常微分方程的初等解法与求解技巧.doc

山西师范大学本科毕业论文（设计）

常微分方程的初等解法与求解技巧

姓 名
张娟
院 系
数学与计算机科学学院
专 业
信息与计算科学
班 级
12510201
学 号
1251020126
指导教师
王晓锋
答辩日期

成 绩

常微分方程的初等解法与求解技巧

内容摘要
常微分方程在数学中发挥着举足轻重的作用，同时它的应用在日常生活里随处可见，因此掌握常微分方程的初等解法与求解技巧是非常必要的.本论文主要论述了其发展、初等解法与求解技巧，前者主要有变量分离、积分因子、一阶隐式微分方程的参数表示，通过举例从中总结出其求解技巧，目的是掌握其求解技巧.
【关键词】变量分离 一阶隐式微分方程 积分因子 求解技巧

Elementary Solution and Solving Skills of Ordinary Differential Equation

Abstract
Ordinary differential equations take up significant position in mathematics, and at the same time, the application of it can be seen everywhere in our daily life, therefore, it’s necessary to grasp the elementary solution of ordinary differential equations and solving skills. This paper mainly introduced the definition of ordinary differential equations, elementary solution method and solving skills, the former mainly included the separation of variables, integral factor, a parameter-order differential equations implicit representation, by way of examples to sum up their solving skills, the purpose is to master the skills to solve.
【Key Words】the separation of variables the first order implicit differential equation integrating factor solution techniques

目录
1.引论 1
2.变量分离方程与变量变换 1
2.1变量分离方程的解法 1
2.2变量分离方程的举例 1
2.3变量分离方程的几种类型 2
3.线性微分方程和常数变易法 6
3.1线性微分方程与常数变易法 6
3.2伯努利微分方程 8
4.恰当微分方程与积分因子 9
4.1恰当微分方程 9
4.2积分因子 11
5.一阶隐式微分方程与参数表示 13
5.1一阶隐式微分方程的主要类型 13
6.常微分方程的若干求解技巧 18
6.1将一阶微分方程变为的形式 18
6.2分项组合 19
6.3积分因子的选择 20
7.总结 21
参考文献 21
致谢 22

常微分方程的初等解法与求解技巧

学生姓名：张娟 指导教师：王晓锋
1.引论
常微分方程的实质就是一个关系式，这个关系式是由自变量、未知函数和未知函数的导数组成的，且自变量的个数为一个[1]丁同仁，李承治.常微分方程教程[M].北京：高等教育出版社，1998，1-27.
1].其发展历史经历了一个很漫长的过程，在这个发展过程中涌现出很多科学家例如欧拉、拉格朗日、柯西等，他们对常微分方程的发展做出了很大的贡献.常微分方程的发展历史可分为三个阶段，分别是“求通解”阶段、“求定解”阶段、“求所有解”的新阶段[.
常微分方程在数学中占有很重要的地位，有很多伟人例如赛蒙斯都曾评价过常微分方程在数学中的地位，指出其在数学中的不可替代的作用[2] [美]塞蒙斯GF.微分方程[M].张理京译.北京：人民教育出版社，1981.
[3]王高雄，周之铭，朱思铭等.常微分方程(第三版)[M].北京:高等教育出版社，2006.7,1-80.
[4]焦洪田.一阶非线性微分方程的常数变易法[J].雁北师范学院学报，1999.12，44-45.
[5]郑重武. 一类微分方程的积分因子及其解法.运城学院报.2008.
[6]华东师范大学数学系.数学分析（第三版上册）[M].北京：高等教育出本社,2001.6,1-23.
[7]孙清华，李金兰，孙昊.常微分方程内容.方法与技巧[M]武汉：华中大学科技出版，2006,8-10.
[8]黄启星，任永泰，陈秀东等.常微分方程[M].上海:人民教育出版社，2008,173-180.

致谢:
从论文的选题开始到现在，碰到过许许多多的问题，每次出现问题王老师都会给予细心指导，非常谢谢他对我的帮助，对他的感激之情是无法用言语表达.其次，感谢全部帮助过我的舍友们，在我困惑之余伸出援手，他们传授的知识是我完成论文的基础，论文中遇到的问题如果不与她们讨论是不可能顺利解决的.最后，感谢各位评审老师对此论文不足之处的指导纠正.

