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最优捕捞问题的数学模型
数学与信息科学学院　数学与应用数学专业　贺勇　学号：20020314027
指导教师：秦金华
内容摘要：本文根据在捕捞情况下渔场鱼量遵从的方程，分析鱼量稳定的条件，并且在稳定的前提下讨论如何控制捕捞使持续产量或经济效益达到最大，更深一步讨论影响最优捕捞的经济因素：成本与价格、资金与贴现、供求及税收．
关键词：可持续捕捞；捕捞努力量；最大可持续捕捞量；净收益
1. 引言
　鱼类是可再生生物资源，是满足人类生活需求的一种重要物质．鱼类资源的可持续性受人类利用方式的影响．在合理开发利用的情况下，鱼类资源可以恢复、更新；在开发利用不合理的条件下，再生过程受阻，甚至被破坏，再恢复代价是巨大的．因此对渔业资源的开发必须适度，实现其可持续发展，一种合理的策略是：在实现可持续捕捞的前提下，使渔业资源的纯利润最大．本文假定渔场中的鱼量在纯粹的自然环境下按一定规律增长，如果捕捞量恰好等于增长量，那么渔场鱼量将保持不变这个捕捞就可以持续下去，再利用Logistic模型和Scheafer模型，讨论渔场鱼量的稳定性、能维持可持续发展的最大可持续捕捞量以及受经济因素影响的最大可持续净收益(经济利润)．
2. 关于渔场鱼量变化规律的数学模型
假设鱼种群在纯粹的自然状态下，渔场在一定的空间范围内是封闭的．因此鱼种群的自然增长可以用经典的Verhulst-Pearl Logistic模型描述，即
　　　　　　　　，　　　　　　　　　　(1)
式中是在时刻渔场中的鱼量，假设函数是连续而且充分光滑的．为鱼种群的固有增长率．为环境负荷量，在环境约束下种群所能达到的最大数量．表示单位时间鱼的增长量．
如果由Logistic模型方程(1)所描述的鱼种群在时刻以速率被捕捞，那么(1)变为 　　　 ． 　(2)
如果我们选择的捕捞策略是固定努力量捕捞的策略，则意味着捕捞努力量等于常数．在这种情况下，通常需要假设单位努力量的捕获量与鱼种群的鱼量成正比，即
　 或 ， (3)
其中是常数，称为可捕系数，可以令，将(3)式代入模型(2)得
， (4)
这就是将要讨论的可再生资源开发的数学模型，通常称之为Scheafer模型．
我们不需要解方程(4)，以得到的动态变化过程，只须知道渔场稳定时的鱼量和保持稳定的条件即可．
3. 渔场鱼量的稳定性分析
稳定性分析是建立在微分方程之上进行的．下面我们就先介绍方法，对于方程
，　　　　　　　　　　　　 (5)
我们把代数方程的实数根称作方程(5)的平衡点，显然是方程(5)的一个解．另外在点附近有 　　　　
，
所以若，则与异号，故　
图（1）a

当时，从而当增加时，向点方向减少； 0
当时,从而当增加时，向点方向增大．
这样随着t的增加，有 　 ，故是稳定 N
平衡点．反之若,则是不稳定平衡点．
根据上面介绍的稳定性分析方法，考察自然 　 K
状态下渔场鱼量的模型(1)，鱼量处于平衡时有
图（１）b典型解曲线
，　即．　 　 　　0　　　　　　　 　 t
解得：（不研究时的情况）（如图(1)a）．当时，则；当时，则，所以是稳定平衡点（如图(1)b）．
再考察捕捞情况下渔场鱼量的模型(4)式，令
　　　　 　，
得到两个平衡点　
， 　．　　　　　　 (6)
易知　　　　　 ，　　．
若则，．故点稳定，点不稳定；
若则，．故点不稳定，点稳定．
上述分析表明：
（１） 渔场鱼量稳定的条件是：（下面将重点讨论在此情况下的最优捕捞）．
（２） 在稳定的条件下，渔场鱼量稳定在，持续捕捞量为．
（３）称为捕捞适度．称为捕捞过度．当捕捞过度时，渔场鱼量将减
少至，当然谈不上获得持续产量了．
4. 捕捞最优控制模型
鱼类资源管理的目的在于制定一种捕捞策略，使得鱼类资源在可持续捕捞的条件下为人类提供最大的收益，在数学上讲：就是或条件下的极大化所期望的收益．
对于Scheafer模型，若我们把“收益”理解为以捕捞鱼种群个体数为指标的鱼的产量，则问题就可以数学的叙述为

