2023年双曲线二级结论大全.doc

双曲线
1. 2.原则方程 3.
4．点P处切线PT平分△PF1F2在点P处内角.
5．PT平分△PF1F2在点P处内角，则焦点在直线PT上射影H点轨迹是以实轴为直径圆，除去实轴两个端点.
6．以焦点弦PQ为直径圆必与对应准线相交.
7．以焦点半径PF1为直径圆必与以实轴为直径圆外切.
8．设P为双曲线上一点，则△PF1F2内切圆必切于与P在同侧顶点.
9．双曲线（a＞0,b＞0）两个顶点为,，与y轴平行直线交双曲线于P1、P2时A1P1与A2P2交点轨迹方程是.
10．若在双曲线（a＞0,b＞0）上，则过双曲线切线方程是.
11．若在双曲线（a＞0,b＞0）外 ，则过Po作双曲线两条切线切点为P1、P2，则切点弦P1P2直线方程是.
12．AB是双曲线（a＞0,b＞0）不平行于对称轴且过原点弦，M为AB中点，则.
13．若在双曲线（a＞0,b＞0）内，则被Po所平分中点弦方程是.
14．若在双曲线（a＞0,b＞0）内，则过Po弦中点轨迹方程是.
15．若PQ是双曲线（b＞a ＞0）上对中心张直角弦，则.
16．若双曲线（b＞a ＞0）上中心张直角弦L所在直线方程为,则(1) ;(2) .
17．给定双曲线：（a＞b＞0），：,则(i)对上任意给定点,它任一直角弦必要通过上一定点M.
(ii)对上任一点在上存在唯一点,使得任一直角弦都通过点.
18．设为双曲线（a＞0,b＞0）上一点，P1P2为曲线C动弦,且弦PP1，PP2斜率存在，记为k1，k 2，则直线P1P2通过定点充要条件是.
19．过双曲线（a＞0,b＞o）上任一点任意作两条倾斜角互补直线交双曲线于B,C两点，则直线BC有定向且（常数）.
20．双曲线（a＞0,b＞o）左右焦点分别为F1，F 2，点P为双曲线上任意一点，则双曲线焦点角形面积为， .
21．若P为双曲线（a＞0,b＞0）右（或左）支上除顶点外任一点,F1，F 2是焦点，，，则（或）.
22．双曲线（a＞0,b＞o）焦半径公式： ，
当在右支上时，,.
当在左支上时，,.
23．若双曲线（a＞0,b＞0）左、右焦点分别为F1、F2，左准线为L，则当1＜e≤时，可在双曲线上求一点P，使得PF1是P到对应准线距离d1与PF2比例中项.
24．P为双曲线（a＞0,b＞0）上任一点,F1,F2为二焦点，A为双曲线左支内一定点，则,当且仅当三点共线且在左支时，等号成立.
25．双曲线（a＞0,b＞0）上存在两点有关直线：对称充要条件是.
26．过双曲线焦半径端点作双曲线切线，与以长轴为直径圆相交，则对应交点与对应焦点连线必与切线垂直.
27．过双曲线焦半径端点作双曲线切线交对应准线于一点，则该点与焦点连线必与焦半径互相垂直.
28．P是双曲线（a＞0，b＞0）上一点，则点P对双曲线两焦点张直角充要条件是.
29．设A,B为双曲线（a＞0,b＞0，）上两点，其直线AB与双曲线相交于,则.
30．在双曲线中，定长为2m（）弦中点轨迹方程为

