六大基本初等函数图像及其性质.doc
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六大基本初等函数图像及其性质 一、 常值函数(也称常数函数) y =C(其中C 为常数); 常数函数() y y O x O x 平行于x轴的直线 y轴本身 定义域R 定义域R x y O 二、 幂函数 ,是自变量,是常数; 1.幂函数的图像: 2.幂函数的性质; 性质 函数 定义域 R R R [0,+∞) {x|x≠0} 值域 R [0,+∞) R [0,+∞) {y|y≠0} 奇偶性 奇 偶 奇 非奇非偶 奇 单调性 增 [0,+∞) 增 增 增 (0,+∞) 减 (-∞,0] 减 (-∞,0) 减 公共点 (1,1) 1)当α为正整数时,函数的定义域为区间为,他们的图形都经过原点,并当α>1时在原点处与x轴相切。且α为奇数时,图形关于原点对称;α为偶数时图形关于y轴对称; 2)当α为负整数时。函数的定义域为除去x=0的所有实数; 3)当α为正有理数时,n为偶数时函数的定义域为(0, +∞),n为奇数时函数的定义域为(-∞,+∞),函数的图形均经过原点和(1 ,1); 4)如果m>n图形于x轴相切,如果m<n,图形于y轴相切,且m为偶数时,还跟y轴对称;m,n均为奇数时,跟原点对称; 5)当α为负有理数时,n为偶数时,函数的定义域为大于零的一切实数;n为奇数时,定义域为去除x=0以外的一切实数。 三、指数函数(是自变量,是常数且,),定义域是R ; [无界函数] 1.指数函数的图象: x O (0,1) y O (0,1) x y 2.指数函数的性质; 性质 函数 定义域 R 值域 (0,+∞) 奇偶性 非奇非偶 公共点 过点(0,1),即时, 单调性 在是增函数 在是减函数 1)当时函数为单调增,当时函数为单调减; 2)不论为何值,总是正的,图形在轴上方; 3)当时,,所以它的图形通过(0,1)点。 y O (0,1) x 3.(选,补充)指数函数值的大小比较; a.底数互为倒数的两个指数函数 , 的函数图像关于y轴对称。 x O (0,1) y b.1.当时,a值越大, 的图像越靠近y轴; O (0,1) y b.2.当时,a值越大, 的图像越远离y轴。 4. 指数的运算法则(公式); a.整数指数幂的运算性质; (1) (2) (3) (4) b.根式的性质; (1) ; (2)当n为奇数时, 当n为偶数时, c.分数指数幂; (1) (2) 四、 对数函数(是常数且),定义域[无界] 1. 对数的概念:如果a(a>0,a≠1)的b次幂等于N,就是 ,那么数b叫做以a为底N的对数,记作,其中a叫做对数的底数,N叫做真数,式子叫做对数式。 对数函数与指数函数互为反函数,所以的图象与的图象关于直线对称。 2. 常用对数:的对数叫做常用对数,为了简便,N的常用对数记作。 3.自然对数:使用以无理数为底的对数叫做自然对数,为了简便,N的自然对数简记作。 4.对数函数的图象: O x (1,0) y y O x (1,0) 5.对数函数的性质; 性质 函数 定义域 (0,+∞) 值域 R 奇偶性 非奇非偶 公共点 过点(1,0),即时, 单调性 在(0,+∞)上是增函数 在(0,+∞)上是减函数 1)对数函数的图形为于y轴的右方,并过点(1,0); 2)当时,在区间(0,1),y的值为负,图形位于x的下方;在区间(1, +),y值为正,图形位于x轴上方,在定义域是单调增函数。在实际中很少用到。 y O x (1,0) 6.(选,补充)对数函数值的大小比较; a. 底数互为倒数的两个对数函数 , y O x (1,0) 的函数图像关于x轴对称。 b.1. 当时,a值越大, y O x (1,0) 的图像越靠近x轴; b.2. 当时,a值越大, 的图像越远离x轴。 7.对数的运算法则(公式); a.如果a>0,a≠1,M>0,N>0,那么: b.对数恒等式: c.换底公式: (1) (,一般常常换为或10为底的对数,即或) (2) 由公式和运算性质推倒的结论: d.对数运算性质 (1)1的对数是零,即;同理或 (2) 底数的对数等于1,即;同理或 五、 三角函数 1. 正弦函数,有界函数,定义域,值域 图象:五点作图法:0,,,, 2. 余弦函数,有界函数,定义域,值域 图象:五点作图法:0,,,, 3.正、余弦函数的性质; 性质 函数 定义域 R 值域 [-1,1] [-1,1] 奇偶性 奇函数 偶函数 周期性 对称中心 对称轴 单调性 在上是增函数 在上是减函数 在上是增函数 在上是减函数 最值 时, 时, 时, 时, O y x 4. 正切函数,无界函数,定义域,值域 的图像 O y x 5. 余切函数,无界函数,定义域, 的图像 6. 正、余切函数的性质; 性质 函数 定义域 值域 R R 奇偶性 奇函数 奇函数 周期性 单调性 在上都是增函数 在上都是减函数 对称中心 零点 O y x -1 1 7. 正割函数,无界函数,定义域,值域 的图像 O y x -1 1 8. 余割函数,无界函数,定义域,值域 的图像 9. 正、余割函数的性质; 性质 函数 定义域 值域 奇偶性 偶函数 奇函数 周期性 单调性 减 增 减 增 续表: 性质 函数 对称中心 对称轴 渐近线 六、 反三角函数 1. 反正弦函数,无界函数,定义域[-1,1],值域 A.反正弦函数的概念:正弦函数在区间上的反函数称为反正弦函数,记为 2. 反余弦弦函数,无界函数,定义域[-1,1],值域 O x y 1 -1 O x y 1 -1 B.反余弦函数的概念:余弦函数在区间上的反函数称为反余弦函数,记为 的图像 的图像 3.反正、余弦函数的性质; 性质 函数 定义域 [-1,1] [-1,1] 值域 奇偶性 奇函数 非奇非偶函数 单调性 增函数 减函数 4. 反正切函数,有界函数,定义域,值域 C.反正切函数的概念:正切函数在区间上的反函数称为反正切函数,记为 5. 反余切函数,有界函数,定义域,值域 x y O x y O D.反余切函数的概念:余切函数在区间上的反函数称为反余切函数,记为 的图像 的图像 6. 反正、余弦函数的性质; 函数 性质 定义域 R 值域 奇偶性 奇函数 非奇非偶 单调性 增函数 减函数 三角函数公式汇总 一、任意角的三角函数 在角的终边上任取一点,记:。 正弦: 余弦: 正切: 余切: 正割: 余割: 二、同角三角函数的基本关系式 倒数关系:,, 商数关系:, 平方关系:,, 三、 诱导公式 轴上的角,口诀:函数名不变,符号看象限; 轴上的角,口诀:函数名改变,符号看象限。 四、和角公式和差角公式 五、二倍角公式 二倍角的余弦公式常用变形:(规律:降幂扩角,升幂缩角) ,, 六、三倍角公式 七、和差化积公式 八、辅助角公式 其中:角的终边所在的象限与点所在的象限相同, ,, 九、 三角函数的周期公式 函数,及函数,(A,,为常数,且) 周期: 函数,(A,,为常数,且) 周期: 十、正弦定理 (为外接圆半径) 十一、余弦定理- 配套讲稿:
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