3不变因子.pptx
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1、2 2 矩阵在矩阵在矩阵在矩阵在初等变换下的初等变换下的初等变换下的初等变换下的标准形标准形标准形标准形3 3 不变因子不变因子不变因子不变因子1 1 矩阵矩阵矩阵矩阵4 4 矩阵相似的条件矩阵相似的条件矩阵相似的条件矩阵相似的条件6 6 若尔当若尔当若尔当若尔当(Jordan)(Jordan)标准形标准形标准形标准形 的理论推导的理论推导的理论推导的理论推导5 5 初等因子初等因子初等因子初等因子第八章第八章 矩阵矩阵 8.38.3 不变因子不变因子不变因子不变因子一、行列式因子一、行列式因子二、二、不变因子不变因子8.3 不变因子不变因子 8.38.3 不变因子不变因子不变因子不变因子1、
2、定义定义一、一、行列式因子行列式因子注意注意级行列式因子(级行列式因子(determinant divisor).的首项系数为的首项系数为1的最大公因式的最大公因式 称为称为 的的 中必有非零的中必有非零的 级子式,级子式,中全部中全部 级子式级子式设矩阵设矩阵 的秩为的秩为 ,对于正整数,对于正整数 ,若秩若秩 ,则,则 有有 个行列式因子个行列式因子.8.38.3 不变因子不变因子不变因子不变因子各级行列式因子各级行列式因子.(1)(定理(定理(定理(定理3 3 3 3)等价矩阵具有相同的秩与相同的等价矩阵具有相同的秩与相同的(即初等变换不改变(即初等变换不改变 矩阵的秩与行列式因子)矩阵
3、的秩与行列式因子)2、有关结论有关结论 8.38.3 不变因子不变因子不变因子不变因子证:只需证,证:只需证,矩阵经过一次初等变换,秩与行矩阵经过一次初等变换,秩与行列式因子是不变的列式因子是不变的设设 经过一次初等变换变成经过一次初等变换变成 ,与与分别是分别是 与与 的的 k 级行列式因子级行列式因子下证下证 ,分三种情形:,分三种情形:8.38.3 不变因子不变因子不变因子不变因子此时此时 的每个的每个 级子式级子式或者等于或者等于 的某个的某个 级子式,级子式,或者与或者与 的某个的某个因此,因此,是是 的的 级子式的公因式级子式的公因式.1 1)从而从而 级子式反号,级子式反号,8.
4、38.3 不变因子不变因子不变因子不变因子 2)或者等于或者等于 的某个的某个 级子式,级子式,此时此时 的每个的每个 级子式级子式因此,因此,是是 的的 级子式的公因式级子式的公因式.从而从而 或者等于或者等于 级子式的级子式的 c 倍倍.的某个的某个 8.38.3 不变因子不变因子不变因子不变因子此时此时 中包含中包含 两行的和不包含两行的和不包含 3)级子式与级子式与 中对应的中对应的 级子式相等;级子式相等;中包含中包含 行但不包含行但不包含 行的行的 级子式,级子式,按按 行分成行分成 的一个的一个 级子式与另一个级子式与另一个 级子式级子式的的 倍的和,倍的和,即为即为 的两个的两
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