31．设S为双曲线（a＞0,b＞0）通径，定长线段L两端点A,B在双曲线右支上移动，记|AB|=，是AB中点，则当时，有,);当时，有.
32．双曲线（a＞0,b＞0）与直线有公共点充要条件是.
33．双曲线（a＞0,b＞0）与直线有公共点充要条件是.
34．设双曲线（a＞0,b＞0）两个焦点为F1、F2,P（异于长轴端点）为双曲线上任意一点，在△PF1F2中，记，,，则有.
35．通过双曲线（a＞0,b＞0）实轴两端点A1和A2切线，与双曲线上任一点切线相交于P1和P2，则.
36．已知双曲线（b＞a＞0），O为坐标原点，P、Q为双曲线上两动点，且.（1）;（2）|OP|2+|OQ|2最小值为;（3）最小值是.
37．MN是通过双曲线（a＞0,b＞0）过焦点任一弦(交于两支)，若AB是通过双曲线中心O且平行于MN弦，则.
38．MN是通过双曲线（a＞b＞0）焦点任一弦(交于同支)，若过双曲线中心O半弦，则.
39．设双曲线（a＞0,b＞0）,M(m,o)为实轴所在直线上除中心，顶点外任一点，过M引一条直线与双曲线相交于P、Q两点，则直线A1P、A2Q(A1 ,A2为两顶点)交点N在直线：上.
40．设过双曲线焦点F作直线与双曲线相交 P、Q两点，A为双曲线长轴上一种顶点，连结AP 和AQ分别交对应于焦点F双曲线准线于M、N两点，则MF⊥NF.
41．过双曲线一种焦点F直线与双曲线交于两点P、Q，A1、A2为双曲线实轴上顶点，A1P和A2Q交于点M，A2P和A1Q交于点N，则MF⊥NF.
42．设双曲线方程,则斜率为k(k≠0)平行弦中点必在直线：共轭直线上,并且.
43．设A、B、C、D为双曲线（a＞0,b＞o）上四点,AB、CD所在直线倾斜角分别为，直线AB与CD相交于P,且P不在双曲线上,则.
44．已知双曲线（a＞0,b＞0）,点P为其上一点F1，F 2为双曲线焦点，内（外）角平分线为，作F1、F2分别垂直于R、S，当P跑遍整个双曲线时，R、S形成轨迹方程是().
45．设△ABC三顶点分别在双曲线上，且AB为直径，为AB共轭直径所在直线，分别交直线AC、BC于E和F，又D为上一点，则CD与双曲线相切充要条件是D为EF中点.
46．过双曲线（a＞0,b＞0）右焦点F作直线交该双曲线右支于M,N两点，弦MN垂直平分线交x轴于P，则.
47．设A（x1 ,y1）是双曲线（a＞0,b＞0）上任一点，过A作一条斜率为直线L，又设d是原点到直线 L距离，分别是A到双曲线两焦点距离，则.
48．已知双曲线（a＞0,b＞0）和（ ），一条直线顺次与它们相交于A、B、C、D四点，则│AB│=|CD│.
49．已知双曲线（a＞0,b＞0）,A、B是双曲线上两点，线段AB垂直平分线与x轴相交于点，则或.
50．设P点是双曲线（a＞0,b＞0）上异于实轴端点任一点,F1、F2为其焦点记，则(1).(2) .
51．设过双曲线实轴上一点B（m,o）作直线与双曲线相交于P、Q两点，A为双曲线实轴左顶点，连结AP和AQ分别交对应于过B点直线MN：于M，N两点,则.
52．L是通过双曲线（a＞0,b＞0）焦点F且与实轴垂直直线，A、B是双曲线两个顶点，e是离心率,点，若，则是锐角且或（当且仅当时取等号）.
53．L是通过双曲线（a＞0,b＞0）实轴顶点A且与x轴垂直直线，E、F是双曲线准线与x轴交点,点，e是离心率，，H是L与X轴交点c是半焦距，则是锐角且或（当且仅当时取等号）.
54．L是双曲线（a＞0,b＞0）焦点F1且与x轴垂直直线，E、F是双曲线准线与x轴交点，H是L与x轴交点，点，,离心率为e，半焦距为c，则为锐角且或（当且仅当时取等号）.
55．已知双曲线（a＞0,b＞0），直线L通过其右焦点F2,且与双曲线右支交于A、B两点，将A、B与双曲线左焦点F1连结起来，则（当且仅当AB⊥x轴时取等号）.
56．设A、B是双曲线（a＞0,b＞0）长轴两端点，P是双曲线上一点，，,，c、e分别是双曲线半焦距离心率，则有(1).(2) .(3) .
57．设A、B是双曲线（a＞0,b＞0）实轴上分别位于双曲线一支内（含焦点区域）、外部两点，且、横坐标，（1）若过A点引直线与双曲线这一支相交于P、Q两点，则；（2）若过B引直线与双曲线这一支相交于P、Q两点，则.
58．设A、B是双曲线（a＞0,b＞0）实轴上分别位于双曲线一支内（含焦点区域），外部两点，（1）若过A点引直线与双曲线这一支相交于P、Q两点，（若B P交双曲线这一支于两点，则P、Q不有关x轴对称），且，则点A、B横坐标、满足；（2）若过B点引直线与双曲线这一支相交于P、Q两点，且,则点A、B横坐标满足.
59．设是双曲线实轴两个端点，是与垂直弦，则直线与交点P轨迹是双曲线.
60．过双曲线（a＞0,b＞0）右焦点作互相垂直两条弦AB、CD,则；

