最优化方法综述.doc
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1、最优化方法综述 1.引论1.1应用介绍最优化理论与算法是一个重要的数学分支,它所研究的问题是讨论在众多的方案中什么样的方案最优以及怎样找出最优方案。这类问题普遍存在。例如,工程设计中怎样选择设计参数,使得设计方案满足设计要求,又能降低成本;资源分配中,怎样分配有限资源,使得分配方案既能满足各方面的基本要求,又能获得好的经济效益;生产评价安排中,选择怎样的计划方案才能提高产值和利润;原料配比问题中,怎样确定各种成分的比例,才能提高质量,降低成本;城建规划中,怎样安排工厂、机关、学校、商店、医院、住户和其他单位的合理布局,才能方便群众,有利于城市各行各业的发展;农田规划中,怎样安排各种农作物的合理
2、布局,才能保持高产稳产,发挥地区优势;军事指挥中,怎样确定最佳作战方案,才能有效地消灭敌人,保存自己,有利于战争的全局;在人类活动的各个领域中,诸如此类,不胜枚举。最优化这一数学分支,正是为这些问题的解决,提供理论基础和求解方法,它是一门应用广泛、实用性强的学科。1.2优化的问题的基本概念工程设计问题一般都可以用数学模型来描述,即转化为数学模型。优化设计的数学模型通常包括设计变量、目标函数和约束条件。三个基本要素。设计变量的个数决定了设计空间的维数。确定设计变量的原则是:在满足设计基本要求的前提下,将那些对设计目标影响交大的而参数选为设计变量,而将那些对设计目标影响不大的参数作为设计变量,并根
3、据具体情况,赋以定值,以减少设计变量的个数。用来评价和追求最优化设计方案的函数就称为目标函数,目标函数的一般表达式为。优化设计的目的,就是要求所选择的设计变量使目标函数达到最佳值。所谓最佳值就是极大值或极小值。在设计空间中,虽然有无数个设计点,即可能的设计方案,但是一般工程实际问题对设计变量的取值总是有一些限制的,这些限制条件显然是设计变量的函数,一般称之为优化设计问题的约束条件或约束函数。在优化设计问题中,约束条件有两种表现形式,一种是不等式约束,其一般表达式为: ,另一种是等式约束,即。由设计变量、目标函数和约束条件三个基本要素所组成的工程优化设计数学模型所表达的意思是:在满足一定的约束以
4、偶案件下,寻求一组设计变量,使得目标函数取得极小值或极大值。在设计空间中,每一个不等式约束条件都把设计空间划分成两部分,一部分是满足不等式约束条件的,另一部分是不满足约束条件的,两部分的分界面就是所形成的曲面,称为约束面。在二维设计空间中约束面是一条曲线或直线,在三维设计空间中则是一个曲面或超曲面。一个优化设计问题的所有不等式约束的边界将组成一个复合约束边界。满足约束条件的区域称为可行域,而不满足约束条件的区域称为非可行域。可行域内的点称为可行点。1.3分类:若工程优化设计问题的数学模型中只有目标函数而没有约束条件,则称之为无约束优化问题。无约束优化问题的目标函数如果是一元函数,则称之为一维优
5、化问题,他的求解方法称之为一维搜索方法。对于约束优化问题,课按其目标函数和约束函数的特性,分为线性规划问题和非线性规划问题。如果目标函数和所有的约束函数都是线性函数,则称之为线性规划问题;否则称之为非线性规划问题。对于目标函数是二次函数而约束函数都是线性函数这一类问题,一般称之为二次规划问题。另外,还有整数规划、几何规划和多目标规划等。线性规划和非线性规划是数学规划中欧偶那个的两个重要的分支,在工程实际问题中均得到了广泛的应用。1.4凸函数、凸规划:工程优化设计问题大多是非线性规划问题,其数学本质是多元非线性函数求极值问题,如果函数在整个区域有两个或两个以上的极值点,则称每一个极值点为局部极值
