的圆锥体，体积减少多少立方厘米？

例6：一个圆柱形的玻璃杯盛有水，水面高2.5厘米，玻璃杯内侧底面积是72平方厘米，在这个杯中放进棱长6厘米的正方体铁块后，水面没有淹没铁块，这时水面高多少厘米？

例7：在一个底面直径为20cm的装有一部分水的圆柱体玻璃杯，水中放着一个底面直径为6cm，高20cm的一个圆锥体铅锤。当铅锤从水中取出后，杯中的水将下降几cm？（π=3.14）

奥数一：圆柱与圆锥答案一：
例1：分析与解：本题的关键是要找出容器上半部分的体积与下半部分的关系。
　　设圆锥容器的底面积为r，则睡眠半径为r/2。容器的容积为1/3лrrh，容器中水的体积为1/3л(r/2×r/2)(h/2)=1/24лrrh。
　　1/3лrrh÷1/24лrrh=8
这表明容器可以装8份5升水，已经装了1份，还能装水5×(8-1)=35(升)。
例2：分析与解：铁桶有以60厘米的边为高和以40厘米的边为高两种做法。
　　以60厘米的边为高时，桶底周长为40厘米。由2лr=40知，r=20/л。此时桶的容积是
　　лrrh=л(20/л×20/л)×60=24000/л立方厘米
　　以40厘米的边为高时，桶底周长为60厘米。由2лr=60知，r=30/л。此时桶的容积是
　　лrrh=л(30/л×30/л)×40=36000/л立方厘米
　　根据比较得出，容积最大的是36000/л=11465立方厘米。
例3：分析与解：瓶子的形状不规则，并且不知道底面的半径，似乎无法计算。比较一下正放与倒放，因为瓶子的容积不变，装的饮料的体积不变，所以空余部分的体积应当相同。将正放与倒放的空余部分变换一下位置，可以看出饮料瓶的容积应当等于底面积不变，高为 20+5=25(厘米)的圆柱体的体积。推知饮料占容积的20/25=4/5,所以瓶内有饮料30×4/5=24立方分米。
 例4：B容器里的水＝0.4×4=1.6升
A容器里的水＝2+1.6＝3.6升
A容器里的水与B容器里的水的体积比＝3.6:1.6=9:4
因为高一样，所以底面积比也是9：4，底面直径比就是3：2。
A的直径＝5×2÷2×3＝15厘米
例5：根据：将这个圆柱体切成三块小圆柱体，表面积增加50.24平方厘米。
得出：圆柱的底面积＝50.24÷4＝12.56平方厘米 底面半径＝2cm 直径＝4cm
根据：将一个圆柱体木块沿上下底面圆心切成四块，表面积增加48平方厘米
得出：圆柱的高＝48÷4÷4＝3cm
体积减少＝12.56×3×（1－1/3）＝25.12立方厘米
例6：设水面高x厘米，依题意有：
72*2.5+6*6x＝72x
解得：x＝5
例7：分析：铅锤取出后，水面下降部分实际是圆锥的体积，求出圆锥的体积，转化为圆柱的体积，即可求出水面下降的高度．
解答：解：因为玻璃杯是圆柱形的，所以铅锤取出后，水面下降部分实际是圆锥的体积，这个
圆柱的底面与玻璃杯的底面一样，是一直径为20cm的圆，它的体积正好等于圆锥体铅锤的
体积，这个小圆柱的高就是水面下降的高度．
因为圆锥形铅锤的体积为 1/3×π×(6/2)×20=60πcm3
设水面下降的高度为x，则小圆柱的体积为：π×（20÷2）2×x=100πxcm3
所以有下列方程60π=100πx，解此方程得x=0.6cm（9分）
答；铅锤取出后，杯中水面下降了0.6cm