61．到双曲线（a＞0,b＞0）两焦点距离之比等于（c为半焦距）动点M轨迹是姊妹圆.
62．到双曲线（a＞0,b＞0）实轴两端点距离之比等于（c为半焦距）动点M轨迹是姊妹圆.
63．到双曲线（a＞0,b＞0）两准线和x轴交点距离之比为（c为半焦距）动点轨迹是姊妹圆（e为离心率）.
64．已知P是双曲线（a＞0,b＞0）上一种动点，是它实轴两个端点,且,，则Q点轨迹方程是.
65．双曲线一条直径(过中心弦)长，为通过一种焦点且与此直径平行弦长和实轴之长比例中项.
66．设双曲线（a＞0,b＞0）实轴端点为,是双曲线上点过P作斜率为直线，过度别作垂直于实轴直线交于,则（1）.（2）四边形面积趋近于.
67．已知双曲线（a＞0,b＞0）右准线与x轴相交于点，过双曲线右焦点直线与双曲线相交于A、B两点,点在右准线上，且轴，则直线AC通过线段EF 中点.
68．OA、OB是双曲线（a＞0,b＞0,且）两条互相垂直弦，O为坐标原点，则（1）直线AB必通过一种定点.(2) 以O A、O B为直径两圆另一种交点Q轨迹方程是（除原点）。
69．是双曲线（a＞0,b＞0）上一种定点，P A、P B是互相垂直弦，则（1）直线AB必通过一种定点.（2）以P A、P B为直径两圆另一种交点Q轨迹方程是
(除P点).
70．假如一种双曲线虚半轴长为b，焦点F1、F2到直线距离分别为d1、d2，那么（1），且F1、F 2在 异侧直线L和双曲线相切,或是双曲线渐近线.（2），且F1、F2在L异侧直线 和双曲线相离，（3），或F1、F2在L同侧直线L和双曲线相交.
71．AB是双曲线（a＞0,b＞0）实轴，是双曲线上动点，过切线与过A、B切线交于、两点，则梯形ABDC对角线交点M轨迹方程是.
72．设点为双曲线（a＞0,b＞0）内部(（含焦点区域）)一定点，AB是双曲线过定点任一弦.
(1)如,则当弦AB垂直于双曲线实轴所在直线时.
(2)如,则当弦AB平行（或重叠）于双曲线实轴所在直线时，.
73．双曲线焦三角形中,以焦半径为直径圆必与以双曲线实轴为直径圆相外切.
74．双曲线焦三角形内切圆必切长轴于非焦顶点同侧实轴端点.
75．双曲线两焦点到双曲线焦三角形内切圆切线长为定值a+c与c-a.
76．双曲线焦三角形非焦顶点到其旁切圆切线长为定值c-a.
77．双曲线焦三角形中,外点到一焦点距离与以该焦点为端点焦半径之比为常数e(离心率). 注:在双曲线焦三角形中,非焦顶点内、外角平分线与长轴交点分别称为内、外点.
78．双曲线焦三角形中,其焦点所对旁心将外点与非焦顶点连线段提成定比e.
79．双曲线焦三角形中,半焦距必为内、外点到双曲线中心比例中项.
80．双曲线焦三角形中,双曲线中心到内点距离、内点到同侧焦点距离、半焦距及外点到同侧焦点距离成比例.
81．双曲线焦三角形中,半焦距、外点与双曲线中心连线段、内点与同侧焦点连线段、外点与同侧焦点连线段成比例.
82．双曲线焦三角形中,过任一焦点向非焦顶点内角平分线引垂线,则双曲线中心与垂足连线必与另一焦半径所在直线平行.
83．双曲线焦三角形中,过任一焦点向非焦顶点内角平分线引垂线,则双曲线中心与垂足距离为双曲线实半轴长.
84．双曲线焦三角形中,过任一焦点向非焦顶点内角平分线引垂线,垂足就是垂足同侧焦半径为直径圆和双曲线实轴为直径圆切点.
85．双曲线焦三角形中,非焦顶点内角平分线与焦半径、实轴所在直线夹角余弦比为定值e.
86．双曲线焦三角形中,非焦顶点法线即为该顶角外角平分线.
87．双曲线焦三角形中,非焦顶点切线即为该顶角内角平分线.
88．双曲线焦三角形中,过非焦顶点切线与双曲线实轴两端点处切线相交,则以两交点为直径圆必过两焦点.
89.已知双曲线上有一点，过度别引其渐近线平行线，分别交轴于，交轴于， 为原点，则： （1）； （2）.
90. 过平面上点作直线及平行线，分别交轴于，交轴于.（1）若，则轨迹方程是.(2)若，则轨迹方程是.
91. 点为双曲线在第一象限弧上任意一点，过引轴、轴平行线，交轴、轴于，交直线于，记 与面积为，则：.
92. 点为第一象限内一点，过引轴、轴平行线，交轴、轴于，交直线于，记 与面积为，已知，则轨迹方程是或
双曲线性质92条证明
1.双曲线第一定义。 2.由定义即可得双曲线原则方程。 3.双曲线第二定义。
4.设在第一象限，切线PT（即）斜率为k，所在直线斜率为，所在直线斜率为，与PT夹角为α，与PT夹角为β。由两直线夹角公式得：

