实变函数第一章答案.doc

习题1.1

1．证明下列集合等式．
(1) ；
(2) ；
(3) ．
证明 (1)

.
(2)

=.
(3)

.
2．证明下列命题．
(1) 的充分必要条件是：；
(2) 的充分必要条件是：Ø；
(3) 的充分必要条件是：Ø．
证明 (1) 的充要条
是：
(2)
必要性. 设成立，则, 于是有, 可得 反之若 取, 则, 那么与矛盾.
充分性. 假设成立, 则, 于是有, 即
(3) 必要性. 假设, 即 若 取 则 于是 但 与矛盾.
充分性. 假设成立, 显然成立, 即.
3．证明定理1.1.6．
定理1.1.6 (1) 如果是渐张集列, 即 则收敛且

(2) 如果是渐缩集列, 即 则收敛且
证明 (1) 设 则对任意 存在使得 从而 所以 则 又因为 由此可见收敛且
(2) 当时, 对于存在使得 于是对于任意的 存在使得, 从而 可见 又因为 所以可知收敛且
4．设是定义于集合上的实值函数，为任意实数，证明：
(1) ；
(2) ；
(3) 若，则对任意实数有
．
证明 (1) 对任意的 有 则存在使得成立. 即 那么 故 另一方面, 若 则存在使得 于是, 故. 则有
(2) 设, 则, 从而对任意的, 都有, 于是, 故有
另一方面, 设, 则对于任意的, 有, 由的任意性, 可知, 即, 故.
(3) 设, 则. 由 可得对于任意的, 存在使得, 即, 即, 故, 所以, 故；
另一方面, 设, 则对任意有. 由下极限的定义知：存在使得当时, 有, 即对任意有; 又由 知 即对任意的, 存在使得当时, 有. 取, 则有与同时成立, 于是有, 从而, 由的任意性知：, 即, 故有
;
综上所述：
5．证明集列极限的下列性质．
(1) ；
(2) ；
(3) ；
(4) ．
证明 (1) .
(2) .
(3)

.
(4)

.
6．如果都收敛，则都收敛且
(1) ；
(2) ；
(3) ．
习题1.2

1．建立区间与之间的一一对应．
解 令
, ,,
则,.
定义为:
则为之间的一个一一对应.
2．建立区间与之间的一一对应，其中．
解 定义: 为:

可以验证: 为一个一一对应.
3．建立区间与之间的一一对应，其中．
解 令，
. 定义为:

可以验证: 为一个一一对应.
4．试问：是否存在连续函数，把区间一一映射为区间?是否存在连续函数，把区间一一映射为?
答 不存在连续函数把区间一一映射为; 因为连续函数在闭区间存在最大、最小值.
也不存在连续函数把区间一一映射为; 因为连续函数在闭区间上存在介值性定理, 而区间不能保证介值性定理永远成立.
5．证明：区间且．
证明 记,则.
任取, 设 为实数正规无穷十进小数表示, 并令, 则得到单射. 因此由定理1.2.2知.
若令, 则. 从而由定理1.2.2知: .
最后, 根据定理知: .
对于,定义为:
,
则为的一个一一对应,即. 又因为: , 则由对等的传递性知: 且.
6．证明：与对等并求它们的基数．
证明 令, ,
.
则. 定义: 为:

可以验证: 为一一对应, 即. 又因为, 所以 .
7．证明：直线上任意两个区间都是对等且具有基数．
证明 对任意的 取有限区间则, 则由定理知, 同理. 故.

习题1.3

1．证明：平面上顶点坐标为有理点的一切三角形之集是可数集．
证明 因为有理数集是可数集，平面上的三角形由三个顶点所确定，而每个顶点由两个数决定，故六个数可确定一个三角形，所以中的每个元素由中的六个相互独立的数所确定，即 所以为可数集.
2．证明：由平面上某些两两不交的闭圆盘之集最多是可数集．
证明 对于任意的, 使得. 因此可得：. 因为与不相交，所以. 故为单射，从而.
3．证明：（1）任何可数集都可表示成两个不交的可数集之并；（2）任何无限集都可表成可数个两两不交的无限集之并．
证明 (2) 当可数时，存在双射. 因为

