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第一章 有理数知识点总结归纳

一、正数和负数 
⒈正数和负数的概念 
负数：比0小的数；  正数：比0大的数。      
0既不是正数，也不是负数 
注意：字母a可以表示任意数，当a表示正数时，-a是负数；当a表示负数时，-a是正数；当a表示0时，-a仍是0。强调：带正号的数不一定是正数，带负号的数不一定是负数。

2.具有相反意义的量 
若正数表示某种意义的量，则负数可以表示具有与该正数相反意义的量.习惯把“前进、上升、收入、零上温度”等规定为正，“后退、下降、支出、零下温度”等规定为负.
比如： 零上8℃表示为：+8℃；零下8℃表示为：-8℃  
二、有理数 
1.有理数的概念 
⑴正整数、0、负整数统称为整数（0和正整数统称为自然数） 
⑵正分数和负分数统称为分数 
⑶正整数，0，负整数，正分数，负分数都可以写成分数的形式，这样的数称为有理数。 理解：只有能化成分数的数才是有理数。①π是无限不循环小数，不能写成分数形式，不是有理数。②有限小数和无限循环小数都可化成分数，都是有理数。 

2．数轴
（1）数轴的概念：规定了原点，正方向，单位长度的直线叫做数轴。
 注意：数轴是一条向两端无限延伸的直线；
‚原点、正方向、单位长度是数轴的三要素，三者缺一不可；
ƒ同一数轴上的单位长度要统一；
„数轴的三要素都是根据实际需要规定的。
（2）数轴上的点与有理数的关系
 所有的有理数都可以用数轴上的点来表示，正有理数可用原点右边的点表示，负有理数可用原点左边的点表示，0用原点表示。
 ‚所有的有理数都可以用数轴上的点表示出来。
（3）利用数轴表示两数大小
 在数轴上数的大小比较，右边的数总比左边的数大；
 ‚正数都大于0，负数都小于0，正数大于负数；
ƒ两个负数比较，距离原点远的数比距离原点近的数小。
（4）数轴上特殊的最大（小）数
最小的自然数是0，无最大的自然数；
 ‚最小的正整数是1，无最大的正整数；
ƒ最大的负整数是-1，无最小的负整数

3．相反数：
(1)只有符号不同的两个数叫做互为相反数；0的相反数是0；
(2)互为相反数的两数的和为0， 即：若a、b互为相反数，则a+b=0
（3）相反数的求法：
求一个数的相反数，只要在它的前面添上负号“-”即可求得（如：5的相反数是-5）；
‚求多个数的和或差的相反数是，要用括号括起来再添“-”，然后化简（如；5a+b的相反数是-（5a+b），化简得-5a-b）；
ƒ求前面带“-”的单个数，也应先用括号括起来再添“-”，然后化简(如：-5的相反数是-（-5），化简得5)
（4）多重符号的化简
多重符号的化简规律：
“+”号的个数不影响化简的结果，可以直接省略；
‚“-”号的个数决定最后化简结果；即：“-”的个数是奇数时，结果为负，“-”的个数是偶数时，结果为正。

4.绝对值：
（1）绝对值的几何定义
数轴上表示数a的点与原点的距离，叫做a的绝对值，记作：｜a｜
(2)求绝对值：正数的绝对值是它本身，0的绝对值是0，负数的绝对值是它的相反数；可用字母表示为：①如果a>0，那么|a|=a； ②如果a<0，那么|a|=-a； ③如果a=0，那么|a|=0。
可归纳为①：a≥0，<═> |a|=a （非负数的绝对值等于本身；绝对值等于本身的数是非负数。） ②a≤0，<═> |a|=-a （非正数的绝对值等于其相反数；绝对值等于其相反数的数是非正数。）
（3）若几个数的绝对值的和等于0，则这几个数就同时为0。即|a|+|b|=0，则a=0且b=0。
（非负数的常用性质：若几个非负数的和为0，则有且只有这几个非负数同时为0）

4.有理数比大小：
（1）利用数轴比较两个数的大小：数轴上的两个数相比较，左边的总比右边的小；
（2）利用绝对值比较两个负数的大小：两个负数比较大小，绝对值大的反而小；异号两数比较大小，正数大于负数。
（3）大数-小数 ＞ 0，小数-大数 ＜ 0.