同理可证其他状况。故切线PT平分点P处内角。
5.不妨设P在第一象限。作F2有关切线PT对称点M，由4可知M在PF1上，则，垂足H为F2M中点，则OH=，同理可证其他状况。射影H轨迹是以实轴为直径圆除去两端点。
6. 设P，Q两点到与焦点对应准线距离分别为，以PQ中点到准线距离为，以PQ为直径圆半径为r，则，故以PQ为直径圆与对应准线相交。
7. 如图，两圆圆心距为，故两圆外切。
7图 8图
8. 如图，由切线长定理：，
而，与重叠，故内切圆与x轴切于右顶点，同理可证P在其她位置状况。
9. 设，则
则 ∴P点轨迹方程为
10. 在双曲线上，对求导得：
切线方程为即
11.设，由10得：，由于点在直线上，且同步满足方程，因此
12.作差得：

13.由12可得：

14. .由12可得：

15. 设，则

16. 将直线AB代入双曲线方程中得：
，
设则，

17.设双曲线内直角弦AB方程为：即。
当斜率k存在时，代入双曲线C1方程中得：
设得，
则

即直线AB过定点，此点在C2上。当直线斜率不存在时，直线AB也过C2上定点。
由上可知C1和C2上点由此建立起一种一一对应关系，即证。
18.必要性：设P1P2：。k存在时，代入双曲线方程中得：