2].
常微分方程非常重要，其初等解法有很多种，我们应该掌握其初等解法与技巧.
2.变量分离方程与变量变换
2.1变量分离方程的解法
对于变量分离方程，
若，则有 ：
，
两边积分，得到:
，为任意实数.
如果 得，验证一下是否包括在中，若不包括，需补上特解.
2.2变量分离方程的举例
（1），求该方程的解．
解：当时，，
两边积分，得到：
，为任意实数．
故 ，为任意实数．
显然y=0包括在中，
故方程的通解为：
，为任意实数．
2.3变量分离方程的几种类型
2.3.1齐次微分方程
对于齐次微分方程，
解法：令 则有：
， （2-1）
两边对求导得：
， （2-2）
将（2-1），（2-2）代入齐次微分方程中可得：
，
即 ，
从而可以求得其解．
举例：求解方程.
解：原方程可化解为：
，
这个方程为齐次微分方程，令
，
则有 ，
两边对求导得： ，将和代入原方程中得：
，
这个方程为可分离变量方程，
当时解之可得：
,其中为使等式有意义的任意常数.
即当时，显然是的解，且不包含在中，
将代入或中可得：

2.3.2有理比式的三种类型
①类型一
（常数）情形，则原方程变为：，
故方程的通解为：
，其中为任意常数.
举例：求解下列方程的解.
解：根据题意可得：
，
即 ，
故可得： ，为任意常数.
因此原方程的通解为：
，为任意常数.
②类型二
情形，令
，
两边对求导可得：
，
这个方程是变量分离方程.
举例：做适当变换求解方程.
解：经判断为第二种类型，令 ，
两边对x求导可得：
，
故可得:
，
解之可得： ，为任意常数.
将代入并化简可得：
，为任意常数.
③类型三
情形，如果方程中的，不全等于零，，都是，的一次多项式，
则 （2-3）
可以求得解为：
令
则（2-3）化解为：
故化为:
，
故可以解出该方程的解，解出其解，再将 带入其解中，从而得到所求方程的解.
举例：解下列方程 .
解：显然，故为第三种类型，
解方程组 得： ，.
于是令
代入原方程中，则有：
，
这个方程为可变量分离方程，故令，
则 ，
等式两边对求导可得：
，
将代入中得到：
,
化解得：
，
解之可得：
，
换入原来的变量得：
，其中为任意常数.
故原方程的解为：
，其中c为任意常数.
上面三种类型解题方法和步骤也适用于下列类型的方程：
(1)，
(2)，
(3)，
(4).
3.线性微分方程和常数变易法
3.1线性微分方程与常数变易法
如果一阶线性微分方程可表示为：，这里，在定义域上是连续的函数.
①如果，则原式变成，故形如的类型通常叫做一阶齐次线性微分方程[.
②如果，则原式变成，故形如的类型通常叫做一阶非齐次线性微分方程[.
因为变量分离方程，其通解为：
，为任意常数.
下面讨论形如形式的方程解的求法.
由上可知其所对应的齐次微分方程的解为：
，
令 ， （3-1）两边对求导可得：
， （3-2）
将（3-1），（3-2）代入中并化简可得：
，
两边积分得：
，其中是任意常数.
因此可得原方程的通解为：
，这里是任意常数.
这种方法叫做常数变易法[.
举例：求解方程.
解：该方程所对应的齐次线性微分方程为：，
解之得：
，为任意常数.
令
， （3-3）
两边对求导可得：
， （3-4）
将（3-3），（3-4）都代到中并化解可得：
，
因此有：
，
从而可以求得该方程的解为：
，为任意常数.
因此可得原方程的通解为：
，这里为任意常数.
3.2伯努利微分方程
定义：形如的类型，，，并且是常数，其中，关于是连续的，故我们称为伯努利微分方程Error! Bookmark not defined.．
解法：明显是这个方程的一个解.
当时，在这个方程两端同乘得：
， （3-5）
于是令 ， (3-6)
两端对x求导有：
， (3-7)
将(3-6)等式、(3-7)等式代到(3-5)等式里并化简可得：
，
从而可以求得该方程的通解.
举例：求方程的解.
解：显然为方程的解.当时，
两边同乘得：
， (3-8)
令 ， （3-9)
两边对求导可得：
， (3-10)
将(3-9),(3-10)代到(3-8)并化解变为：
， (3-11)
其所对应的齐次微分方程为：
,
其解为：
,为任意常数.
利用常数变易法求解， 令 ， (3-12)
两边对求导得：
， (3-13)
由等式(3-11)、 (3-12)、(3-13)联立并化解可得：
，
从而可求得其解为：
, 其中为任意常数.
则
，其中为任意常数.
将原变量代入得：
，
故原方程的解为：
或.
4.恰当微分方程与积分因子
4.1恰当微分方程
定义： 一阶微分方程可表示为 ，其中，在使，有意义的范围上关于，可导且连续，若，
则称为恰当微分方程.
判定：判定为恰当微分方程等价条件是：
.
求解：显然恰当微分方程的通解就是其中为常数.
由恰当微分方程可得： ， （4-1）
， （4-2）从关系式（4-1）出发，把看做未知参数，解这个方程可得：
， （4-3）
其中是的任意可微函数.
选择使同时满足（4-2），即
，
故有 ， （4-4）
则有（4-4）的右端只与有关，事实上是仅仅需证明（4-4）的右端满足下列等式，