4. 倒数：
（1）乘积为1的两个数互为倒数；注意：0没有倒数；
（2）若a,b互为倒数，则ab=1;
（3）求倒数
求假分数或真分数的倒数，只要把这个分数的分子、分母颠倒位置即可；
②求带分数的倒数时，先把带分数化为假分数，再把分子、分母颠倒位置；
③正数的倒数是正数，负数的倒数是负数。（求一个数的倒数，不改变这个数的性质）；
④倒数等于它本身的数是1或-1；

三、有理数的加减法
1、有理数加法法则：
（1）同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加；
（2）异号两数相加，取绝对值较大的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值；
（3）一个数与0相加，仍得这个数.
2．有理数加法的运算律：
（1）加法的交换律：a+b=b+a ；
（2）加法的结合律：（a+b）+c=a+（b+c）.
在运用运算律时，一定要根据需要灵活运用，以达到化简的目的，通常有下列规律：
①互为相反数的两个数先相加——“相反数结合法”；
②符号相同的两个数先相加——“同号结合法”；
③分母相同的数先相加——“同分母结合法”；
④几个数相加得到整数，先相加——“凑整法”；
⑤整数与整数、小数与小数相加——“同形结合法”。

3. 有理数减法法则：
减去一个数，等于加上这个数的相反数；即a-b=a+（-b）.

四、有理数的乘除法
1.有理数乘法法则：
法则一：两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘；（“同号得正，异号得负”专指“两数相乘”的情况，如果因数超过两个，就必须运用法则三）
法则二：任何数同0相乘，都得0；
法则三：几个不是0的数相乘，负因数的个数是偶数时，积是正数；负因数的个数是奇数时，积是负数；
法则四：几个数相乘，如果其中有因数为0,则积等于0.

2.有理数乘法的运算律：
（1）乘法的交换律：ab=ba；
（2）乘法的结合律：（ab）c=a（bc）；
（3）乘法的分配律：a（b+c）=ab+ac .

3.有理数除法法则：
（1）除以一个不等0的数，等于乘以这个数的倒数。
（2） 两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除。0除以任何一个不等于0的数，都得0

4.有理数的加减乘除混合运算
（1）乘除混合运算往往先将除法化成乘法，然后确定积的符号，最后求出结果。
（2）有理数的加减乘除混合运算，如果有括号先计算括号里的，如果无括则按照‘先乘除，后加减’的顺序进行。

五、有理数乘方
1.乘方的概念
（1）求n 个相同因数的积的运算，叫做乘方，乘方的结果叫做幂。乘方中，相同的因式叫做底数，相同因式的个数叫做指数。
记作：,在 中，a 叫做底数，n 叫做指数。

2.乘方的性质
（1）负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂的正数。
（2）正数的任何次幂都是正数，0的任何正整数次幂都是0。

3.有理数的混合运算
做有理数的混合运算时，应注意以下运算顺序：
（1）先乘方，再乘除，最后加减；
（2）同级运算，从左到右进行；
（3）如有括号，先做括号内的运算，按小括号，中括号，大括号依次进行。

4. 科学记数法：
把一个大于10的数记成的形式(其中a大于或等于1且小于10，n是正整数），这种记数法叫科学记数法.
强调：a是整数数位只有一位的数.

5. 近似数
（1） 近似数的精确位：一个近似数，四舍五入到那一位，就说这个近似数的精确到那一位.
（2） 求近似数：按精确位的要求，用四舍五入法求近似数。
（3）有效数字：从左边第一个不为零的数字起，到精确的位数止，所有数字，都叫这个近似数的有效数字.