6、点。在整个可行域中,比较所有的局部极值点,可得到一个最小或最大的局部极值点,称为全局极值点。但基于数学规划的工程优化设计方法一般只能求得为题的局部极值点,只有当函数具有凸性的情况下,局部极值点才是全域极值点。对于一元函数来说,在某区间内,如果函数的曲线是下凸的,即在刺区间内,一元函数曲线上任意两点间相连的弦线,总不会位于这两点间函数曲线的下面,则称此一元函数具有凸性,或称此函数为凸函数;反之,若函数曲线上任意两点间相连的弦线,总不会位于这两点间的函数曲线的上面,则称此函数具有下凸性,或称此函数为凹函数。如果约束优化问题中的目标函数是凸函数,所有的不等式约束也都是凸函数,则称此约束优化问题为凸规
7、划。凸规划具有一个重要特性,这就是:凸规划的局部极小值一定是全域极小值。对于凸规划问题,只要求出一个局部极小值,它就是全域极小值。所以,优化理论与方法常限于讨论凸规划问题,故称为凸规划理论。应强调指出的是。实际工程优化问题往往不是凸规划问题。所以,采用常用的优化方法,求得的最优解往往是局部最优解。凸规划的可行域是凸集。2.线性规划问题:2.1线性规划的标准形式线性规划即目标函数和约束函数都是线性的约束最优化问题。线性规划在理论和计算方法上都很成熟。他在工程管理和经济管理中,应用都和广泛。它的解法在理论上和方法上都很成熟。虽然大多数工程设计是非线性的,但是也有采用线性逼近方法求解非线性问题的。此
8、外,线性规划方法还常被用作解决非线性问题的子问题的工具,如在可行方向法中可行方向的寻求就是采用线性规划方法。当然,对于真正的线性优化问题,线性规划方法就更有用了。线性规划的标准形式: n为线性规划的维数,m为线性规划的阶数,一般mn。任何其他形式的线性规划均可化为标准形式,并可借助标准形式的求解方法求解。2.1.1一般形式化成标准形式的方法: 如果目标函数为极大化,则可转化为极小化,因为在同样的约束条件下,max z与min(-z)有相同的最优解,故以后常限于讨论极小化的情况。 在约束条件中,如果有不等式约束: 则可加上新的变量,把他们全变为等式约束,即如果有不等式约束则可以减去新的变量,把他
9、们全部变为等是约束,即以上这些引进来的新变量叫做松弛变量,松弛变量并不出现在目标函数中,也不影响问题的解。因此可把所有的约束条件化为统一的等式形式。 当在某些问题中,实际情况并不要求某一变量为非负时,可另,其中,并将其带入目标函数和约束方程中去。2.1.2线性规划的几个基本概念 可行解 凡同时满足标准形式中目标函数和约束条件的任何一个解,称为线性问题的可行解。所有可行解的集合称为可行域。 基本解 另标准形式中某(n-m)个变量等于零,如果剩余的m个变量构成的m个线性方程有唯一的解,则称由此得到的n个变量的解为基本解。 基本可行解 凡满足非负条件的基本解为基本可行解,即既是基本解又是可行解。 最
10、优解 满足目标函数的可行解是线性规划的最优解(即目标函数达到最小值的可行解叫最优解)。当一个线性规划的值无穷大时,则称这样的线性规划是无界的。基本变量和非基本变量 基本可行解中大于零的分量称为基本变量,其余变量称为非基本变量。基本变量和非基本变量是相对于基本可行解来说的。 基向量与基 基本变量所对应的系数称为基向量。线性规划有如下两个基本性质: 线性规划可行解的集合构成一个凸集,且这个凸集是凸多面体。它的每一个定点对应一个基本可行解。 线性规划的最优解如果存在,必然在凸集的某个顶点上达到。2.2解线性规划的单纯形法:求解思路:单纯形法是从一个初始基本可行解出发,寻找使目标函数有较大下降的一个新
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