设得，

k不存在时，P1P2：x=mx0则，

必要性得证。
充足性：设P1P2过定点，则P1P2：。代入双曲线方程得：

设得，
则

验证k不存在状况，也得到此结论。故过定点，充足性得证。
19. 设AB：即

20. 由余弦定理：

21.由正弦定理得 P在右支时，

同理当P在左支时，
22. 由第二定义得：M在右支时，
M在左支时，。
23. 易知P在左支上，

24.易知当P在左支时有最小值，此时：。当且仅当三点共线且在左支时，等号成立.。
25.易知当k=0时，只有x轴符合规定，但此时不存在。故。当时，设A，B两点有关直线y=kx+m对称，直线AB方程为，易知即。
联立AB与双曲线方程得： 得
即 ① AB中点在y=kx+m上，得 ②
②代入①得，解②得 ③ 当m=0时由①②得p=0，。
当m>0时解得或，代入③得或；
当m<0时解得或，代入③得或。
由此可见两种状况结论相似。 当时，，。
故对任意m，结论可统一体现为
当，即当时，
26. 由5即可得证。
27. 设P，则切线，A
27图

28.

29. 设。联立得：
，由韦达定理：
同理。则APBQ=
而符号一定相反，故==0。因此AP=BQ
30. ① 当A，B同支时，设，为AB中点。
则

而
设，则
解得，代入m2得：
令得：
因此定长为2m（）弦中点轨迹方程为。
其中，时。
② 当A，B异支时，设，为AB中点。
则

而
设，则
解得，代入m2得：
令得：
因此定长为2m（）弦中点轨迹方程为。
其中，时。
综上所述，定长为2m（）弦中点轨迹方程为：

31. 设，为AB中点。则：

二次函数y=e2x2-mx+a2与在内交点即为x0值。易知y=e2x2-mx+a2与右交点为x0值。当m增大时，x0增大。要使x0最小，则要使m最小。
，此时等号成立时
当此式成立时
当时： 当时：
当时，，。
当时，当，即AB垂直于x轴时x0最小。

32.由33，当时，
33.

34.由正弦定理得，因此。
35. 设，则P点处切线为，
由此可得：
36.（1）同15。（2）由15,36（3）：

（3）设，

37. 设，分别代入双曲线方程得：
，由参数t几何意义可知：

38.由双曲线极坐标方程得：，
设OP：代入双曲线方程得：，
∴
39. 设，将方程代入双曲线得：
由韦达定理得：，直线A1P方程为，直线A2Q方程为，联立A1P和A2Q得交点N横坐标，代入化简：

因此交点一定在直线上。
引理（张角定理）：A,C,B三点按次序排列在一条直线上。直线外一点P对AC张角为α，对CB张角为β。
则：
40图 41图
40.如图，A为左顶点时，设，则
。
对F-AMP由张角定理：

即FM平分，同理FN平分。即MF⊥NF
当A为右顶点时，由39可知左顶点A’与P、M；与Q、N分别共线，于是回到上一种状况。
41.如图，设，则
对F-QA2M和F-A1MP由张角定理：
两式相加并化简得：
即FM平分，同理FN平分。即MF⊥NF
42. 由12即可证得。
43. 设，AB：，CD：，将AB方程代入双曲线得：

由参数t几何意义可知：，同理
易知P与A，B和C，D位置关系一定相似
44. 对于内角平分线状况由5即可证得，下仅证为外角平分线状况。

设P，则
则，
。分别联立、和、得：
，
则， 对点：
，代回式得：

同理对点得。故点、点轨迹方程为
45.由伸缩变换将双曲线变为等轴双曲线，再由旋转变换变为坐标轴为渐近线双曲线
本来共轭直径变为两条有关y轴对称直线。只需证明此状况即可证明原命题。
设，则，，则直线AC：
同理BC：。C点处切线。分别联立EF与AC，EF与AB，EF与C点处切线得：
。
由E，D，F三点共线可知，D为EF中点。
46. 设，由双曲线极坐标方程：
，
47. 由10可知为切线 由22:

48.同29。
49.