所以
.
其中：.
又因为
且
可数，所以可表示成可数个两两不交的无限集之并．
当不可数时，由于无限，所以存在可数集, 且不可数且无限，从而存在可数集，且无限不可数. 如此下去，可得都可数且不相交，从而
.
其中无限且不交.
4．证明：可数个不交的非空有限集之并是可数集．
5．证明：有限或可数个互不相交的有限集之并最多是可数集．
证明 有限个互不相交的有限集之并是有限集；而可数个互不相交的有限集之并最多是可数集.
6．证明：单调函数的不连续点之集至多是可数集．
证明 不妨设函数在单调递增，则在间断当且仅当
.
于是，每个间断点对应一个开区间.
下面证明：若为的两个不连续点，则有.
事实上，任取一点，使，于是
，
从而对应的开区间与对应的开区间不相交，即不同的不连续点对应的开区间互不相交，又因为直线上互不相交的开区间所构成的集合至多是可数集，所以可知单调函数的不连续点之集至多是可数集.
7．证明：若存在某正数使得平面点集中任意两点之间的距离都大于，则至多是可数集．
证明 定义映射，即，其中表示以为中心，以为半径的圆盘. 显然当时，有，即，于是为双射，由第2题知：，故.
习题1.4

1．直线上一切闭区之集具有什么基数？区间中的全体有理数之集的基数是什么?
答 直线上一切闭区间之集的基数是. 这是因为：为单射，而为满射，所以.
区间中的全体有理数之集的基数是，这是因为：.
2．用表示上的一切连续实值函数之集，证明：
(1) 设，，则
；
(2) 公式

定义了单射；
(3) ．
证明 (1) 必要性. 显然.
充分性. 假设成立. 因为，存在有理数列，使得，由，可得
及.
又因为为有理点列，所以有，故，都有.
(2) ，设，即
.
由(1)知：. 故为单射.
(3) 由(2)知：；又由，可得. 故.
3．设为闭区间上的一切实值函数之集，证明：
(1) 定义了一个单射
；
(2) ，定义了单射；
(3) 的基数是．
证明 (1) ，设，即
.
从而，故为单射.
(2) ，设，则，故为单射.
(3) 由(1)知：；又由(2)知：，故.
4．证明：．
证明 因为，而，故；又由定理1..4.5知：.
5．证明：若为任一平面点集且至少有一内点，则．
证明 显然. 设，则使得，可知，故.

第一章总练习题

证明下列集合等式．
(1) ；
(2) ．
证明 (1) 因为
,
.
所以
.
(2) 因为

所以.
证明下列集合等式．
(1) ；(2) ．
证明 (1) .
(2) .
3．证明：，其中为定义在的两个实值函数，为任一常数．
证明 若, 则有且, 于是
,
故. 所以.
4．证明：中的一切有理点之集与全体自然数之集对等．
证明 因为,所以(推论1.3.1). 又因为, 所以, 故.
5．有理数的一切可能的序列所成之集具有什么基数？

6．证明：一切有理系数的多项式之集是可数集．
证明 设

于是

显然 所以 因此由定理1.3.5知：
7．证明：一切实系数的多项式之集的基数为．
证明 记

于是

显然 所以 因此由定理1.4.3知：
8．证明：全体代数数(即可作为有理系数多项式之根的数)之集是可数集，并由此说明超越数(即不是代数数的实数)存在，而且全体超越数之集的基数是．
证明 由于有理系数多项式的全体是可数集，设其元素为 记多项式的全体实根之集为 由于次多项式根的个数为有限个，故为有限集，从而代数数全体为可数个有限集的并，故为可数集，即
设超越数全体所成之集为 即 则 从而必为无限集，由于为可数集，而任一无限集添加一个可数集其基数不变，故
9．证明：，则．
证明 因为

又因为

所以由保并性知

即
10．证明：若则．
证明 (反证法) 假设 则由已知可得 这与矛盾. 故有.
11．证明：若，则或．
证明 假设 则有 这与矛盾，故有或.
12．证明：若，则存在使得．
证明同上.