故（4-4）式的右端只与有关，故可以得到：
，
将代入（4-3）中求得：
，为任意常数.
举例：验证方程是恰当微分方程，并求出其解.
解：先验证是恰当微分方程，因，.
且有 ，.
即可得，则原方程为恰当微分方程.
故可设：
，
则有： ， （4-5）
， （4-6）
由方程（4-5）可以解得：
，
为了确定，在的两端对求导数，并使之满足等式：，
于是可得：
，
积分后可得： ，
故 ，
因此可得原方程的通解为：
，这里为任意常数.
4.2积分因子
定义：如果存在且为连续可微的函数，使得：
，
恰好为恰当微分方程，也就是存在一个,满足下列等式：
，
则函数称为方程的积分因子，
的解为：
，为任意常数.
它也是方程的通解.
求法：方程 有只与有关的积分因子的等价条件是：
，
这里仅为的函数.
则方程的一个积分因子为：
，
方程有只与有关的积分因子的等价条件是：
,
这里仅为函数，
则方程的一个积分因子为：
.
举例：求方程的解 .
解：由题意可知：
,,
则有： ，，
，
故可求得积分因子为: ，
原式两边同乘可得：
，
则有 ， （4-7）
， （4-8）由（4-7）式两边积分得：
，
为了确定，在的两边对求偏导，得：
，
与（4-8）比较可得：
，
两边积分可得： ,
故原方程的解为：
，为任意常数.
5.一阶隐式微分方程与参数表示
5.1一阶隐式微分方程的主要类型
在这一章中，主要介绍以下四种类型：
（1）；（2）；
（3）；（4）.
5.1.1一阶隐式微分方程的参数表示
类型一：.
首先讨论形如方程的解法，其中具有连续的偏导数
为了讨论的简单引入参数，代入中可得：
，
对进行对求导数的运算，其中仅与有关，并将代入，因此得：
，
可以求得该方程的解.
（1） 若解出的值：，则可以得到：
，
因此原方程的通解为：
，这里为任意常数.
（2）若解出的值：，于是原方程的通解为：
其中为参数，为任意常数.
（3）若解出的表达式满足：因此得到原方程的通解为：
其中为参数，为任意常数.
举例：求方程的解.
解：由题可知这个方程为的类型，故引入参数，令，代入
原式中，并解出，即 ，
在这个式子两边对求导数，得到:
，
化解得： ，
则有：
或.
当时，解得：，将之代入中化简得： ，为任意常数．
当时，解得，将之代入中又得到方程一个解为：
，
故方程的解为：
，（为任意常数）或.
类型二：．
讨论的解法，假设函数有连续的偏导数.
同样为了讨论方便引入参数，代入中得：
，
两边对求导数，其中将代入得到：
，
这个方程为关于，的一阶微分方程，故可运用前面学过的知识点来求其通解，不妨
设求得通解为：
，
则得原方程的通解为：