采用图解法求解，首先作出和 　
的图象（如图(2)），易求　
得在原点处的切线为　　　　　
．从而当时，曲线 　 　 　　　　0　
与 必相交，交点　　　　　　　 图（２）最大持续产量的图解法
为．由图(2)不难看出，在顶点处取得最大捕捞量，经过简单的推导不难得到问题的解
　　　　 ，，，
此、、分别表示最大持续捕捞种群、最大持续捕捞努力量、最大持续捕捞量．
故我们得到结论，控制捕捞努力量，或者说控制使渔场内的鱼量保持在最大量的一半时，就可在保持鱼量稳定的条件下使捕捞量最大．
5. 最优经济效益模型
在当今的社会中，对鱼类资源的开发利用已经成为人类经济活动的一部分，其目的不是追求最大的捕获量而是最大的经济效益，因而一个自然的想法就是进一步分析经济学行为对鱼类资源开发利用的影响．
5.1　成本与价格的影响
设单位鱼量的价格是常数，则函数

表示单位时间的捕获量为时所得到的收益．如果假设单位时间捕捞成本与捕捞努力量成正比，则
，
式中是常数，表示单位捕捞努力量的成本消耗．单位时间的收益与捕捞成本之差是捕捞努力量为时所提供的净收益或经济利润
　　　　　　　　．
这是在捕捞活动中人们所关注的焦点．因此在制定捕捞策略时所期望极大化的“收益”，这时就应理解为经济利润，而不是鱼的产量．这时所讨论的问题就变成了

对于Scheafer模型(4)来说，由于满足约束条件的可持续捕捞鱼种群，则上述优化问题就可以转化为求关于可持续净收益作为的二次函数

的最大值问题．经过计算不难得到问题的解
， ，
，，　　 (7)
其中、、、分别表示最大可持续收益捕捞努力量、最大可持续收益捕捞鱼群、最大可持续收益捕捞量、最大可持续净收益．
从(7)式中容易看出，为使经济利润最大，捕捞量比最大可持续捕捞量小，少捕的鱼量与成本的平方成正比，与鱼价的平方成反比．
5.2　资金与贴现的影响
上一段所讨论的模型实质上仅仅是以货币计量的一个简单的捕捞问题．这里将考虑到在长期生产过程中的资金，即生产中以货币形式投入的物质劳力等的增值作用，以及长期收获过程中资金的时间贴现．在渔业捕捞过程中，以货币来计量的捕捞努力量的投入以及捕捞量的货币已经成为生产过程中的资金，时刻都具有增值的能力．
记为单位资金的增值速率，则有
　　　 ， 则，　　　　 (8)
其中为时刻的资金量，，这里我们是利用复利模型来计算资金的增值的．由(8)式不难得到，对于现值为的资金，时间t后资金的将来值应为；而对于时间后的现金的现值就应该等于．这就是一个金融中的资金贴现的问题，(8)式中实际上应理解为贴现强度（贴现率）．
这样一来，在考虑一个持续收获问题时，各年的净收益是不应该等同对待的，必须要将时间的净收益转化为贴现值进行分析．代替上一段的净收益的优化目标，这里应取为总合的贴现净收益．讨论Scheafer模型(4)，令，则问题就转化为

这是一个带约束的泛函极值问题，如果将约束条件的h(t)代入泛函，则问题就变为，即最简泛函的极值问题．利用变分方法可知，其解应满足如下的Euler方程：
．
关于求解此方程，并取正根，可以得到：
　　　　　　　　 ． (9)
又有(6)式可知 ，
得捕捞努力量 ．
所以在贴现净收益达到最大时的最大捕捞量为
（其中是(9)式）．
更深一步探讨，由(9)式可知，当为零时鱼种群灭绝．这种情形只是当捕捞成本，而且贴现强度提高到了鱼种群的增长强度时发生．但是如果充分小时，随着贴现强度的增加鱼种群也可能降到相当低的水平，这表明经济学行为刺激了鱼类资源利用活动中的过度捕捞的现象．为了促进鱼类资源的可持续开发，贴现强度不易过高（）．对于鱼类资源的可持续捕捞来说，贴现率越低越好．
5.3　供给与需求的影响
前面讨论的模型是建立在成本价格不变的假设基础上的，而这个假定在市场经济的环境中，特别是当消费者的需求量不是充分大的情形下是不恰当的．这时的价格将较强的受到供给-需求关系的影响，它又从另一个侧面反映出经济，特别是市场经济对资源管理工作的影响．
考虑Scheafer模型（４），在努力量下捕捞而得到的净收益是
．
这时当产量为

