算法案例秦九邵算法.pptx

例例2 2 求求325325，130130，270270三个数的最大三个数的最大公约数公约数.因为因为325=1302+65325=1302+65，130=652130=652，所以所以325325与与130130的最大公约数是的最大公约数是65.65.因为因为270=654+10270=654+10，65=106+565=106+5，10=5210=52，所以所以6565与与270270最大公约数是最大公约数是5.5.故故325325，130130，270270三个数的最大公约三个数的最大公约数是数是5.5.问题提出问题提出 1.1.辗转相除法和更相减损术，是求辗转相除法和更相减损术，是求两个正整数的最大公约数的优秀算法，两个正整数的最大公约数的优秀算法，我们将算法转化为程序后，就可以由计我们将算法转化为程序后，就可以由计算机来执行运算，实现了古代数学与现算机来执行运算，实现了古代数学与现代信息技术的完美结合代信息技术的完美结合.2.2.对于求对于求n n次多项式的值，在我国古次多项式的值，在我国古代数学中有一个优秀算法，即秦九韶算代数学中有一个优秀算法，即秦九韶算法，我们将对这个算法作些了解和探究法，我们将对这个算法作些了解和探究.问题问题1设计求多项式设计求多项式f(x)=2x5-5x4-4x3+3x2-6x+7当当x=5时的值的算法时的值的算法,并写出程序并写出程序.x=5f=2x5-5x4-4x3+3x2-6x+7PRINT fEND程序程序点评点评:上述算法一共做了上述算法一共做了15次乘法运算次乘法运算,5次次加法运算加法运算.优点是简单优点是简单,易懂易懂;缺点是不通用缺点是不通用,不能不能解决任意多项多求值问题解决任意多项多求值问题,而且计算效率不高而且计算效率不高.知识探究知识探究(一一):):秦九韶算法的基本思想秦九韶算法的基本思想 思考思考2:2:在上述问题中，若先计算在上述问题中，若先计算x x2 2的值，的值，然后依次计算然后依次计算x x2 2xx，(x(x2 2x)xx)x，(x(x2 2x)x)xx)x)x的值，这样每次都可以的值，这样每次都可以利用上一次计算的结果，那么一共做利用上一次计算的结果，那么一共做了多少次乘法运算和多少次加法运算？了多少次乘法运算和多少次加法运算？9次乘法运算，次乘法运算，5 5次加法运算次加法运算.第二种做法与第一种做法相比第二种做法与第一种做法相比,乘法的运算次数乘法的运算次数减少了减少了,因而能提高运算效率因而能提高运算效率.而且对于计算机来说而且对于计算机来说,做做一次乘法所需的运算时间比做一次加法要长得多一次乘法所需的运算时间比做一次加法要长得多,因此因此第二种做法能更快地得到结果第二种做法能更快地得到结果.思考思考3:能否探索更好的算法能否探索更好的算法,来解决任意多来解决任意多项式的求值问题项式的求值问题?f(x)=2x5-5x4-4x3+3x2-6x+7=(2x4-5x3-4x2+3x-6)x+7=(2x3-5x2-4x+3)x-6)x+7=(2x2-5x-4)x+3)x-6)x+7=(2x-5)x-4)x+3)x-6)x+7v0=2v1=v0 x-5=25-5=5v2=v1x-4=55-4=21v3=v2x+3=215+3=108v4=v3x-6=1085-6=534v5=v4x+7=5345+7=2677所以所以,当当x=5时时,多项式的值是多项式的值是2677.这种求多项式值的方法就叫这种求多项式值的方法就叫秦九韶算法秦九韶算法.5次乘法运算，次乘法运算，5 5次加法运算次加法运算.思考思考4:4:利用最后一种算法求多项式利用最后一种算法求多项式f(x)=af(x)=an nx xn n+a+an-1n-1x xn-1n-1+a+a1 1x+ax+a0 0的值，这的值，这个多项式应写成哪种形式？个多项式应写成哪种形式？f(x)=af(x)=an nx xn n+a+an-1n-1x xn-1n-1+a+a1 1x+ax+a0 0 =(a(an nx xn-1n-1+a+an-1n-1x xn-2n-2+a+a2 2x+ax+a1 1)x+ax+a0 0=(=(a(an nx xn-2n-2+a+an-1n-1x xn-3n-3+a+a2 2)x+ax+a1 1)x+a)x+a0 0 =(=(a(an nx+ax+an-1n-1)x+ax+an-2n-2)x+a)x+a1 1)x+a)x+a0 0.思考思考4:4:对于对于f(x)=(af(x)=(an nx+ax+an-1n-1)x+)x+a an-2n-2)x+a)x+a1 1)x+a)x+a0 0，由内向外逐层计算，由内向外逐层计算一次多项式的值，其算法步骤如何？一次多项式的值，其算法步骤如何？第一步，计算第一步，计算v v1 1=a=an nx+ax+an-1n-1.第二步，计算第二步，计算v v2 2=v=v1 1x+ax+an-2n-2.第三步，计算第三步，计算v v3 3=v=v2 2x+ax+an-3n-3.第第n n步，计算步，计算v vn n=v=vn-1n-1x+ax+a0 0.