微分和导数的几何解释和物理解释.doc
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1、712-2 微分和导数的几何解释和物理解释微分和导数的几何解释和物理解释1.微分和导数的几何解释 莱布尼茨当初是借助几何直观定义函数的微分和导数.近代微积分是借助极限定义函数的微分和导数.如图2-4,因为比值是弦的斜率,当时,点沿曲线无限接近点, 所以曲线在点处切线的斜率就是导数图2-4法线BTdyANx切线POyQ 根据直线方程的点斜式,切线的方程就是其中,和为切线上流动点的坐标.我们可以得出下面的结论:曲线在点处有不垂直于轴的切线,充分必要条件是函数在点可微分;当很小时,曲线接近它在点处的切线 其中这就是说,在点近旁,曲线段看作直线段(切线)是合理的.【注】 当(无穷导数)时,说明曲线在点
2、处有垂直于轴的切线.在点处垂直于切线的直线,称为曲线在点处的法线(图2-4).因此,当时,曲线在点处法线的斜率为(相互垂直两直线斜率的乘积等于),从而法线方程就是 (点斜式)其中和为法线上流动点的坐标.其次,在图2-4中,从初等数学的角度说,把“微分三角形”和“增量三角形”看作全等当然是不对的.但从变量数学的观点来说,把和看作“相等”是合理的 因为,所以三角形和三角形“全等”(这里说的“全等”是指对应边为等价无穷小量).于是,把弧的长度、弦长和微分三角形的斜边长都看作“相等”是合理的.因此,在微积分中就认为 或 (2-4)我们就称式(2-4)为弧长的微分形式或弧微分.函数的微分和导数的这些几何
3、解释,是微积分能够应用于几何学的基础.微积分中有许多结论,最初都是根据几何图形上的启示得到的.例如图2-5,曲线在最高点的切线或在最低点的切线都是水平的(即切线的斜率等于0).这就是下面的重要结论(以后会多次用到它).图2-5Ox0x切线y定理2-1 设函数在含点的某区间内有定义.若函数在点取到最大值或最小值,即或,而且有导数,则.证 不妨认为函数在点取到最大值根据函数在点的可微性,则有(注意)(反证法) 假若,则当足够小时,与有相同的符号.于是,当与同符号时,上式右端大于0.这与上式左端矛盾.2.微分和导数的物理解释 当一个质点沿直线以常速匀速运动时,它在时间间隔内经过的路程为,即与成正比.
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