50.同20。
51. 设，代入双曲线方程得：
由韦达定理得：
由A、P、M三点共线得，同理

52,53,54为同一类题（最佳观画位置问题），现给出公式：若有两定点A，B，点P在直线x=m上（m>k），则当时，∠APB最大，其正弦值为。
52.k=a,m=c ∴sinα≤,当且仅当PF=b时取等号。 53. k=,m= a ∴sinα≤,当且仅当PA=时取等号。
54. k=,m= c ∴sinα≤,当且仅当PF1=时取等号。
55. 设∠AF2x=，则
当且仅当=90°时等号成立。
56. （1）设，代入双曲线方程得： ∵AP=≠0
∴AP=
（2）设则
（3）
由（2）：
57. 由58可证。
58.（1）易知PQ斜率为0和斜率不存在时，对任意x轴上点A都成立。设，A（m，0）
代入双曲线方程得：，则
若，则

（2）作P有关x轴对称点，由（1）即证。
59.同9。
60.设，代入双曲线方程得：
，同理对倾斜角。

当a=b时，，，此时或。
当时，设，则有关在上增至正无穷，在上单调减，在和之间先减后增，此时两者异号。
当和时，当为0或1时，有最小值。
当介于和之间时：
等号成立时即。而
故当时，，最小值为。
61,62,63为同一类问题，现给出公式：若点P到两定点A，B距离之比，则P点轨迹为一种圆，圆心坐标为，圆半径为。
下三个题比值均为，代入上述公式得：圆心坐标为，圆半径为。
61.m=c，圆心坐标为，圆半径为。轨迹方程是姊妹圆。
62.m=a，圆心坐标为，圆半径为。轨迹方程是姊妹圆。
63.m=，圆心坐标为，圆半径为。轨迹方程是姊妹圆。
64. 设，由得
消去参数得Q点轨迹方程：
65.同37。
66.（1）同35。
（2）由基本不等式（渐近线时取等号），则梯形面积趋近于一种最小值。
67.设AC交x轴于M，AD⊥于D。由双曲线第二定义：
∴AC过EF中点。
68.（1）由17可知当双曲线方程为时，AB过定点。当双曲线方程变为
时，双曲线向右平移了个单位，定点也应向右平移了个单位，故此时AB过定点即
（2）由69（2）P为原点，即m=n=0时Q轨迹方程是（除原点）。
69.（1）由17可知当双曲线方程为时，AB过定点。当双曲线方程变为时，双曲线向右平移了个单位，定点也应向右平移了个单位，故此时AB过定点即。
（2）先证双曲线中心在原点状况。双曲线方程为：，，AB斜率为。
由17（1）：AB过定点，设AB：，PQ：
两者联立得，
则

当双曲线方程变为时，双曲线向右平移了个单位，圆心也应向右平移了个单位，而半径不变。故此时圆心坐标为即，半径平方仍为。
∴Q点轨迹方程为（除P点）。
70. 设L:Ax+By+C=0,则
将L代入双曲线方程得：，
，且F1、F 2在 异侧直线L和双曲线相切,或是双曲线渐近线；
，且F1、F2在L异侧直线 和双曲线相离；，或F1、F2在L同侧直线L和双曲线相交.
71. 由35：
联立解得，消去参数得M点轨迹方程为：
72. 由43：。∵P在含焦点一侧 ∴
当时，当，即AB与实轴垂直时，；当a<b时，当，即AB与实轴平行或重叠时，。无论a与b关系怎样，均无最大值。
73.同7。 74.同8。 75.由8可知，切线长分别为，，同理可证P在其她位置状况。
76.如图，由切线长定理2F1S=PF1+PF2+F1F2，PS=F1S-PF1，因此PS=PQ=c-a.
76图 77图
77. 设P，由79中得到外点坐标和22中焦半径公式：
78.由77和内角平分线定理：。
79. 设P，则内角平分线（即切线），由此得内点；同理外角平分线（即法线），由此得外点
80. 由79中得到内外点坐标可得：，即证。
81.由79中得到内外点坐标可得：，即证。
82.同5。 83.同5。 84.由5,7即证。
85. 设P，则内角平分线（即切线），
由50得：，则

86. 由4即证。 87.同4。
88. 由71：，
同理：
，即两焦点在以两交点为直径圆上。
89. 设P，则
同理 ∴
同理
90. 设P，则
同理：
均推出P点轨迹方程为。
91. 设，则
92. 设P，则 由此得P点轨迹方程为，即：或。