思考思考5:5:上述求多项式上述求多项式 f(x)=af(x)=an nx xn n+a+an-1n-1x xn-1n-1+a+a1 1x+ax+a0 0的值的方法称的值的方法称为为秦九韶算法秦九韶算法，利用该算法求，利用该算法求f(xf(x0 0)的值，的值，一共需要多少次乘法运算，多少次加法一共需要多少次乘法运算，多少次加法运算？运算？思考思考6:6:在秦九韶算法中，记在秦九韶算法中，记v v0 0=a=an n，那么，那么第第k k步的算式是什么？步的算式是什么？v vk k=v=vk-1k-1x+ax+an-kn-k(k=1(k=1，2 2，n)n)n次乘法运算，次乘法运算，n次加法运算次加法运算知识探究知识探究(二二):):秦九韶算法的程序设计秦九韶算法的程序设计 思考思考1:1:用秦九韶算法求多项式的值，可用秦九韶算法求多项式的值，可以用什么逻辑结构来构造算法？其算法以用什么逻辑结构来构造算法？其算法步骤如何设计？步骤如何设计？第一步，输入多项式的次数第一步，输入多项式的次数n n，最高次，最高次 项的系数项的系数a an n和和x x的值的值.第二步，令第二步，令v=av=an n，i=n-1.i=n-1.第三步，输入第三步，输入i i次项的系数次项的系数a ai i.第四步，第四步，v=vx+av=vx+ai i，i=i-1.i=i-1.第五步，判断第五步，判断i0i0是否成立是否成立.若是，则返回第若是，则返回第 二步；否则，输出多项式的值二步；否则，输出多项式的值v.v.思考思考2:2:该算法的程序框图如何表示？该算法的程序框图如何表示？开始开始输入输入n，an，x的值的值v=anv=vx+ai输入输入aii0？i=n-1i=i-1结束结束是是输出输出v否否思考思考3:3:该程序框图对应的程序如何表述该程序框图对应的程序如何表述？开始开始输入输入n，an，x的值的值v=anv=vx+ai输入输入aii0？i=n-1i=i-1结束结束是是输出输出v否否INPUT “n=”INPUT “n=”；n nINPUT “aINPUT “an n=”=”；a aINPUT “x=”INPUT “x=”；x x v=a v=an ni=n-1i=n-1WHILE iWHILE i=0=0INPUT“aINPUT“ai i=”=”；b b v=v*x+b v=v*x+bi=i-1i=i-1 WENDWENDPRINT yPRINT yENDEND理论迁移理论迁移 例例1 1 已知一个已知一个5 5次多项式为次多项式为 用秦九韶算法求用秦九韶算法求f(5)f(5)的值的值.f(x)=(5x+2)x+3.5)x-2.6)x+1.7)x-0.8.f(x)=(5x+2)x+3.5)x-2.6)x+1.7)x-0.8.v v1 1=55+2=27=55+2=27；v v2 2=275+3.5=138.5=275+3.5=138.5；v v3 3=138.55-2.6=689.9=138.55-2.6=689.9；v v4 4=689.95+1.7=3451.2=689.95+1.7=3451.2；v v5 5=3451.25-0.8=17255.2.=3451.25-0.8=17255.2.所以所以f(5)=17255.2.f(5)=17255.2.变式：例变式：例2 2 已知一个已知一个5 5次多项式为次多项式为 用秦九韶算法用秦九韶算法求当求当x=5x=5时，时，V V1 1,V,V3 3的值及的值及求求f(5)的值做多的值做多少次乘法运算少次乘法运算.解：解：f(x)=(5x+0)x+3.5)x+0)x+1.7)x-0.8.f(x)=(5x+0)x+3.5)x+0)x+1.7)x-0.8.v v1 1=55+0=25=55+0=25；v v2 2=255+3.5=128.5=255+3.5=128.5；v v3 3=128.55+0=642.5=128.55+0=642.5；v v4 4=642.55+1.7=3214.2=642.55+1.7=3214.2；v v5 5=3214.25-0.8=16070.8.=3214.25-0.8=16070.8.所以所以v1=25，v3=642.5，f(5)=f(5)=16070.8.例例3 3 阅读阅读下列程序，说下列程序，说明它解决的实明它解决的实际问题是什么际问题是什么？INPUT“x=”INPUT“x=”；a an=0n=0y=0y=0WHILE nWHILE n5 5 y=y+(n+1)*any=y+(n+1)*an n=n+1 n=n+1WENDWENDPRINT yPRINT yENDEND求多项式求多项式 在在x=ax=a时的值时的值.小结作业小结作业 评价一个算法好坏的一个重要标志评价一个算法好坏的一个重要标志是运算的次数，如果一个算法从理论上是运算的次数，如果一个算法从理论上需要超出计算机允许范围内的运算次数，需要超出计算机允许范围内的运算次数，那么这样的算法就只能是一个理论算法那么这样的算法就只能是一个理论算法.在多项式求值的各种算法中，秦九韶算在多项式求值的各种算法中，秦九韶算法是一个优秀算法法是一个优秀算法.作业：作业：P45P45练习：练习：2.2.P48P48习题习题1.3A1.3A组：组：2.2.