时，鱼种群达到平衡．而当持续捕捞群体N满足时，渔业捕捞出现了利润为零的经济平衡．于是在经济平衡条件下的持续产量则是
　　　　　　　　 ．　　　　　　 　　　　　　(10)
它给出了当捕鱼者提供捕捞量为时所能容忍的最低价格，也是一种供给曲线，称为平衡供给曲线．这一曲线的形状（如图(3)），
当时，净收益为负，不可能实现经济平　　
衡；对于时，；当增加到时，
市场上的可持续捕捞量将逐渐增加到

2c/K

最大持续捕捞量；当价格再增加时，由于资
源的限制尽管加大捕捞量努力量，其持续捕捞　　
也不可能提高，反而逐渐减少趋向于零． 　　　　　0 　 　 　　
再考虑市场的需求（如图(4)），当需求 图（３）捕捞量的经济平衡供求曲线
的价格水平较低时（需求曲线），市场的供 p
需关系是稳定的（满足），它将会逐步调

　　　　　　　　　　　　　　　　0
整到一种平衡的供需关系（）． 　　　
下面将讨论在这种平衡情况下渔场捕捞量　　　　　　　　　　　　　　　
等于市场上需求量（销售量）的最优捕捞问题．

在市场竞争的情况下，需求量依赖于单
位鱼量的价格记作　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
图（４）渔业生产的供需平衡关系
　　　　　　　　　． 　　　　　　　　 (11)
此函数图象即为需求曲线，由(10)式可以计算出，当捕鱼者提供渔获量时的成本价格，并取较小值
　　　　　　 ．　 　　　　　(12)
把(11)式代入(12)式
　　　　　　　 ．
则总收入与总支出分别为
，
．
总利润U可以用总收入与总支出之差表示
　　　　　　　　 ，　　　　　　　 　(13)
由数量经济学著名定律：最大利润在边际收入等于边际支出时达到，可知，当利润U达到最大时最优价格可以由得到，即
，
即有　　　　
，
整理得
．
利用［7］解得实数解
　　　， 　(14)
其中，．
所以把(14)式代入(13)式得最大利润（可持续净收益）

．
把(14)式代入(11)式得达到最大利润时的最大捕捞量
．
当鱼的需求价格水平较高时（如图(4)需求曲线），尽管也存在有平衡的供求关系但它是不稳定的．一旦离开平衡，市场将处于一种失控状态，即过高的需求价格，将大大刺激捕鱼者不顾一切地甚至不考虑捕捞的可持续性以获得更高的经济利润．为了促进最优捕捞，维护鱼类资源的可持续开发，我们采取增加税收的方法．
假设鱼的税收率t是增加税收前成本价（同(10)式中）的百分数，增加税收后成本价变为,其中捕鱼者每出售单位鱼量就要上缴给政府．则(10)式变为
．　　　　　 　 (15)
它给出了增加税收后，当捕鱼者提供捕捞量时所能容忍的最低价格．(15)式
供给曲线的形状（如图(5)的实线部分）．
　　　Ｐ

P

0
　 　 　 　 　 Y 0 　 Y
（５）税收后渔获量的经济平衡供求曲线 　 （６）税收后的渔业生产供需平衡
由图(6)可以看出，增加税收后市场的供需关系由不稳定调整到稳定．它将会逐步调整到一种平衡的供需关系（）．与税收前需求价格水平较低时（图(3)需求曲线）相似．同样的道理，可以求出税收后需求价格水平较高时（图(6)需求曲线）的最大利润（）和此时的最大捕捞量()．
当然防止过度捕捞除了税收和其它经济手段外，管理者还可以立法规等，诸如对捕捞工具、次数、季节、空间、方式的限制．
6. 总结
本文探讨了由Scheafer模型所描述的Logistic种群的固定努力量的收获问题，由于做了一些较严格的假设使得问题的数学模型论述较为初等直观．本文全部内容以应用连续时间的数学模型（微分方程）为基础．首先在对鱼的自然增长和捕捞情况的合理假设下，建立渔场鱼量的基本方程(4)，并且利用平衡点稳定性分析确定了保持渔场鱼量稳定的条件()．在可持续开发鱼类资源的前提下，步步深入地研究影响最优捕捞的经济因素．得到了在定性关系上与实际情况完全符合的结果，所以此文可以指导渔业生产实践，防止过度捕捞．

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The Mathematical Models of Optimal Fishing
Abstract：This paper will analysis the stable stock conditions according to the equation that comply with the fishery stock in the condition of fishing, and discuss about how to control fishing to achieve sustained production and a maximal economic benefit. Then deeper discuss about that economic factors that impact the optimal fishing: costs and prices, funds and discount, supply and revenue.
Key words：sustainable fishing　effort of fishing　maximal and sustainable catch levels Net
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