举例：求解方程.
解：该方程为第二种类型，可解出,并引入参数代入的表达式中可得：
，,
等式两边对求导可得：
，
化简得：
，
从而可以解得该方程的解为： ，
将之代入中可得：
，
所以方程的通解为：
，其中为任意常数.
显然也是方程的解.
类型三：.
现在讨论形如的方程的解法，为了讨论的简便引入参数：
，
代入原方程中得；，从而可以选择恰当的参数形式： 为参数.
且满足关系，因此可将和代入得到：
，
等式两边积分可得： ，
故原方程参数形式的通解为：
为任意常数.
举例：求解下列方程的解.
解：可以判断为第三种类型，故引入参数，
则原方程的参数形式为：
t为参数.
又满足，将的参数形式代入得：
，
两边积分可得：
，为任意常数.
故原方程的参数形式通解为：
t 为参数，为任意常数.
类型四：.
现在讨论形如的方程的解法，为了讨论的简便引入参数：代
入原方程中得：,从而可以选择恰当的参数形式： t为参数，
且满足关系，因此可将和代入得到：
，
该方程为变量分离方程，故可得：
，为任意常数.
因此原方程的通解为：
这里为任意常数，为参数.
举例：求解下列方程：.
解：该方程为第四种类型,引入参数令，
即，代入原式可化得： ,
代入中可得： ，
两边积分得： ，为任意常数.
故原方程的解为： ，为任意常数.
6.常微分方程的若干求解技巧
6.1将一阶微分方程变为的形式
若一阶齐次微分方程可化简的类型.而这种类型不容易求解，这时需对式子两边取倒数，即将其化为的类型，这里为未知函数，为自变量，有时这种类型更容易求解.
举例：求方程的通解.
解：显然是方程的解，当 时
直接求解不容易，因此我们可以考虑将原式化为:
，
求出其对应的齐次微分方程的通解为：
， （6-1）
再利用常数变易法，令 ， （6-2）
故有：
， （6-3）
把（6-2）等式、（6-3）等式代到（6-1）等式中并化简可得：
，
两边积分得： ，
将代到（6-2）中可以并化解得：
，为任意常数.
故原方程的通解为：
，为任意常数.
6.2分项组合
对于恰当微分方程的解法，也可利用“分项组合”的形式来求其通解，即先找到已构成全微分的项将其组合到一块，再将其余的项拼成全微分[.这种方法更加简单.这需要记住一些常用的函数的微分，比如：

举例：用“分项组合”的方法，求解的通解.
解：经验证满足，故为恰当微分方程，故可得：
，
即 ，，
故方程的通解为：
，是任意常数.

举例：求解方程．
解：方程可以化解为：
.
即 ，
为积分因子，
，
因此原方程的通解为：
，这里为任意常数.
6.3积分因子的选择
由前面积分因子的讨论，可以知道同一个齐次微分方程可有多个积分因子，那么应该选择哪个积分因子来求解可使得该常微分方程的解法更加容易呢，此时需要考虑多个因素，具体因题而异.
举例：求解方程.
解：将方程改写为：
，
由　　　　　　　和，
可以知道和都是左端的积分因子，
因此改写后变为：
，
其右端为，故为了计算的简便，我们可以选择作为方程左端的积分因子，
方程两端同时乘以得：
，
积分得： ，为任意常数.
因此原方程的通解为：
，为任意常数.
7.总结
上文列举了初等解法与求解技巧，初等解法主要论述了变量分离、一阶隐式微分方程的参数表示等，通过举例从中总结出其求解技巧.在本科学习阶段，由于个人能力、精力的不足，这篇论文还不是很完美，例如本文所列举的初等解法并不能适用于所有常微分方程通解的求法，因此，在以后的学习中，继续探索其它的解法.

参考文献:　　
22