CGMO2015-2015第14届数学女子奥林匹克试题及答案.doc
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1、2015中国女子数学奥林匹克第一天2015年8月12日上午8:00 12:00广东深圳深圳市高级中学OMFEDCBA1如图,在锐角ABC中,AB AC,O为外心,D为边BC的中点以AD为直径作圆与边AB、AC分别交于点E、F过D作DMAO交EF于点M求证:EM = MF(郑焕供题)2设,且求证:对于任意实数,和中都至少有一个不小于(李胜宏供题)3把1212的方格纸的每个单位方格染成黑色或白色,使得由方格线围成的任意一个34或43的长方形内都至少有一个黑色单位方格试求黑色单位方格个数的最小值(梁应德供题)4对每个正整数,记为与2015的最大公约数,求满足下列条件的有序三元数组的个数:1) ;2)
2、 这七个数两两不同(王彬供题) 中国女子数学奥林匹克第二天2015年8月13日上午8:00 12:00广东深圳深圳市高级中学5有多少个不同的三边长为整数的直角三角形,其面积值是周长值的999倍?(全等的两个三角形看作相同的)(林常供题)6如图,两圆外离,它们的一条外公切线与分别切于点,一条内公切线与分别切于点设是直线的交点,是上一点,过作的切线与线段的中垂线交于点,过作切于点求证:(付云皓供题)21MGFEDCBA7设,求证: (王新茂供题)8给定整数黑板上写着个集合,然后进行如下操作:选取黑板上两个互相不包含的集合,擦掉它们,然后写上和这称为一次操作如此操作下去,直到任意两个集合中都有一个包
3、含另一个为止对所有的初始状态和操作方式,求操作次数的最大可能值(朱华伟供题)试题解答OMFCDBEAN图11如图,在锐角ABC中,AB AC,O为外心,D为边BC的中点以AD为直径作圆与边AB、AC分别交于点E、F 过D作DMAO交EF于点M求证:EM = MF证明 如图,连接DE、DF,过O作ONAB交AB于点N 由题意可知,DEAB,DFAC 因此,ONDE 又因为DMAO,所以EDM =AON因为O为ABC外心,所以AON = ACB 从而EDM =ACB同理可得,FDM = ABC 在EDF中,有,即EM = MF2设,且求证:对于任意实数,和中都至少有一个不小于证明 由于,与皆为正数
4、,因此对任意实数,而又,故问题得证3把1212的方格纸的每个单位方格染成黑色或白色,使得由方格线围成的任何34和43长方形内都至少有一个黑格试求黑格个数的最小值解 所求黑格个数的最小值先证明由于1212单位方格纸可划分为个(除边界外)互不相交的34方格长方形由题设可知这些长方形各至少有一个黑色方格,故至少要涂12个黑色方格要证明,只需构作一个可行的例子,见下图4对每个正整数,记为与2015的最大公约数,求满足下列条件的有序三元数组的个数:1) ;2) 这七个数两两不同解 分解质因数是2015的约数,只有8种情况我们把满足的叫做零型数,把满足取或或的叫做一型数,把满足取或或的叫做二型数我们使用下
5、面两个简单的事实:对任意整数,因此本题可以看做在模2015意义下讨论,即模2015同余的两个数看成相同对素数,若,两者都成立则,若恰有一个成立则把满足条件三元组对应为七元组,我们考虑A的七个位置上的数的值的分布首先这七个值不能有2015,否则,若某个位置上的数是2015的倍数,则A中存在另外两个位置上的数满足或,这样就有,矛盾所以七个值必须是1,各一个这样A的七个位置必须是3个二型数、3个一型数、一个零型数我们关心三个二型数在哪三个位置上设是5,13,31的任意排列,若满足,则有,可得,同理有,因此当确定A中的三个二型数的位置后,如果其它四个位置可以分别表示为的3个两两线性组合与三个数的线性组
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